En matemáticas , en el campo de la topología , se dice que un espacio topológico es realcompacto si es completamente regular de Hausdorff y contiene todos los puntos de su compactificación de Stone-Čech que son reales (lo que significa que el campo cociente en ese punto del anillo de funciones reales son los reales). Los espacios reales compactos también han sido llamados espacios Q , espacios saturados , espacios funcionalmente completos , espacios reales completos , espacios repletos y espacios de Hewitt-Nachbin (llamados así en honor a Edwin Hewitt y Leopoldo Nachbin ). Hewitt (1948) introdujo los espacios reales compactos.
Propiedades
- Un espacio es realcompacto si y sólo si puede incrustarse homeomórficamente como un subconjunto cerrado en alguna potencia cartesiana (no necesariamente finita) de los reales, con la topología del producto . Además, un espacio (Hausdorff) es realcompacto si y sólo si tiene una topología uniforme y es completo para la estructura uniforme generada por las funciones continuas de valores reales (Gillman, Jerison, p. 226).
- Por ejemplo , los espacios de Lindelöf son realmente compactos; en particular, todos los subconjuntos de son realmente compactos.
- La compactación real (Hewitt) υ X de un espacio topológico X consta de los puntos reales de su compactificación de Stone- Čech β X. Un espacio topológico X es realcompacto si y sólo si coincide con su compactificación real de Hewitt.
- Escriba C ( X ) para el anillo de funciones continuas de valores reales en un espacio topológico X . Si Y es un espacio compacto real, entonces los homomorfismos de anillo de C ( Y ) a C ( X ) corresponden a mapas continuos de X a Y. En particular, la categoría de espacios reales compactos es dual a la categoría de anillos de la forma C ( X ).
- Para que un espacio de Hausdorff X sea compacto es necesario y suficiente que X sea realcompacto y pseudocompacto (ver Engelking, p. 153).
Ver también
Referencias
- Gillman, Leonard ; Jerison, Meyer , "Anillos de funciones continuas". Reimpresión de la edición de 1960. Textos de Graduado en Matemáticas, núm. 43. Springer-Verlag, Nueva York-Heidelberg, 1976. xiii+300 págs.
- Hewitt, Edwin (1948), "Anillos de funciones continuas de valor real. I", Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense , 64 (1): 45–99, doi : 10.2307/1990558 , ISSN 0002-9947, JSTOR 1990558, SEÑOR 0026239.
- Engelking, Ryszard (1968). Esquema de topología general . Traducido del polaco. Ámsterdam: Publ. de Holanda Septentrional. Co..
- Willard, Stephen (1970), Topología general , Reading, Mass.: Addison-Wesley.
