La teoría de formas es una rama de la topología que proporciona una visión más global de los espacios topológicos que la teoría de homotopía . Las dos coinciden en compacta dominada homotópicamente por poliedros finitos . La teoría de formas se asocia con la teoría de homología de Čech mientras que la teoría de homotopía se asocia con la teoría de homología singular .
La teoría de la forma fue inventada y publicada por DE Christie en 1944; fue reinventada, desarrollada y promovida por el matemático polaco Karol Borsuk en 1968. En realidad, el nombre de teoría de la forma fue acuñado por Borsuk.
Borsuk vivió y trabajó en Varsovia , de ahí el nombre de uno de los ejemplos fundamentales del área, el círculo de Varsovia . [1] Es un subconjunto compacto del plano producido al "cerrar" una curva sinusoidal de un topólogo (también llamada curva sinusoidal de Varsovia ) con un arco. Los grupos de homotopía del círculo de Varsovia son todos triviales , al igual que los de un punto, por lo que cualquier mapa entre el círculo de Varsovia y un punto induce una equivalencia de homotopía débil . Sin embargo, estos dos espacios no son homotópicamente equivalentes . Entonces, por el teorema de Whitehead , el círculo de Varsovia no tiene el tipo de homotopía de un complejo CW .
La teoría de formas de Borsuk fue generalizada a espacios compactos arbitrarios (no métricos ), e incluso a categorías generales, por Włodzimierz Holsztyński en el año 1968/1969, y publicada en Fund. Math. 70 , 157–168, y. 1971 (véase Jean-Marc Cordier, Tim Porter, (1989) a continuación). Esto se hizo en un estilo continuo , característico de la homología de Čech presentada por Samuel Eilenberg y Norman Steenrod en su monografía Foundations of Algebraic Topology . Debido a la circunstancia [ aclaración necesaria ] , el artículo de Holsztyński pasó casi desapercibido y, en cambio, un artículo posterior de Sibe Mardešić y Jack Segal, Fund. Math. 72 , 61–68, y.1971, ganó gran popularidad en el campo . Los desarrollos posteriores se reflejan en las referencias que figuran a continuación y en su contenido.
Para algunos propósitos, como los sistemas dinámicos , se desarrollaron invariantes más sofisticados bajo el nombre de forma fuerte . Se han encontrado generalizaciones para la geometría no conmutativa , por ejemplo, la teoría de la forma para las álgebras de operadores .