Espacio totalmente desconectado

Espacio topológico que está máximamente desconectado

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio totalmente desconectado es un espacio topológico que tiene solo singletons como subconjuntos conexos . En todo espacio topológico, los singletons (y, cuando se considera conexo, el conjunto vacío) son conexos; en un espacio totalmente desconectado, estos son los únicos subconjuntos conexos.

Un ejemplo importante de un espacio totalmente desconectado es el conjunto de Cantor , que es homeomorfo al conjunto de números enteros p -ádicos . Otro ejemplo, que desempeña un papel clave en la teoría de números algebraicos , es el cuerpo Q _p de números p -ádicos .

Definición

Un espacio topológico está totalmente desconectado si los componentes conectados en son los conjuntos de un punto. ^{[1] [2]} De manera análoga, un espacio topológico está totalmente desconectado de trayectorias si todos los componentes de trayectorias en son los conjuntos de un punto. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Otra noción estrechamente relacionada es la de un espacio totalmente separado , es decir, un espacio donde los cuasicomponentes son singletons. Es decir, un espacio topológico está totalmente separado si para cada , la intersección de todos los vecindarios abiertos y cerrados de es el singleton . De manera equivalente, para cada par de puntos distintos , hay un par de vecindarios abiertos disjuntos de tales que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle X=U\sqcup V}$

Todo espacio totalmente separado es evidentemente totalmente desconectado, pero la inversa es falsa incluso para los espacios métricos . Por ejemplo, tomemos como el tipi de Cantor , que es el abanico de Knaster-Kuratowski sin el vértice. Entonces es totalmente desconectado, pero sus cuasicomponentes no son singletons. Para los espacios de Hausdorff localmente compactos , las dos nociones (totalmente desconectado y totalmente separado) son equivalentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

De manera confusa, en la literatura (por ejemplo ^[3] ) los espacios totalmente desconectados a veces se denominan hereditariamente desconectados , ^[4] mientras que la terminología totalmente desconectado se utiliza para espacios totalmente separados. ^[4]

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de espacios totalmente desconectados:

• Espacios discretos
• Los números racionales
• Los números irracionales
• Los números p -ádicos; más generalmente, todos los grupos profinitos están totalmente desconectados.
• El conjunto de Cantor y el espacio de Cantor
• El espacio Baire
• La línea Sorgenfrey
• Todo espacio de Hausdorff de pequeña dimensión inductiva 0 está totalmente desconectado
• El espacio de Erdős ℓ ² es un espacio de Hausdorff totalmente desconectado que no tiene una dimensión inductiva pequeña 0. ${\displaystyle \,\cap \,\mathbb {Q} ^{\omega }}$
• Espacios de Hausdorff extremadamente desconectados
• Espacios de piedra
• El abanico de Knaster-Kuratowski proporciona un ejemplo de un espacio conectado, de modo que la eliminación de un solo punto produce un espacio totalmente desconectado.

Propiedades

• Los subespacios , productos y coproductos de espacios totalmente desconectados están totalmente desconectados.
• Los espacios totalmente desconectados son espacios T1 , ya que los singletons son cerrados.
• Las imágenes continuas de espacios totalmente desconectados no son necesariamente totalmente desconectadas, de hecho, todo espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor .
• Un espacio de Hausdorff localmente compacto tiene una dimensión inductiva pequeña 0 si y sólo si está totalmente desconectado.
• Todo espacio métrico compacto totalmente desconectado es homeomorfo a un subconjunto de un producto contable de espacios discretos .
• En general, no es cierto que todo conjunto abierto en un espacio totalmente desconectado sea también cerrado.
• En general, no es cierto que el cierre de todo conjunto abierto en un espacio totalmente desconectado sea abierto, es decir, no todo espacio de Hausdorff totalmente desconectado es extremalmente desconectado .

Construcción de un espacio cociente totalmente desconectado de cualquier espacio dado

Sea un espacio topológico arbitrario. Sea si y solo si (donde denota el subconjunto conexo más grande que contiene a ). Obviamente, se trata de una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son los componentes conexos de . Dote con la topología cociente , es decir, la topología más fina que hace que la función sea continua. Con un poco de esfuerzo podemos ver que es totalmente desconectada. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle y\in \mathrm {conn} (x)}$ ${\displaystyle \mathrm {conn} (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle m:x\mapsto \mathrm {conn} (x)}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$

De hecho, este espacio no es sólo un cociente totalmente desconectado sino en cierto sentido el más grande : Se cumple la siguiente propiedad universal : para cualquier espacio totalmente desconectado y cualquier aplicación continua , existe una única aplicación continua con . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle {\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f={\breve {f}}\circ m}$

Véase también

• Espacio extremadamente desconectado
• Grupo totalmente desconectado

Citas

1. Rudin 1991, pág. 395 Apéndice A7.
2. Munkres 2000, págs. 152.
3. Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Serie Sigma en Matemática Pura. ISBN 3-88538-006-4.
4. Kuratowski 1968, págs.151.

Referencias

• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Willard, Stephen (2004), Topología general , Dover Publications , ISBN 978-0-486-43479-7, Sr.  2048350(reimpresión del original de 1970, MR 0264581)
• Kuratowski, Kazimierz (1968), Topología II: traducción del francés (edición revisada), Nueva York: Academic Press [ua], ISBN 9780124292024