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Teoría de la forma (matemáticas)

La teoría de formas es una rama de la topología que proporciona una visión más global de los espacios topológicos que la teoría de homotopía . Las dos coinciden en compacta dominada homotópicamente por poliedros finitos . La teoría de formas se asocia con la teoría de homología de Čech mientras que la teoría de homotopía se asocia con la teoría de homología singular .

Fondo

La teoría de la forma fue inventada y publicada por DE Christie en 1944; fue reinventada, desarrollada y promovida por el matemático polaco Karol Borsuk en 1968. En realidad, el nombre de teoría de la forma fue acuñado por Borsuk.

Círculo de Varsovia

El círculo de Varsovia

Borsuk vivió y trabajó en Varsovia , de ahí el nombre de uno de los ejemplos fundamentales del área, el círculo de Varsovia . [1] Es un subconjunto compacto del plano producido al "cerrar" una curva sinusoidal de un topólogo (también llamada curva sinusoidal de Varsovia ) con un arco. Los grupos de homotopía del círculo de Varsovia son todos triviales , al igual que los de un punto, por lo que cualquier mapa entre el círculo de Varsovia y un punto induce una equivalencia de homotopía débil . Sin embargo, estos dos espacios no son homotópicamente equivalentes . Entonces, por el teorema de Whitehead , el círculo de Varsovia no tiene el tipo de homotopía de un complejo CW .

Desarrollo histórico

La teoría de formas de Borsuk fue generalizada a espacios compactos arbitrarios (no métricos ), e incluso a categorías generales, por Włodzimierz Holsztyński en el año 1968/1969, y publicada en Fund. Math. 70 , 157–168, y. 1971 (véase Jean-Marc Cordier, Tim Porter, (1989) a continuación). Esto se hizo en un estilo continuo , característico de la homología de Čech presentada por Samuel Eilenberg y Norman Steenrod en su monografía Foundations of Algebraic Topology . Debido a la circunstancia [ aclaración necesaria ] , el artículo de Holsztyński pasó casi desapercibido y, en cambio, un artículo posterior de Sibe Mardešić y Jack Segal, Fund. Math. 72 , 61–68, y.1971, ganó gran popularidad en el campo . Los desarrollos posteriores se reflejan en las referencias que figuran a continuación y en su contenido.

Para algunos propósitos, como los sistemas dinámicos , se desarrollaron invariantes más sofisticados bajo el nombre de forma fuerte . Se han encontrado generalizaciones para la geometría no conmutativa , por ejemplo, la teoría de la forma para las álgebras de operadores .

Véase también

Referencias

  1. ^ "El círculo polaco y algunas de sus propiedades inusuales". Apuntes de clase de Matemáticas 205B-2012, Universidad de California Riverside. Consultado el 16 de noviembre de 2023. Véase también el diagrama adjunto "Construcciones sobre el círculo polaco"