Espacio topológico con una imagen acotada bajo cualquier función continua a R
En matemáticas , en el campo de la topología , se dice que un espacio topológico es pseudocompacto si su imagen bajo cualquier función continua R es acotada . Muchos autores incluyen el requisito de que el espacio sea completamente regular en la definición de pseudocompacidad. Los espacios pseudocompactos fueron definidos por Edwin Hewitt en 1948. [1]
Propiedades relacionadas con la pseudocompacidad
- Para que un espacio de Tichonoff X sea pseudocompacto se requiere que cada colección localmente finita de conjuntos abiertos no vacíos de X sea finita . Hay muchas condiciones equivalentes para la pseudocompacidad (a veces se debe suponer algún axioma de separación ); un gran número de ellas se citan en Stephenson 2003. Algunas observaciones históricas sobre resultados anteriores se pueden encontrar en Engelking 1989, p. 211.
- Todo espacio numerablemente compacto es pseudocompacto. Para los espacios de Hausdorff normales, se cumple lo inverso.
- Como consecuencia del resultado anterior, todo espacio secuencialmente compacto es pseudocompacto. Lo inverso es cierto para los espacios métricos . Como la compacidad secuencial es una condición equivalente a la compacidad para los espacios métricos, esto implica que la compacidad es una condición equivalente a la pseudocompacidad también para los espacios métricos.
- El resultado más débil de que todo espacio compacto es pseudocompacto se demuestra fácilmente: la imagen de un espacio compacto bajo cualquier función continua es compacta, y todo conjunto compacto en un espacio métrico está acotado.
- Si Y es la imagen continua de la pseudocompacta X , entonces Y es pseudocompacta. Nótese que para las funciones continuas g : X → Y y h : Y → R , la composición de g y h , llamada f , es una función continua desde X hasta los números reales. Por lo tanto, f está acotada e Y es pseudocompacta.
- Sea X un conjunto infinito dada la topología puntual particular . Entonces X no es compacto, secuencialmente compacto, numerablemente compacto, paracompacto ni metacompacto (aunque es ortocompacto ). Sin embargo, dado que X es hiperconexo , es pseudocompacto. Esto demuestra que la pseudocompacidad no implica ninguna de estas otras formas de compacidad.
- Para que un espacio de Hausdorff X sea compacto se requiere que X sea pseudocompacto y realcompacto (véase Engelking 1968, pág. 153).
- Para que un espacio de Tichonoff X sea compacto se requiere que X sea pseudocompacto y metacompacto (ver Watson).
Grupos topológicos pseudocompactos
Existe una teoría relativamente refinada para los grupos topológicos pseudocompactos . [2] En particular, WW Comfort y Kenneth A. Ross demostraron que un producto de grupos topológicos pseudocompactos sigue siendo pseudocompacto (esto podría fallar para espacios topológicos arbitrarios). [3]
Notas
- ^ Anillos de funciones continuas de valores reales, I, Trans. Amer. Math. Soc. 64 [1](1948), 45-99.
- ^ Véase, por ejemplo, Mikhail Tkachenko, Topological Groups: Between Compactness and -boundedness, en Mirek Husek y Jan van Mill (eds.), Recent Progress in General Topology II, 2002 Elsevier Science BV
- ^ Comfort, WW y Ross, KA, Pseudocompacidad y continuidad uniforme en grupos topológicos, Pacific J. Math. 16, 483-496, 1966. [2]
Véase también
Referencias
- Engelking, Ryszard (1968), Esquema de topología general , traducido del polaco, Amsterdam: Holanda Septentrional.
- Engelking, Ryszard (1989), Topología general , Berlín: Heldermann Verlag.
- Kerstan, Johannes (1957), "Zur Charakterisierung der pseudokompakten Räume", Mathematische Nachrichten , 16 (5–6): 289–293, doi :10.1002/mana.19570160505.
- Stephenson, RM Jr (2003), Espacios pseudocompactos , capítulo d-7 en Encyclopedia of General Topology, editado por: Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata y Jerry E. Vaughan, páginas 177-181, Ámsterdam: Elsevier BV.
- Watson, W. Stephen (1981), "Los espacios pseudocompactos metacompactos son compactos", Proc. Amer. Math. Soc. , 81 : 151–152, doi : 10.1090/s0002-9939-1981-0589159-1.
- Willard, Stephen (1970), Topología general , Reading, Mass.: Addison-Wesley.
- Yan-Min, Wang (1988), "Nuevas caracterizaciones de espacios pseudocompactos", Bull. Austral. Math. Soc. , 38 (2): 293–298, doi : 10.1017/S0004972700027568.
Enlaces externos
