Conjunto cerrado

Complement of an open subset

En geometría , topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un conjunto cerrado es un conjunto cuyo complemento es un conjunto abierto . ^{[1] [2]} En un espacio topológico , un conjunto cerrado puede definirse como un conjunto que contiene todos sus puntos límite . En un espacio métrico completo , un conjunto cerrado es un conjunto que está cerrado bajo la operación límite . Esto no debe confundirse con una variedad cerrada .

Definiciones equivalentes

Por definición, un subconjunto de un espacio topológico se llama cerrado si su complemento es un subconjunto abierto de ; es decir, si Un conjunto es cerrado en si y solo si es igual a su clausura en De manera equivalente, un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite . Otra definición equivalente es que un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos límite . Todo subconjunto está siempre contenido en su clausura (topológica) en que se denota por es decir, si entonces Además, es un subconjunto cerrado de si y solo si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus A\in \tau .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A;}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq \operatorname {cl} _{X}A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A.}$

Una caracterización alternativa de los conjuntos cerrados está disponible a través de secuencias y redes . Un subconjunto de un espacio topológico está cerrado en si y solo si cada límite de cada red de elementos de también pertenece a En un espacio de primer orden (como un espacio métrico), es suficiente considerar solo secuencias convergentes , en lugar de todas las redes. Un valor de esta caracterización es que puede usarse como una definición en el contexto de espacios de convergencia , que son más generales que los espacios topológicos. Nótese que esta caracterización también depende del espacio circundante porque si una secuencia o red converge o no en depende de qué puntos estén presentes en Se dice que un punto en está cerca de un subconjunto si (o equivalentemente, si pertenece a la clausura de en el subespacio topológico, lo que significa que donde está dotado de la topología de subespacio inducida en él por ^{[nota 1]} ). Debido a que la clausura de en es, por lo tanto, el conjunto de todos los puntos en que están cerca de, esta terminología permite una descripción en inglés simple de los subconjuntos cerrados: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\},}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{A\cup \{x\}}A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$

Un subconjunto es cerrado si y sólo si contiene todos los puntos que están cerca de él.

En términos de convergencia neta, un punto está cerca de un subconjunto si y solo si existe alguna red (valuada) en que converge a Si es un subespacio topológico de algún otro espacio topológico en cuyo caso se llama un superespacio topológico de entonces podría existir algún punto en que esté cerca de (aunque no sea un elemento de ), que es como es posible que un subconjunto esté cerrado en pero no esté cerrado en el superespacio circundante "más grande" Si y si es cualquier superespacio topológico de entonces es siempre un subconjunto (potencialmente propio) de que denota la clausura de en de hecho, incluso si es un subconjunto cerrado de (lo que sucede si y solo si ), sin embargo todavía es posible que sea un subconjunto propio de Sin embargo, es un subconjunto cerrado de si y solo si para algún (o equivalentemente, para cada) superespacio topológico de ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y\setminus X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=\operatorname {cl} _{X}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{Y}A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=X\cap \operatorname {cl} _{Y}A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Los conjuntos cerrados también se pueden usar para caracterizar funciones continuas : una función es continua si y solo si para cada subconjunto ; esto se puede reformular en un lenguaje sencillo como: es continua si y solo si para cada subconjunto las funciones son puntos que están cerca de a puntos que están cerca de De manera similar, es continua en un punto dado fijo si y solo si siempre que está cerca de un subconjunto , entonces está cerca de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {cl} _{Y}(f(A))}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(A).}$

Más sobre los conjuntos cerrados

La noción de conjunto cerrado se define arriba en términos de conjuntos abiertos , un concepto que tiene sentido para espacios topológicos , así como para otros espacios que llevan estructuras topológicas, como espacios métricos , variedades diferenciables , espacios uniformes y espacios de calibre .

El que un conjunto sea cerrado depende del espacio en el que se encuentre. Sin embargo, los espacios compactos de Hausdorff son " absolutamente cerrados ", en el sentido de que, si se incluye un espacio compacto de Hausdorff en un espacio arbitrario de Hausdorff , entonces siempre será un subconjunto cerrado de ; el "espacio circundante" no importa aquí. La compactificación de Stone-Čech , un proceso que convierte un espacio de Hausdorff completamente regular en un espacio de Hausdorff compacto, puede describirse como la unión de límites de ciertas redes no convergentes al espacio. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$

Además, todo subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, y todo subespacio compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado.

Los conjuntos cerrados también proporcionan una caracterización útil de compacidad: un espacio topológico es compacto si y sólo si cada colección de subconjuntos cerrados no vacíos con intersección vacía admite una subcolección finita con intersección vacía. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio topológico es desconexo si existen subconjuntos disjuntos, no vacíos, abiertos y de cuya unión es Además, es totalmente desconexo si tiene una base abierta constituida por conjuntos cerrados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades

Un conjunto cerrado contiene su propio límite . En otras palabras, si estás "fuera" de un conjunto cerrado, puedes moverte una pequeña cantidad en cualquier dirección y aún permanecer fuera del conjunto. Esto también es cierto si el límite es el conjunto vacío, por ejemplo, en el espacio métrico de números racionales, para el conjunto de números cuyo cuadrado es menor que ${\displaystyle 2.}$

• Cualquier intersección de cualquier familia de conjuntos cerrados es cerrada (esto incluye intersecciones de infinitos conjuntos cerrados)
• La unión de un número finito de conjuntos cerrados es cerrada.
• El conjunto vacío está cerrado.
• Todo el conjunto está cerrado.

De hecho, si se da un conjunto y una colección de subconjuntos de tales que los elementos de tienen las propiedades enumeradas anteriormente, entonces existe una topología única en tal que los subconjuntos cerrados de son exactamente aquellos conjuntos que pertenecen a La propiedad de intersección también permite definir el cierre de un conjunto en un espacio que se define como el subconjunto cerrado más pequeño de que es un superconjunto de Específicamente, el cierre de se puede construir como la intersección de todos estos superconjuntos cerrados. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} \neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle X}$

Los conjuntos que pueden construirse como la unión de un número contable de conjuntos cerrados se denominan conjuntos F σ . Estos conjuntos no necesitan ser cerrados.

Ejemplos

• El intervalo cerrado de números reales es cerrado. (Véase Intervalo (matemáticas) para una explicación de la notación de conjuntos de corchetes y paréntesis). ${\displaystyle [a,b]}$
• El intervalo unitario está cerrado en el espacio métrico de los números reales, y el conjunto de números racionales entre y (inclusive) está cerrado en el espacio de los números racionales, pero no está cerrado en los números reales. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$
• Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados, por ejemplo el intervalo semiabierto en los números reales. ${\displaystyle [0,1)}$
• Algunos conjuntos son a la vez abiertos y cerrados y se denominan conjuntos clopen .
• El rayo está cerrado. ${\displaystyle [1,+\infty )}$
• El conjunto de Cantor es un conjunto cerrado inusual en el sentido de que consiste enteramente en puntos límite y no es denso en ninguna parte.
• Los puntos singleton (y por tanto los conjuntos finitos) están cerrados en los espacios T 1 y en los espacios de Hausdorff .
• El conjunto de los números enteros es un conjunto cerrado infinito y no acotado en los números reales. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Si es una función entre espacios topológicos entonces es continua si y sólo si las preimágenes de conjuntos cerrados en son cerradas en ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Véase también

• Conjunto abierto y cerrado  : subconjunto que es a la vez abierto y cerrado
• Mapa cerrado  : una función que envía subconjuntos abiertos (o cerrados) a subconjuntos abiertos (o cerrados)Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Región cerrada  – Subconjunto abierto conexo de un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Conjunto abierto  – Subconjunto básico de un espacio topológico
• Vecindario  – Conjunto abierto que contiene un punto dado
• Región (matemáticas)  – Subconjunto abierto conexo de un espacio topológicoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Conjunto cerrado regular

Notas

1. En particular, si está o no cerca de depende sólo del subespacio y no de todo el espacio circundante (por ejemplo, o cualquier otro espacio que contenga un subespacio topológico). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A\cup \{x\}}$

Referencias

1. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill . ISBN 0-07-054235-X.
2. Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.

• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4.OCLC 945169917  .
• Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7.OCLC 395340485  .
• Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4.OCLC 175294365  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .