Glosario de topología general

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Este es un glosario de algunos términos utilizados en la rama de las matemáticas conocida como topología . Aunque no existe una distinción absoluta entre las diferentes áreas de la topología, el enfoque aquí se centra en la topología general . Las siguientes definiciones también son fundamentales para la topología algebraica , la topología diferencial y la topología geométrica . Para obtener una lista de términos específicos de la topología algebraica, consulte Glosario de topología algebraica .

Se supone que todos los espacios en este glosario son espacios topológicos a menos que se indique lo contrario.

A

Absolutamente cerrado: Ver H-cerrado

Accesible: Ver . $Estilo de visualización T_{1}$

Punto de acumulación: Ver punto límite .

Topología de Alexandrov: La topología de un espacio X es una topología de Alexandrov (o se genera finitamente ) si las intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos en X son abiertas, o equivalentemente, si las uniones arbitrarias de conjuntos cerrados son cerradas, o, nuevamente equivalentemente, si los conjuntos abiertos son los conjuntos superiores de un poset . ^[1]

Casi discreto: Un espacio es casi discreto si todo conjunto abierto es cerrado (por lo tanto, clopen). Los espacios casi discretos son precisamente los espacios cero-dimensionales finitamente generados.

α-cerrado, α-abierto: Un subconjunto A de un espacio topológico X es α-abierto si , y el complemento de dicho conjunto es α-cerrado. ^[2] $A\subseteq \nombreoperador {Int} _{X}\left(\nombreoperador {Cl} _{X}\left(\nombreoperador {Int} _{X}A\right)\right)$

Espacio de aproximación: Un espacio de aproximación es una generalización del espacio métrico basada en distancias de punto a conjunto, en lugar de punto a punto.

B

Espacio Baire

Esto tiene dos significados comunes distintos:

Un espacio es un espacio de Baire si la intersección de cualquier colección contable de conjuntos abiertos densos es densa; véase espacio de Baire .
El espacio de Baire es el conjunto de todas las funciones desde los números naturales hasta los números naturales, con la topología de convergencia puntual; véase Espacio de Baire (teoría de conjuntos) .

Base: Una colección B de conjuntos abiertos es una base (o base ) para una topología si cada conjunto abierto en es una unión de conjuntos en . La topología es la topología más pequeña en que contiene y se dice que está generada por . ${\estilo de visualización \tau}$ ${\estilo de visualización \tau}$ ${\estilo de visualización B}$ ${\estilo de visualización \tau}$ ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización B}$ ${\estilo de visualización B}$

Base: Ver Base .

β-abierto: Ver Semi-preabierto .

b-abierto, b-cerrado: Un subconjunto de un espacio topológico es b-abierto si . El complemento de un conjunto b-abierto es b-cerrado. ^[2] ${\estilo de visualización A}$ ${\estilo de visualización X}$ $A\subseteq \nombreoperador {Int} _{X}\left(\nombreoperador {Cl} _{X}A\right)\cup \nombreoperador {Cl} _{X}\left(\nombreoperador {Int} _{X}A\right)$

Álgebra de Borel: El álgebra de Borel en un espacio topológico es la álgebra más pequeña que contiene todos los conjuntos abiertos. Se obtiene tomando la intersección de todas las álgebras en que contienen . $(X,\tau )$ ${\estilo de visualización \sigma}$ ${\estilo de visualización \sigma}$ ${\estilo de visualización X}$ ${\estilo de visualización \tau}$

Juego de borel: Un conjunto de Borel es un elemento de un álgebra de Borel.

Límite: El límite (o frontera ) de un conjunto es la clausura del conjunto menos su interior. De manera equivalente, el límite de un conjunto es la intersección de su clausura con la clausura de su complemento. El límite de un conjunto se denota por o . ${\estilo de visualización A}$ $\parcial A$ ${\estilo de visualización bd}$ ${\estilo de visualización A}$

Encerrado: Un conjunto en un espacio métrico está acotado si tiene un diámetro finito . De manera equivalente, un conjunto está acotado si está contenido en una esfera abierta de radio finito. Una función que toma valores en un espacio métrico está acotada si su imagen es un conjunto acotado.

do

Categoría de espacios topológicos: La categoría Top tiene espacios topológicos como objetos y mapas continuos como morfismos .

Secuencia de Cauchy: Una secuencia { x _n } en un espacio métrico ( M , d ) es una secuencia de Cauchy si, para cada número real positivo r , existe un entero N tal que para todos los enteros m , n > N , tenemos d ( x _m , x _n ) < r .

Conjunto abierto: Un conjunto es clopen si es al mismo tiempo abierto y cerrado.

Bola cerrada: Si ( M , d ) es un espacio métrico , una bola cerrada es un conjunto de la forma D ( x ; r ):= { y en M : d ( x , y )≤r } , donde x está en M y r es un número real positivo , el radio de la bola. Una bola cerrada de radio r es una r -bola cerrada . Toda bola cerrada es un conjunto cerrado en la topología inducida en M por d . Nótese que la bola cerrada D ( x ; r ) podría no ser igual a la clausura de la bola abierta B ( x ; r ).

Conjunto cerrado: Un conjunto es cerrado si su complemento es miembro de la topología.

Función cerrada: Una función de un espacio a otro es cerrada si la imagen de cada conjunto cerrado es cerrada.

Cierre: La clausura de un conjunto es el conjunto cerrado más pequeño que contiene al conjunto original. Es igual a la intersección de todos los conjuntos cerrados que lo contienen. Un elemento de la clausura de un conjunto S es un punto de clausura de S .

Operador de cierre: Véase los axiomas de cierre de Kuratowski .

Topología más burda: Si X es un conjunto, y si T ₁ y T ₂ son topologías sobre X , entonces T ₁ es más burdo (o más pequeño , más débil ) que T ₂ si T ₁ está contenido en T ₂ . Cuidado, algunos autores, especialmente analistas , utilizan el término más fuerte .

Venid a concordar: Un subconjunto A de un espacio X es comeagre ( comeager ) si su complemento X \ A es magro . También se llama residual .

Compacto: Un espacio es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita . Todo espacio compacto es de Lindelöf y paracompacto. Por lo tanto, todo espacio compacto de Hausdorff es normal. Véase también cuasicompacto .

Topología compacta-abierta: La topología compacta-abierta en el conjunto C ( X , Y ) de todas las funciones continuas entre dos espacios X e Y se define de la siguiente manera: dado un subconjunto compacto K de X y un subconjunto abierto U de Y , sea V ( K , U ) el conjunto de todas las funciones f en C ( X , Y ) tales que f ( K ) está contenido en U . Entonces la colección de todas esas V ( K , U ) es una subbase para la topología compacta-abierta.

Completo: Un espacio métrico es completo si cada secuencia de Cauchy converge.

Completamente metrizable/completamente metrizable: Ver espacio completo .

Completamente normal: Un espacio es completamente normal si dos conjuntos separados tienen vecindades disjuntas .

Hausdorff completamente normal: Un espacio de Hausdorff completamente normal (o espacio T 5 ) es un espacio T ₁ completamente normal . (Un espacio completamente normal es Hausdorff si y solo si es T ₁ , por lo que la terminología es consistente ). Todo espacio de Hausdorff completamente normal es Hausdorff normal.

Completamente regular: Un espacio es completamente regular si, siempre que C es un conjunto cerrado y x es un punto no en C , entonces C y { x } están funcionalmente separados.

Completamente T ₃: Véase Tichonoff .

Componente: Ver Componente conectado / Componente conectado por ruta .

Conectado: Un espacio es conexo si no es la unión de un par de conjuntos abiertos no vacíos disjuntos . De manera equivalente, un espacio es conexo si los únicos conjuntos abiertos y cerrados son el espacio entero y el conjunto vacío.

Componente conectado: Un componente conexo de un espacio es un subespacio conexo no vacío maximalista . Cada componente conexo es cerrado y el conjunto de componentes conexos de un espacio es una partición de ese espacio.

Continuo: Una función de un espacio a otro es continua si la preimagen de cada conjunto abierto es abierta.

Continuo: Un espacio se denomina continuo si es un espacio de Hausdorff compacto y conexo.

Contráctil: Un espacio X es contráctil si la función identidad en X es homotópica respecto de una función constante. Todo espacio contráctil es simplemente conexo.

Topología de coproductos: Si { X _i } es una colección de espacios y X es la unión disjunta (teórica de conjuntos) de { X _i }, entonces la topología de coproducto (o topología de unión disjunta , suma topológica de X _i ) en X es la topología más fina para la cual todos los mapas de inyección son continuos.

Espacio compacto de núcleo

Espacio cósmico: Una imagen continua de algún espacio métrico separable . ^[3]

Condición de cadena contable: Un espacio X satisface la condición de cadena contable si cada familia de conjuntos abiertos, disjuntos entre sí y no vacíos, es contable.

Contablemente compacto: Un espacio es numerablemente compacto si cada cubierta abierta numerable tiene una subcubierta finita . Todo espacio numerablemente compacto es pseudocompacto y débilmente numerablemente compacto.

Contablemente localmente finito: Una colección de subconjuntos de un espacio X es contablemente localmente finita (o σ - localmente finita ) si es la unión de una colección contable de colecciones localmente finitas de subconjuntos de X.

Cubrir: Una colección de subconjuntos de un espacio es una cubierta (o cubrimiento ) de ese espacio si la unión de la colección es el espacio entero.

Cubierta: Ver portada .

Punto de corte: Si X es un espacio conexo con más de un punto, entonces un punto x de X es un punto de corte si el subespacio X − { x } está desconectado.

D

Punto de cúmulo δ, δ-cerrado, δ-abierto: Un punto x de un espacio topológico X es un punto del δ-cúmulo de un subconjunto A si para cada entorno abierto U de x en X . El subconjunto A es δ-cerrado si es igual al conjunto de sus puntos del δ-cúmulo, y δ-abierto si su complemento es δ-cerrado. ^[4] $A\cap \operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}(U)\right)\neq \emptyset$

Conjunto denso: Un conjunto es denso si tiene una intersección no vacía con todo conjunto abierto no vacío. De manera equivalente, un conjunto es denso si su clausura es todo el espacio.

Conjunto denso en sí mismo: Un conjunto es denso en sí mismo si no tiene ningún punto aislado .

Densidad: la cardinalidad mínima de un subconjunto denso de un espacio topológico. Un conjunto de densidad ℵ ₀ es un espacio separable . ^[5]

Conjunto derivado: Si X es un espacio y S es un subconjunto de X , el conjunto derivado de S en X es el conjunto de puntos límite de S en X.

Espacio urbanizable: Un espacio topológico con un desarrollo . ^[6]

Desarrollo: Una colección contable de cubiertas abiertas de un espacio topológico, tal que para cualquier conjunto cerrado C y cualquier punto p en su complemento existe una cubierta en la colección tal que cada vecindad de p en la cubierta es disjunta de C. ^[6]

Diámetro: Si ( M , d ) es un espacio métrico y S es un subconjunto de M , el diámetro de S es el supremo de las distancias d ( x , y ), donde x e y abarcan S .

Métrica discreta: La métrica discreta sobre un conjunto X es la función d : X × X → R tal que para todo x , y en X , d ( x , x ) = 0 y d ( x , y ) = 1 si x ≠ y . La métrica discreta induce la topología discreta sobre X .

Espacio discreto: Un espacio X es discreto si cada subconjunto de X es abierto. Decimos que X tiene la topología discreta . ^[7]

Topología discreta: Ver espacio discreto .

Topología de unión disjunta: Véase Topología de coproducto .

Punto de dispersión: Si X es un espacio conexo con más de un punto, entonces un punto x de X es un punto de dispersión si el subespacio X − { x } está hereditariamente desconectado (sus únicos componentes conexos son los conjuntos de un punto).

Distancia: Ver espacio métrico .

Sombrero de burro (topología)

mi

Séquito: Ver espacio uniforme .

Exterior: El exterior de un conjunto es el interior de su complemento.

F

Conjunto F _σ: Un conjunto F σ es una unión contable de conjuntos cerrados. ^[8]

Filtrar

Véase también: Filtros en topología . Un filtro en un espacio X es una familia no vacía F de subconjuntos de X tal que se cumplen las siguientes condiciones:

El conjunto vacío no está en F.
La intersección de cualquier número finito de elementos de F está nuevamente en F .
Si A está en F y si B contiene a A , entonces B está en F.

Topología final: En un conjunto X con respecto a una familia de funciones en , es la topología más fina en X que hace que esas funciones sean continuas . ^[9] ${\estilo de visualización X}$

Topología fina (teoría del potencial): En el espacio euclidiano , la topología más burda que hace que todas las funciones subarmónicas (equivalentemente todas las funciones superarmónicas) sean continuas. ^[10] $\mathbb {R} ^{n}$

Topología más fina: Si X es un conjunto, y si T ₁ y T ₂ son topologías sobre X , entonces T ₂ es más fino (o más grande , más fuerte ) que T ₁ si T ₂ contiene a T ₁ . Cuidado, algunos autores, especialmente analistas , utilizan el término más débil .

Finitamente generado: Véase topología de Alexandrov .

Primera categoria: Ver Magro .

Primero contable: Un espacio es contable primero si cada punto tiene una base local contable .

Frechet: Ver T 1 .

Frontera: Ver Límite .

Conjunto completo: Un subconjunto compacto K del plano complejo se denomina completo si su complemento es conexo. Por ejemplo, el disco unitario cerrado es completo, mientras que el círculo unitario no lo es.

Funcionalmente separados: Dos conjuntos A y B en un espacio X están funcionalmente separados si existe una función continua f : X → [0, 1] tal que f ( A ) = 0 y f ( B ) = 1.

GRAMO

Conjunto G _δ: Un conjunto G δ o conjunto límite interno es una intersección contable de conjuntos abiertos. ^[8]

Espacio G _δ: Un espacio en el que cada conjunto cerrado es un conjunto G _δ . ^[8]

Punto genérico: Un punto genérico para un conjunto cerrado es un punto para el cual el conjunto cerrado es la clausura del conjunto singleton que contiene ese punto. ^[11]

yo

Hausdorff: Un espacio de Hausdorff (o espacio T 2 ) es aquel en el que cada dos puntos distintos tienen vecindarios disjuntos . Todo espacio de Hausdorff es T ₁ .
H-cerrado: Un espacio es H-cerrado, o cerrado por Hausdorff o absolutamente cerrado , si está cerrado en todo espacio de Hausdorff que lo contiene.
Hemicompacto: Un espacio es hemicompacto si existe una secuencia de subconjuntos compactos tal que cada subconjunto compacto está contenido en uno de ellos.
Hereditariamente P: Un espacio es hereditariamente P para alguna propiedad P si cada subespacio también es P.
Hereditario: Se dice que una propiedad de los espacios es hereditaria si siempre que un espacio tiene esa propiedad, entonces también la tiene cada subespacio del mismo. ^[12] Por ejemplo, la segunda contabilidad es una propiedad hereditaria.
Homeomorfismo: Si X e Y son espacios, un homeomorfismo de X a Y es una función biyectiva f : X → Y tal que f y f ⁻¹ son continuas. Se dice entonces que los espacios X e Y son homeomorfos . Desde el punto de vista de la topología, los espacios homeomorfos son idénticos.
Homogéneo: Un espacio X es homogéneo si, para cada x e y en X , existe un homeomorfismo f : X → X tal que f ( x ) = y . Intuitivamente, el espacio parece el mismo en cada punto. Todo grupo topológico es homogéneo.
Mapas homotópicos: Dos funciones continuas f , g : X → Y son homotópicas (en Y ) si existe una función continua H : X × [0, 1] → Y tal que H ( x , 0) = f ( x ) y H ( x , 1) = g ( x ) para todo x en X . Aquí, a X × [0, 1] se le da la topología del producto. La función H se denomina homotopía (en Y ) entre f y g .
Homotopía: Ver mapas homotópicos .
Hiperconectado: Un espacio es hiperconectado si no hay dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos ^[13]. Todo espacio hiperconectado es conexo. ^[13]

I

Mapa de identificación: Ver mapa de cocientes .
Espacio de identificación: Véase espacio cociente .
Espacio indiscreto: Véase Topología trivial .
Topología de dimensión infinita: Véase variedad de Hilbert y variedades Q , es decir, variedades (generalizadas) modeladas en el espacio de Hilbert y en el cubo de Hilbert respectivamente.
Conjunto límite interno: Un conjunto G _{δ .}^[8]
Interior: El interior de un conjunto es el mayor conjunto abierto contenido en el conjunto original. Es igual a la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en él. Un elemento del interior de un conjunto S es un punto interior de S.
Punto interior: Ver Interior .
Punto aislado: Un punto x es un punto aislado si el singleton { x } es abierto. En términos más generales, si S es un subconjunto de un espacio X y si x es un punto de S , entonces x es un punto aislado de S si { x } es abierto en la topología del subespacio en S.
Isomorfismo isométrico: Si M ₁ y M ₂ son espacios métricos, un isomorfismo isométrico de M ₁ a M ₂ es una isometría biyectiva f : M ₁ → M ₂ . Se dice entonces que los espacios métricos son isométricamente isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría del espacio métrico, los espacios isométricamente isomorfos son idénticos.
Isometría: Si ( M ₁ , d ₁ ) y ( M ₂ , d ₂ ) son espacios métricos, una isometría de M ₁ a M ₂ es una función f : M ₁ → M ₂ tal que d ₂ ( f ( x ), f ( y )) = d ₁ ( x , y ) para todo x , y en M ₁ . Toda isometría es inyectiva , aunque no toda isometría es sobreyectiva .

K

Axioma de Kolmogorov: Ver T 0 .

Axiomas de clausura de Kuratowski

Los axiomas de cierre de Kuratowski son un conjunto de axiomas satisfechos por la función que lleva cada subconjunto de X a su cierre:

Isotonicidad : Cada conjunto está contenido en su clausura.
Idempotencia : La clausura de la clausura de un conjunto es igual a la clausura de ese conjunto.
Preservación de uniones binarias : La clausura de la unión de dos conjuntos es la unión de sus clausuras.
Preservación de uniones nulas : La clausura del conjunto vacío es vacía.

Si c es una función del conjunto potencia de X respecto de sí mismo, entonces c es un operador de clausura si satisface los axiomas de clausura de Kuratowski. Los axiomas de clausura de Kuratowski pueden entonces usarse para definir una topología en X declarando que los conjuntos cerrados son los puntos fijos de este operador, es decir, un conjunto A es cerrado si y solo si c ( A ) = A .

Topología de Kolmogorov: T _Kol = {R, }∪{(a,∞): a es un número real}; el par (R,T _Kol ) se llama recta de Kolmogorov . $\varnothing$

yo

Espacio L: Un espacio L es un espacio de Lindelöf hereditario que no es separable hereditariamente . Una línea de Suslin sería un espacio L. ^[14]

Topología más grande: Ver Topología más fina .

Punto límite: Un punto x en un espacio X es un punto límite de un subconjunto S si todo conjunto abierto que contiene a x también contiene un punto de S distinto del propio x . Esto es equivalente a exigir que todo entorno de x contenga un punto de S distinto del propio x .

Punto límite compacto: Véase Débilmente numerable compacto .

Lindelof: Un espacio es Lindelöf si cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable .

Base local: Un conjunto B de vecindades de un punto x de un espacio X es una base local (o base local , base de vecindad , base de vecindad ) en x si cada vecindad de x contiene algún miembro de B.

Base local: Ver base local .

Espacio local (P): Existen dos definiciones de que un espacio es "localmente (P)", donde (P) es una propiedad topológica o de teoría de conjuntos: que cada punto tiene una vecindad con la propiedad (P), o que cada punto tiene una base de vecindad para la cual cada miembro tiene la propiedad (P). La primera definición se suele tomar para localmente compacto, numerablemente compacto, metrizable, separable, numerable; la segunda para localmente conexo. ^[15]

Subconjunto cerrado localmente: Subconjunto de un espacio topológico que es la intersección de un subconjunto abierto y uno cerrado. Equivalentemente, es un subconjunto relativamente abierto de su clausura.

Compacto localmente: Un espacio es localmente compacto si cada punto tiene un vecindario compacto: a veces se utiliza la definición alternativa de que cada punto tiene una base local que consiste en vecindarios compactos: estos son equivalentes para los espacios de Hausdorff. ^[15] Todo espacio de Hausdorff localmente compacto es de Tychonoff.

Conectado localmente: Un espacio está conexo localmente si cada punto tiene una base local que consiste en vecindarios conexos. ^[15]

Localmente denso: ver Preapertura .

Localmente finito: Una colección de subconjuntos de un espacio es localmente finita si cada punto tiene un entorno que tiene una intersección no vacía con solo un número finito de subconjuntos. Véase también numerable localmente finito , punto finito .

Localmente metrizable / Localmente metrizable: Un espacio es metrizable localmente si cada punto tiene un vecindario metrizable. ^[15]

Conectado a ruta local: Un espacio es localmente conexo por caminos si cada punto tiene una base local que consiste en vecindarios conexos por caminos. ^[15] Un espacio localmente conexo por caminos es conexo si y solo si es conexo por caminos.

Conectado de forma sencilla a nivel local: Un espacio es localmente simplemente conexo si cada punto tiene una base local que consiste en vecindarios simplemente conexos.

Bucle: Si x es un punto en un espacio X , un bucle en x en X (o un bucle en X con punto base x ) es un camino f en X , tal que f (0) = f (1) = x . De manera equivalente, un bucle en X es una función continua desde el círculo unitario S ¹ hacia X .

METRO

Pobre: Si X es un espacio y A es un subconjunto de X , entonces A es magro en X (o de primera categoría en X ) si es la unión contable de conjuntos densos en ninguna parte. Si A no es magro en X , A es de segunda categoría en X . ^[16]

Metacompacto: Un espacio es metacompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto finito puntual.

Métrico: Ver espacio métrico .

Métrica invariante: Un invariante métrico es una propiedad que se conserva bajo isomorfismo isométrico.

Mapa métrico: Si X e Y son espacios métricos con métricas d _X y d _Y respectivamente, entonces una función métrica es una función f de X a Y , tal que para cualesquiera puntos x e y en X , d _Y ( f ( x ), f ( y )) ≤ d _X ( x , y ). Una función métrica es estrictamente métrica si la desigualdad anterior es estricta para todos los x e y en X .

Espacio métrico

Un espacio métrico ( M , d ) es un conjunto M equipado con una función d : M × M → R que satisface los siguientes axiomas para todos los x , y y z en M :

d ( x , y ) ≥ 0
d ( x , x ) = 0
si d ( x , y ) = 0 entonces x = y ( identidad de indiscernibles )
d ( x , y ) = d ( y , x ) ( simetría )
d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) ( desigualdad triangular )

La función d es una métrica en M , y d ( x , y ) es la distancia entre x e y . La colección de todas las bolas abiertas de M es una base para una topología en M ; esta es la topología en M inducida por d . Todo espacio métrico es de Hausdorff y paracompacto (y por lo tanto normal y de Tichonoff). Todo espacio métrico es primero contable.

Metrizable / Metrizable: Un espacio es metrizable si es homeomorfo a un espacio métrico. Todo espacio metrizable es de Hausdorff y paracompacto (y, por lo tanto, normal y de Tichonoff). Todo espacio metrizable es primero contable.

Monolito: Todo espacio compacto ultraconectado no vacío X tiene un subconjunto abierto propio más grande; este subconjunto se llama monolito .

Espacio Moore: Un espacio de Moore es un espacio de Hausdorff regular desarrollable . ^[6]

norte

Casi abierto: ver preapertura .

Barrio / Barrio: Un vecindario de un punto x es un conjunto que contiene un conjunto abierto que a su vez contiene el punto x . De manera más general, un vecindario de un conjunto S es un conjunto que contiene un conjunto abierto que a su vez contiene el conjunto S . Un vecindario de un punto x es, por lo tanto, un vecindario del conjunto unitario { x }. (Obsérvese que, según esta definición, el vecindario en sí no necesita ser abierto. Muchos autores exigen que los vecindarios sean abiertos; tenga cuidado de observar las convenciones).

Base /base del barrio: Ver base local .

Sistema de vecindad para un punto x: Un sistema de vecindad en un punto x en un espacio es la colección de todas las vecindades de x .

Neto: Una red en un espacio X es una función de un conjunto dirigido A a X. Una red de A a X se denota habitualmente ( x _α ), donde α es una variable índice que se extiende sobre A. Toda secuencia es una red, y se toma A como el conjunto dirigido de números naturales con el ordenamiento habitual.

Normal: Un espacio es normal si dos conjuntos cerrados disjuntos tienen vecindades disjuntas. ^[8] Todo espacio normal admite una partición de la unidad .

Normal Hausdorff: Un espacio de Hausdorff normal (o espacio T 4 ) es un espacio T _{1 normal. (Un espacio normal es de Hausdorff}si y solo si es T ₁ , por lo que la terminología es consistente). Todo espacio de Hausdorff normal es de Tichonoff.

En ningún lugar denso: Un conjunto denso en ninguna parte es un conjunto cuyo cierre tiene el interior vacío.

Oh

Tapa abierta: Una cubierta abierta es una cubierta que consta de conjuntos abiertos. ^[6]

Bola abierta: Si ( M , d ) es un espacio métrico, una bola abierta es un conjunto de la forma B ( x ; r ) := { y en M : d ( x , y ) < r }, donde x está en M y r es un número real positivo , el radio de la bola. Una bola abierta de radio r es una r -bola abierta . Toda bola abierta es un conjunto abierto en la topología en M inducida por d .
Condición abierta: Ver propiedad abierta .
Conjunto abierto: Un conjunto abierto es un miembro de la topología.
Función abierta: Una función de un espacio a otro es abierta si la imagen de cada conjunto abierto es abierta.
Propiedad abierta: Se dice que una propiedad de los puntos en un espacio topológico es "abierta" si los puntos que la poseen forman un conjunto abierto . Tales condiciones suelen adoptar una forma común, y esa forma puede considerarse una condición abierta ; por ejemplo, en los espacios métricos , se define una bola abierta como se indica más arriba y se dice que "la desigualdad estricta es una condición abierta".

Ortocompacto: Un espacio es ortocompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto que preserva el interior .

PAG

Paracompacto: Un espacio es paracompacto si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto localmente finito. Paracompacto implica metacompacto. ^[17] Los espacios de Hausdorff paracompactos son normales. ^[18]

Partición de la unidad: Una partición de la unidad de un espacio X es un conjunto de funciones continuas desde X hasta [0, 1] tales que cualquier punto tiene un vecindario donde todas las funciones, excepto un número finito , son idénticamente cero, y la suma de todas las funciones en todo el espacio es idénticamente 1.

Camino: Un camino en un espacio X es una función continua f desde el intervalo unitario cerrado [0, 1] hasta X. El punto f (0) es el punto inicial de f ; el punto f (1) es el punto terminal de f . ^[13]

Conectado por caminos: Un espacio X es conexo por caminos si, para cada dos puntos x , y en X , existe un camino f desde x hasta y , es decir, un camino con punto inicial f (0) = x y punto terminal f (1) = y . Todo espacio conexo por caminos es conexo. ^[13]

Componente conectado a ruta: Un componente conexo por trayectorias de un espacio es un subespacio conexo por trayectorias no vacío maximal. El conjunto de componentes conexos por trayectorias de un espacio es una partición de ese espacio, que es más fina que la partición en componentes conexos. ^[13] El conjunto de componentes conexos por trayectorias de un espacio X se denota π ₀ ( X ) .

Perfectamente normal: un espacio normal que también es un G _δ . ^[8]

base π: Una colección B de conjuntos abiertos no vacíos es una π-base para una topología τ si cada conjunto abierto no vacío en τ incluye un conjunto de B. ^[19 ]

Punto: Un punto es un elemento de un espacio topológico. En términos más generales, un punto es un elemento de cualquier conjunto con una estructura topológica subyacente; por ejemplo, un elemento de un espacio métrico o de un grupo topológico también es un "punto".

Punto de cierre: Ver Cierre .

Polaco: Un espacio es polaco si es separable y completamente metrizable, es decir, si es homeomorfo a un espacio métrico separable y completo.

Poliádico: Un espacio es poliádico si es la imagen continua de la potencia de una compactificación de un punto de un espacio de Hausdorff localmente compacto y no compacto.

Espacio politopológico: Un espacio politopológico es un conjunto de una familia de topologías que está ordenado linealmente por la relación de inclusión donde es un conjunto de índice arbitrario . ${\estilo de visualización X}$ $\{\tau _{i}\}_{i\in I}$ ${\estilo de visualización X}$ $I$

Punto P: Un punto de un espacio topológico es un punto P si su filtro de vecindades está cerrado bajo intersecciones contables.

Precompacto: Ver relativamente compacto .

Conjunto pre-abierto: Un subconjunto A de un espacio topológico X es preabierto si . ^[4] $A\subseteq \nombreoperador {Int} _{X}\left(\nombreoperador {Cl} _{X}A\right)$

Topología prodiscreta: La topología prodiscreta de un producto A ^G es la topología del producto cuando a cada factor A se le da la topología discreta. ^[20]

Topología del producto: Si es una colección de espacios y X es el producto cartesiano (teórico de conjuntos) de entonces la topología del producto en X es la topología más burda para la cual todos los mapas de proyección son continuos. $\left(X_{i}\right)$ $\left(X_{i}\right),$

Función/mapeo adecuado: Una función continua f de un espacio X a un espacio Y es propia si es un conjunto compacto en X para cualquier subespacio compacto C de Y. $Estilo de visualización f-1(C)$

Espacio de proximidad: Un espacio de proximidad ( X , d ) es un conjunto X dotado de una relación binaria d entre subconjuntos de X que satisface las siguientes propiedades:

Para todos los subconjuntos A , B y C de X ,

A d B implica B d A
A d B implica que A no está vacío
Si A y B tienen intersección no vacía, entonces A d B
A d ( B C ) si y sólo si ( A d B o A d C ) $\taza$
Si, para todos los subconjuntos E de X , tenemos ( A d E o B d E ), entonces debemos tener A d ( X − B )

Pseudocompacto: Un espacio es pseudocompacto si cada función continua de valor real en el espacio está acotada.

Pseudométrico: Véase espacio pseudométrico .

Espacio pseudométrico: Un espacio pseudométrico ( M , d ) es un conjunto M dotado de una función de valor real que satisface todas las condiciones de un espacio métrico, excepto posiblemente la identidad de los indiscernibles. Es decir, los puntos en un espacio pseudométrico pueden estar "infinitamente cerca" sin ser idénticos. La función d es una pseudométrica en M. Toda métrica es una pseudométrica. $d:M\times M\to \mathbb {R}$

Barrio perforado / Barrio perforado: Un entorno perforado de un punto x es un entorno de x , menos { x }. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = { y : −1 < y < 1} es un entorno de x = 0 en la recta real , por lo que el conjunto es un entorno perforado de 0. $(-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)-\{0\}$

Q

Cuasicompacto: Véase compacto . Algunos autores definen "compacto" para incluir el axioma de separación de Hausdorff , y utilizan el término cuasicompacto para referirse a lo que en este glosario llamamos simplemente "compacto" (sin el axioma de Hausdorff). Esta convención se encuentra más comúnmente en francés y en ramas de las matemáticas fuertemente influenciadas por el francés.

Mapa de cocientes: Si X e Y son espacios, y si f es una sobreyección de X a Y , entonces f es una función cociente (o función de identificación ) si, para cada subconjunto U de Y , U es abierto en Y si y solo si f ^-¹ ( U ) es abierto en X . En otras palabras, Y tiene la topología f -fuerte. De manera equivalente, es una función cociente si y solo si es la composición transfinita de funciones , donde es un subconjunto. Nótese que esto no implica que f sea una función abierta. ${\estilo de visualización f}$ $X\rightarrow X/Z$ $Z\subconjunto X$

Espacio cociente: Si X es un espacio, Y es un conjunto y f : X → Y es cualquier función sobreyectiva , entonces la topología de cociente sobre Y inducida por f es la topología más fina para la que f es continua. El espacio X es un espacio de cociente o espacio de identificación . Por definición, f es una función de cociente. El ejemplo más común de esto es considerar una relación de equivalencia sobre X , con Y el conjunto de clases de equivalencia y f la función de proyección natural. Esta construcción es dual a la construcción de la topología de subespacio.

R

Refinamiento: Una cubierta K es un refinamiento de una cubierta L si cada miembro de K es un subconjunto de algún miembro de L.
Regular: Un espacio es regular si, siempre que C es un conjunto cerrado y x es un punto no en C , entonces C y x tienen vecindades disjuntas .
Hausdorff regular: Un espacio es Hausdorff regular (o T ₃ ) si es un espacio T _{0 regular. (Un espacio regular es Hausdorff}si y sólo si es T ₀ , por lo que la terminología es consistente).
Abierto regularmente: Un subconjunto de un espacio X es regular abierto si es igual al interior de su clausura; dualmente, un conjunto regular cerrado es igual a la clausura de su interior. ^[21] Un ejemplo de conjunto abierto no regular es el conjunto U = $(0,1)$ ∪ $(1,2)$ en R con su topología normal, ya que 1 está en el interior de la clausura de U , pero no en U . Los subconjuntos regulares abiertos de un espacio forman un álgebra de Boole completa . ^[21]
Relativamente compacto: Un subconjunto Y de un espacio X es relativamente compacto en X si la clausura de Y en X es compacta.
Residual: Si X es un espacio y A es un subconjunto de X , entonces A es residuo en X si el complemento de A es magro en X . También llamado comeagre o comeager .
Soluble: Un espacio topológico se denomina resoluble si se puede expresar como la unión de dos subconjuntos densos disjuntos .
Llanta compacta: Un espacio es compacto en su borde si tiene una base de conjuntos abiertos cuyos límites son compactos.

S

Espacio S: Un espacio S es un espacio hereditariamente separable que no es hereditariamente Lindelöf . ^[14]

Disperso: Un espacio X está disperso si cada subconjunto no vacío A de X contiene un punto aislado en A.

Escocés: La topología de Scott en un conjunto poset es aquella en la que los conjuntos abiertos son aquellos conjuntos superiores inaccesibles mediante uniones dirigidas. ^[22]

Segunda categoria: Ver Magro .

Segundo contable: Un espacio es segundo-contable o perfectamente separable si tiene una base contable para su topología. ^[8] Todo espacio segundo-contable es primero-contable, separable y Lindelöf.

Semilocalmente simplemente conectado: Un espacio X es semilocalmente simplemente conexo si, para cada punto x en X , existe un entorno U de x tal que cada bucle en x en U es homotópico en X al bucle constante x . Todo espacio simplemente conexo y todo espacio localmente simplemente conexo es semilocalmente simplemente conexo. (Compárese con localmente simplemente conexo; aquí, se permite que la homotopía viva en X , mientras que en la definición de localmente simplemente conexo, la homotopía debe vivir en U .)

Semiabierto: Un subconjunto A de un espacio topológico X se denomina semiabierto si . ^[23] $A\subseteq \nombreoperador {Cl} _{X}\left(\nombreoperador {Int} _{X}A\right)$

Semi-preabierto: Un subconjunto A de un espacio topológico X se denomina semipreabierto si ^[2] $A\subseteq \operatorname {Cl} _{X}\left(\operatorname {Int} _{X}\left(\operatorname {Cl} _{X}A\right)\right)$

Semiregular: Un espacio es semirregular si los conjuntos abiertos regulares forman una base.

Separable: Un espacio es separable si tiene un subconjunto denso contable . ^[8]^[16]

Apartado: Dos conjuntos A y B están separados si cada uno es disjunto del cierre del otro.

Secuencialmente compacto: Un espacio es secuencialmente compacto si cada secuencia tiene una subsecuencia convergente. Todo espacio secuencialmente compacto es numerablemente compacto, y todo espacio numerablemente compacto y primero numerable es secuencialmente compacto.

Mapa corto: Ver mapa métrico

Simplemente conectado: Un espacio está simplemente conexo si está conexo por caminos y cada bucle es homotópico a un mapa constante.

Topología más pequeña: Véase Topología más gruesa .

Sobrio: En un espacio sobrio , cada subconjunto cerrado irreducible es la clausura de exactamente un punto: es decir, tiene un único punto genérico . ^[24]

Estrella: La estrella de un punto en una cubierta dada de un espacio topológico es la unión de todos los conjuntos en la cubierta que contienen el punto. Véase refinamiento de estrella .

$f$ -Topología fuerte: Sea una función de espacios topológicos. Decimos que tiene la topología -fuerte si, para cada subconjunto , se tiene que es abierto en si y sólo si es abierto en $f\colon X\rightarrow Y$ $Y$ $f$ $U\subset Y$ $U$ $Y$ $f^{-1}(U)$ $X$

Topología más fuerte: Véase Topología más fina . Atención, algunos autores, especialmente analistas , utilizan el término topología más débil .

Subbase: Una colección de conjuntos abiertos es una subbase (o subbase ) para una topología si cada conjunto abierto propio no vacío en la topología es la unión de una intersección finita de conjuntos en la subbase. Si es cualquier colección de subconjuntos de un conjunto X , la topología en X generada por es la topología más pequeña que contiene esta topología consiste en el conjunto vacío, X y todas las uniones de intersecciones finitas de elementos de Por lo tanto, es una subbase para la topología que genera. ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {B}};$ ${\mathcal {B}}.$ ${\mathcal {B}}$

Subbase: Ver Subbase .

Subcubierta: Una cubierta K es una subcubierta (o subcubierta ) de una cubierta L si cada miembro de K es un miembro de L.

Subcubrimiento: Ver subportada .
Espacio submáximo: Se dice que un espacio topológico es submáximo si cada subconjunto del mismo es localmente cerrado, es decir, cada subconjunto es la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado .

A continuación se presentan algunos datos sobre la submaximalidad como propiedad de los espacios topológicos:

Cada espacio de puerta es submáximo.
Todo espacio submáximo es débilmente submáximo , es decir, todo conjunto finito es localmente cerrado.
Todo espacio submáximo es irresoluble . ^[25]

Subespacio: Si T es una topología en un espacio X , y si A es un subconjunto de X , entonces la topología del subespacio en A inducida por T consiste en todas las intersecciones de conjuntos abiertos en T con A . Esta construcción es dual a la construcción de la topología cociente.

yo

T0: Un espacio es T 0 (o Kolmogorov ) si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio, hay un conjunto abierto que contiene a x pero no a y , o hay un conjunto abierto que contiene a y pero no a x .

T1: Un espacio es T 1 (o Fréchet o accesible ) si para cada par de puntos distintos x e y en el espacio, hay un conjunto abierto que contiene a x pero no a y . (Compárese con T ₀ ; aquí, se nos permite especificar qué punto estará contenido en el conjunto abierto). De manera equivalente, un espacio es T ₁ si todos sus singletons son cerrados. Todo espacio T ₁ es T ₀ .

T2: Véase espacio de Hausdorff .

T3: Véase Hausdorff Regular .

T3½: Véase espacio de Tichonoff .

T4: Véase Normal Hausdorff .

T5: Ver Hausdorff completamente normal .

Arriba: Véase Categoría de espacios topológicos .

Punto de cúmulo θ, θ-cerrado, θ-abierto: Un punto x de un espacio topológico X es un punto θ-cúmulo de un subconjunto A si para cada entorno abierto U de x en X . El subconjunto A es θ-cerrado si es igual al conjunto de sus puntos θ-cúmulo, y θ-abierto si su complemento es θ-cerrado. ^[23] $A\cap \operatorname {Cl} _{X}(U)\neq \emptyset$

Invariante topológico: Un invariante topológico es una propiedad que se conserva bajo el homeomorfismo. Por ejemplo, la compacidad y la conexidad son propiedades topológicas, mientras que la acotación y la completitud no lo son. La topología algebraica es el estudio de las construcciones de álgebra abstracta topológicamente invariantes en espacios topológicos.

Espacio topológico: Un espacio topológico ( X , T ) es un conjunto X equipado con una colección T de subconjuntos de X que satisfacen los siguientes axiomas :

El conjunto vacío y X están en T.
La unión de cualquier colección de conjuntos en T también está en T.
La intersección de cualquier par de conjuntos en T también está en T.

La colección T es una topología en X.

Suma topológica: Véase Topología de coproducto .

Topológicamente completo: Los espacios completamente metrizables (es decir, espacios topológicos homeomorfos a espacios métricos completos) a menudo se denominan topológicamente completos ; a veces el término también se utiliza para espacios Čech-completos o espacios completamente uniformizables .

Topología: Véase Espacio topológico .

Totalmente delimitado: Un espacio métrico M está totalmente acotado si, para cada r > 0, existe una cobertura finita de M por bolas abiertas de radio r . Un espacio métrico es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado.

Totalmente desconectado: Un espacio está totalmente desconectado si no tiene ningún subconjunto conexo con más de un punto.

Topología trivial: La topología trivial (o topología indiscreta ) sobre un conjunto X consiste precisamente en el conjunto vacío y en todo el espacio X.

Tichonoff: Un espacio de Tichonoff (o espacio de Hausdorff completamente regular , espacio completamente T ₃ , espacio T _3,5 ) es un espacio T ₀ completamente regular . (Un espacio completamente regular es de Hausdorff si y solo si es T ₀ , por lo que la terminología es consistente). Todo espacio de Tichonoff es de Hausdorff regular.

tú

Ultraconectado: Un espacio es ultraconexo si no hay dos conjuntos cerrados no vacíos disjuntos. ^[13] Todo espacio ultraconexo es conexo por trayectorias.

Ultramétrico: Una métrica es ultramétrica si satisface la siguiente versión más fuerte de la desigualdad triangular : para todo x , y , z en M , d ( x , z ) ≤ máx( d ( x , y ), d ( y , z )).

Isomorfismo uniforme: Si X e Y son espacios uniformes , un isomorfismo uniforme de X a Y es una función biyectiva f : X → Y tal que f y f ⁻¹ son uniformemente continuas . Se dice entonces que los espacios son uniformemente isomorfos y comparten las mismas propiedades uniformes .

Uniformizable /Uniformizable: Un espacio es uniformizable si es homeomorfo a un espacio uniforme.

Espacio uniforme: Un espacio uniforme es un conjunto X dotado de una colección no vacía Φ de subconjuntos del producto cartesiano X × X que satisfacen los siguientes axiomas :

Si U está en Φ, entonces U contiene { ( x , x ) | x en X }.
Si U está en Φ, entonces { ( y , x ) | ( x , y ) en U } también está en Φ
Si U está en Φ y V es un subconjunto de X × X que contiene a U , entonces V está en Φ
Si U y V están en Φ, entonces U ∩ V está en Φ
si U está en Φ, entonces existe V en Φ tal que, siempre que ( x , y ) y ( y , z ) estén en V , entonces ( x , z ) está en U .

Los elementos de Φ se denominan entornos , y Φ en sí mismo se denomina estructura uniforme en X. La estructura uniforme induce una topología en X donde los entornos básicos de x son conjuntos de la forma { y : ( x , y )∈ U } para U ∈Φ.

Estructura uniforme: Ver espacio uniforme .

Yo

Topología débil: La topología débil de un conjunto, con respecto a una colección de funciones de ese conjunto en espacios topológicos, es la topología más burda del conjunto que hace que todas las funciones sean continuas.
Topología más débil: Véase Topología más gruesa . Atención, algunos autores, especialmente analistas , utilizan el término topología más fuerte .
Débilmente contablemente compacto: Un espacio es débilmente numerablemente compacto (o compacto en punto límite ) si cada subconjunto infinito tiene un punto límite.
Débilmente hereditario: Se dice que una propiedad de los espacios es débilmente hereditaria si, siempre que un espacio tiene esa propiedad, también la tiene cada subespacio cerrado del mismo. Por ejemplo, la compacidad y la propiedad de Lindelöf son ambas propiedades débilmente hereditarias, aunque ninguna es hereditaria.
Peso: El peso de un espacio X es el número cardinal más pequeño κ tal que X tiene una base de cardinal κ. (Nótese que tal número cardinal existe, porque toda la topología forma una base y porque la clase de números cardinales está bien ordenada ).
Bien conectado: Véase Ultraconectado . (Algunos autores utilizan este término estrictamente para espacios compactos ultraconectados).

O

Cero-dimensional: Un espacio es de dimensión cero si tiene una base de conjuntos abiertos y cerrados. ^[26]

Véase también

Teoría de conjuntos ingenua , teoría de conjuntos axiomática y función para definiciones relativas a conjuntos y funciones.
Topología para una breve historia y descripción del área temática
Espacios topológicos para definiciones básicas y ejemplos
Lista de temas generales de topología
Lista de ejemplos de topología general

Conceptos específicos de topología

Otros glosarios

Referencias

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Enlaces externos

Glosario de definiciones en topología