Pseudo-arco

En topología general , el pseudoarco es el continuo no degenerado hereditariamente indescomponible más simple . El pseudoarco es un continuo homogéneo similar a un arco y jugó un papel central en la clasificación de los continuos planos homogéneos. RH Bing demostró que, en un cierto sentido bien definido, la mayoría de los continuos en R ⁿ , n ≥ 2, son homeomorfos al pseudoarco.

Historia

En 1920, Bronisław Knaster y Kazimierz Kuratowski preguntaron si un continuo homogéneo no degenerado en el plano euclidiano R ² debe ser una curva de Jordan . En 1921, Stefan Mazurkiewicz preguntó si un continuo no degenerado en R ² que es homeomorfo a cada uno de sus subcontinuos no degenerados debe ser un arco. En 1922, Knaster descubrió el primer ejemplo de un continuo hereditariamente indescomponible K , más tarde llamado pseudo-arco, dando una respuesta negativa a una pregunta de Mazurkiewicz. En 1948, RH Bing demostró que el continuo de Knaster es homogéneo, es decir, para dos de sus puntos hay un homeomorfismo que lleva uno al otro. Sin embargo, también en 1948, Edwin Moise demostró que el continuo de Knaster es homeomorfo a cada uno de sus subcontinuos no degenerados. Debido a su semejanza con la propiedad fundamental del arco, es decir, ser homeomorfo a todos sus subcontinuos no degenerados, Moise llamó a su ejemplo M un pseudoarco . ^[a] La construcción de Bing es una modificación de la construcción de Moise de M , que había escuchado por primera vez descrita en una conferencia. En 1951, Bing demostró que todos los continuos de tipo arco hereditariamente indecomponibles son homeomorfos - esto implica que K de Knaster, M de Moise y B de Bing son todos homeomorfos. Bing también demostró que el pseudoarco es típico entre los continuos en un espacio euclidiano de dimensión al menos 2 o un espacio de Hilbert separable de dimensión infinita . ^[b] Bing y F. Burton Jones construyeron un continuo plano descomponible que admite una función abierta sobre el círculo, con cada preimagen de punto homeomorfa al pseudoarco, llamado el círculo de pseudoarcos. Bing y Jones también demostraron que es homogéneo. En 2016, Logan Hoehn y Lex Oversteegen clasificaron todos los continuos homogéneos planos, salvo un homeomorfismo, como círculo, pseudoarco y círculo de pseudoarcos. En 2019, Hoehn y Oversteegen demostraron que el pseudoarco es topológicamente el único continuo plano hereditariamente equivalente, aparte del arco, proporcionando así una solución completa al caso plano del problema de Mazurkiewicz de 1921.

Construcción

La siguiente construcción del pseudoarco sigue a Lewis (1999).

Cadenas

En el corazón de la definición del pseudoarco se encuentra el concepto de cadena , que se define de la siguiente manera:

Una cadena es una colección finita de conjuntos abiertos en un espacio métrico tal que si y solo si Los elementos de una cadena se denominan sus eslabones , y una cadena se denomina ε-cadena si cada uno de sus eslabones tiene un diámetro menor que ε. ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{C_{1},C_{2},\ldots ,C_{n}\}}$ ${\displaystyle C_{i}\cap C_{j}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle |i-j|\leq 1.}$

Si bien es el más simple de los tipos de espacios enumerados anteriormente, el pseudoarco es en realidad muy complejo. El concepto de que una cadena esté torcida (definido a continuación) es lo que le otorga su complejidad. De manera informal, requiere que una cadena siga un cierto patrón recursivo en zigzag en otra cadena. Para "moverse" desde el eslabón m de la cadena más grande hasta el n , la cadena más pequeña primero debe moverse de manera torcida desde el eslabón m hasta el eslabón ( n  − 1), luego de manera torcida hasta el eslabón ( m  + 1) y, finalmente, hasta el eslabón n .

Más formalmente:

Sean y cadenas tales que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

1. cada enlace de es un subconjunto de un enlace de , y ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
2. para cualesquiera índices i , j , m y n con , y , existen índices y con (o ) y y ${\displaystyle D_{i}\cap C_{m}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle D_{j}\cap C_{n}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle m<n-2}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle i<k<\ell <j}$ ${\displaystyle i>k>\ell >j}$ ${\displaystyle D_{k}\subseteq C_{n-1}}$ ${\displaystyle D_{\ell }\subseteq C_{m+1}.}$

Entonces está torcido en ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Pseudo-arco

Para cualquier colección C de conjuntos, sea la unión de todos los elementos de C . Es decir, sea ${\displaystyle C^{*}}$

${\displaystyle C^{*}=\bigcup _{S\in C}S.}$

El pseudoarco se define de la siguiente manera:

Sean p y q puntos distintos en el plano y una secuencia de cadenas en el plano tales que para cada i , ${\displaystyle \left\{{\mathcal {C}}^{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }}$

1. el primer enlace de contiene p y el último enlace contiene q , ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$
2. La cadena es una -cadena, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$ ${\displaystyle 1/2^{i}}$
3. el cierre de cada enlace de es un subconjunto de algún enlace de , y ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$
4. La cadena está torcida en . ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i+1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{i}}$

Dejar

${\displaystyle P=\bigcap _{i\in \mathbb {N} }\left({\mathcal {C}}^{i}\right)^{*}.}$

Entonces P es un pseudoarco .

Notas

1. Henderson (1960) demostró posteriormente que un continuo descomponible homeomorfo a todos sus subcontinuos no degenerados debe ser un arco.
2. La historia del descubrimiento del pseudoarco se describe en Nadler (1992), págs. 228-229.

Referencias

• Bing, RH (1948), "Un continuo plano homogéneo indescomponible", Duke Mathematical Journal , 15 (3): 729–742, doi :10.1215/S0012-7094-48-01563-4
• Bing, RH (1951), "Sobre los continuos indecomponibles hereditariamente", Pacific Journal of Mathematics , 1 : 43–51, doi : 10.2140/pjm.1951.1.43
• Bing, RH ; Jones, F. Burton (1959), "Otro continuo plano homogéneo", Transactions of the American Mathematical Society , 90 (1): 171–192, doi : 10.1090/S0002-9947-1959-0100823-3
• Henderson, George W. (1960), "Prueba de que todo continuo compacto descomponible que es topológicamente equivalente a cada uno de sus subcontinuos no degenerados es un arco", Annals of Mathematics , 2.ª serie, 72 (3): 421–428, doi :10.2307/1970224
• Hoehn, Logan C.; Oversteegen, Lex G. (2016), "Una clasificación completa de continuos planos homogéneos", Acta Mathematica , 216 (2): 177–216, arXiv : 1409.6324 , doi : 10.1007/s11511-016-0138-0
• Hoehn, Logan C.; Oversteegen, Lex G. (2020), "Una clasificación completa de los continuos planos hereditariamente equivalentes", Advances in Mathematics , 368 : 107131, arXiv : 1812.08846 , doi : 10.1016/j.aim.2020.107131
• Irwin, Trevor; Solecki, Sławomir (2006), "Límites proyectivos de Fraïssé y el pseudoarco", Transactions of the American Mathematical Society , 358 (7): 3077–3096, doi : 10.1090/S0002-9947-06-03928-6
• Kawamura, Kazuhiro (2005), "Sobre una conjetura de Wood", Glasgow Mathematical Journal , 47 (1): 1–5, doi : 10.1017/S0017089504002186
• Knaster, Bronisław (1922), "Un continu dont tout sous-continu est indécomposable", Fundamenta Mathematicae , 3 : 247–286, doi : 10.4064/fm-3-1-247-286
• Lewis, Wayne (1999), "El Pseudo-Arco", Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana , 5 (1): 25–77
• Lewis, Wayne; Minc, Piotr (2010), "Dibujo del pseudoarco" (PDF) , Houston Journal of Mathematics , 36 : 905–934
• Moise, Edwin (1948), "Un continuo plano indecomponible que es homeomorfo a cada uno de sus subcontinuos no degenerados", Transactions of the American Mathematical Society , 63 (3): 581–594, doi : 10.1090/S0002-9947-1948-0025733-4
• Nadler, Sam B. Jr. (1992), Teoría del continuo. Una introducción , Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, vol. 158, Marcel Dekker, Inc., Nueva York, ISBN 0-8247-8659-9
• Rambla, Fernando (2006), "Un contraejemplo a la conjetura de Wood", Journal of Mathematical Analysis and Applications , 317 (2): 659–667, doi : 10.1016/j.jmaa.2005.07.064
• Rempe-Gillen, Lasse (2016), Continuos de tipo arco, conjuntos de Julia de funciones completas y conjetura de Eremenko , arXiv : 1610.06278