Un continuo que contiene más de un punto se llama no degenerado .
Un subconjunto A de un continuo X tal que A en sí mismo es un continuo se denomina subcontinuo de X. Un espacio homeomorfo a un subcontinuo del plano euclidiano R 2 se denomina continuo plano .
Un continuo X es homogéneo si para cada dos puntos x e y en X , existe un homeomorfismo h : X → X tal que h ( x ) = y .
Un continuo de Peano es un continuo que está conectado localmente en cada punto.
Un continuo indescomponible es un continuo que no puede representarse como la unión de dos subcontinuos propios. Un continuo X es indescomponible hereditariamente si cada subcontinuo de X es indescomponible.
La dimensión de un continuo suele ser su dimensión topológica . Un continuo unidimensional suele denominarse curva .
Ejemplos
Un arco es un espacio homeomorfo al intervalo cerrado [0,1]. Si h : [0,1] → X es un homeomorfismo y h (0) = p y h (1) = q entonces p y q se llaman los puntos finales de X ; también se dice que X es un arco de p a q . Un arco es el tipo más simple y más conocido de un continuo. Es unidimensional, conexo en forma de arco y localmente conexo.
La curva seno del topólogo es un subconjunto del plano que es la unión del gráfico de la función f ( x ) = sen(1/ x ), 0 < x ≤ 1 con el segmento −1 ≤ y ≤ 1 del eje y . Es un continuo unidimensional que no está conexo en arcos y está desconectado localmente en los puntos a lo largo del eje y .
Una celda n es un espacio homeomorfo a la esfera cerrada en el espacio euclidiano R n . Es contráctil y es el ejemplo más simple de un continuo n -dimensional.
Una n -esfera es un espacio homeomorfo a la n-esfera estándar en el espacio euclidiano de dimensión ( n + 1). Es un continuo homogéneo de dimensión n que no es contráctil y, por lo tanto, diferente de una n -celda.
Los solenoides se encuentran entre los ejemplos más simples de continuos homogéneos indecomponibles. No están conexos en arco ni localmente.
La alfombra de Sierpinski , también conocida como curva universal de Sierpinski , es un continuo de Peano plano unidimensional que contiene una imagen homeomórfica de cualquier continuo plano unidimensional.
El pseudoarco es un continuo plano homogéneo, hereditariamente indescomponible.
Propiedades
Existen dos técnicas fundamentales para construir continuos, mediante intersecciones anidadas y límites inversos .
Si { X n } es una familia anidada de continuos, es decir, X n ⊇ X n +1 , entonces su intersección es un continuo.
Si {( X n , f n )} es una secuencia inversa de continuos X n , llamados espacios de coordenadas , junto con aplicaciones continuas f n : X n +1 → X n , llamadas aplicaciones de enlace , entonces su límite inverso es un continuo.
Un producto finito o contable de continuos es un continuo.
Sam B. Nadler, Jr., Teoría del continuo. Una introducción . Matemáticas puras y aplicadas, Marcel Dekker. ISBN 0-8247-8659-9 .
Enlaces externos
Problemas abiertos en la teoría del continuo
Ejemplos de teoría del continuo
Teoría del continuo y dinámica topológica, M. Barge y J. Kennedy, en Problemas abiertos en topología, J. van Mill y GM Reed (Editores) Elsevier Science Publishers BV (Holanda del Norte), 1990.
