Espacio politopológico

En topología general , un espacio politopológico consiste en un conjunto junto con una familia de topologías en que está ordenado linealmente por la relación de inclusión donde es un conjunto de índice arbitrario . Por lo general, se supone que las topologías están en orden no decreciente. ^{[1] [2] Sin embargo, algunos autores prefieren que los} operadores de cierre asociados estén en orden no decreciente donde si y solo si para todos . Esto requiere topologías no crecientes. ^[3] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\tau _{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{k_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle k_{i}\leq k_{j}}$ ${\displaystyle k_{i}A\subseteq k_{j}A}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$

Definiciones formales

Un espacio -topológico es un conjunto con una función monótona Top donde es un conjunto parcialmente ordenado y Top es el conjunto de todas las topologías posibles en ordenado por inclusión. Cuando el orden parcial es un orden lineal, entonces se denomina espacio politopológico . Tomando como el número ordinal un espacio -topológico puede considerarse como un conjunto con topologías en él. De manera más general, un espacio multitopológico es un conjunto con una familia arbitraria de topologías en él. ^[2] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau :L\to }$ ${\displaystyle (X)}$ ${\displaystyle (L,\leq )}$ ${\displaystyle (X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle n=\{0,1,\dots ,n-1\},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (X,\tau _{0},\dots ,\tau _{n-1})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau _{0}\subseteq \dots \subseteq \tau _{n-1}}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$

Historia

Los espacios politopológicos fueron introducidos en 2008 por el filósofo Thomas Icard con el propósito de definir un modelo topológico de la lógica polimodal de Japaridze (GLP) . ^[1] Posteriormente se utilizaron para generalizar variantes del problema de complemento de cierre de Kuratowski . ^{[2] [3]} Por ejemplo, Taras Banakh et al. demostraron que bajo la composición de operadores, los operadores de cierre y el operador de complemento en un espacio -topológico arbitrario pueden generar juntos como máximo operadores distintos ^[2] donde En 1965, el lógico finlandés Jaakko Hintikka encontró este límite para el caso y afirmó ^[4] que "no parece obedecer ninguna ley muy simple como función de ". ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2\cdot K(n)}$ $${\displaystyle K(n)=\sum _{i,j=0}^{n}{\tbinom {i+j}{i}}\cdot {\tbinom {i+j}{j}}.}$$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n}$

Véase también

• Espacio bitopológico

Referencias

1. Icard, III, Thomas F. (2008). Modelos de la lógica de demostrabilidad polimodal (PDF) (Tesis de maestría). Universidad de Ámsterdam.
2. Banakh, Taras; Chervak, Ostap; Martynyuk, Tetyana; Pylypovych, Maksym; Ravsky, Alex; Simkiv, Markiyan (2018). "Monoides de Kuratowski de n {\ Displaystyle n} -Espacios topológicos". Álgebra topológica y sus aplicaciones . 6 (1): 1–25. arXiv : 1508.07703 . doi : 10.1515/taa-2018-0001 .
3. Canilang, Sara; Cohen, Michael P.; Graese, Nicolas; Seong, Ian (2021). "El problema de la frontera de complemento de clausura en espacios politopológicos saturados". Revista de Matemáticas de Nueva Zelanda . 51 : 3–27. arXiv : 1907.08203 . doi : 10.53733/151 . MR  4374156.
4. Hintikka, Jaakko (1965). "Un resultado de clausura y complemento para topologías anidadas". Fundamenta Mathematicae . 57 : 97–106. MR  0195034.