Espacio ultramétrico

Tipo de espacio métrico

En matemáticas , un espacio ultramétrico es un espacio métrico en el que la desigualdad triangular se refuerza a para todos , y . A veces, la métrica asociada también se denomina métrica no arquimediana o supermétrica . ${\displaystyle d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Definición formal

Una ultramétrica en un conjunto M es una función de valor real

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

(donde ℝ denota los números reales ), tales que para todos x , y , z ∈ M :

1. d ( x , y ) ≥ 0 ;
2. d ( x , y ) = d ( y , x ) ( simetría );
3. d ( x , x ) = 0 ;
4. si d ( x , y ) = 0 entonces x = y ;
5. d ( x , z ) ≤ max { d ( x , y ), d ( y , z ) } ( desigualdad triangular fuerte o desigualdad ultramétrica ).

Un espacio ultramétrico es un par ( M , d ) que consiste en un conjunto M junto con un ultramétrico d en M , que se denomina función de distancia asociada del espacio (también llamada métrica ).

Si d satisface todas las condiciones excepto posiblemente la condición 4, entonces d se llama ultrapseudométrico en M. Un espacio ultrapseudométrico es un par ( M , d ) que consiste en un conjunto M y un ultrapseudométrico d en M. [ ^1]

En el caso en que M es un grupo abeliano (escrito de forma aditiva) y d es generado por una función de longitud (de modo que ), la última propiedad se puede fortalecer utilizando el afilado de Krull para: ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$con igualdad si . ${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$

Queremos demostrar que si , entonces la igualdad ocurre si . Sin pérdida de generalidad , supongamos que Esto implica que . Pero también podemos calcular . Ahora, el valor de no puede ser , porque si ese es el caso, tenemos contrariamente a la suposición inicial. Por lo tanto, , y . Usando la desigualdad inicial, tenemos y por lo tanto . ${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$ ${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$ ${\displaystyle \|x\|>\|y\|.}$ ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|}$ ${\displaystyle \|x\|=\|(x+y)-y\|\leq \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$ ${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$ ${\displaystyle \|y\|}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|y\|}$ ${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}=\|x+y\|}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|}$ ${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|}$

Propiedades

En el triángulo de la derecha, los dos puntos inferiores x e y violan la condición d ( x , y ) ≤ max{ d ( x , z ), d ( y , z )}.

De la definición anterior se pueden deducir varias propiedades típicas de la ultrametría. Por ejemplo, para todo , se cumple al menos una de las tres igualdades o o . Es decir, cada triple de puntos del espacio forma un triángulo isósceles , por lo que todo el espacio es un conjunto isósceles . ${\displaystyle x,y,z\in M}$ ${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$ ${\displaystyle d(x,z)=d(y,z)}$ ${\displaystyle d(x,y)=d(z,x)}$

Definiendo la bola (abierta) de radio centrado en como , tenemos las siguientes propiedades: ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}}$

• Cada punto dentro de una bola es su centro, es decir si entonces . ${\displaystyle d(x,y)<r}$ ${\displaystyle B(x;r)=B(y;r)}$
• Las bolas que se intersecan están contenidas unas en otras, es decir, si no está vacío , entonces o . ${\displaystyle B(x;r)\cap B(y;s)}$ ${\displaystyle B(x;r)\subseteq B(y;s)}$ ${\displaystyle B(y;s)\subseteq B(x;r)}$
• Todas las bolas de radio estrictamente positivo son conjuntos abiertos y cerrados en la topología inducida . Es decir, las bolas abiertas también son cerradas y las bolas cerradas (reemplazar por ) también son abiertas. ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \leq }$
• El conjunto de todas las bolas abiertas con radio y centro en una bola cerrada de radio forma una partición de esta última, y ​​la distancia mutua de dos bolas abiertas distintas es (mayor o) igual a . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$

Demostrar estas afirmaciones es un ejercicio instructivo. ^[2] Todas se derivan directamente de la desigualdad triangular ultramétrica. Nótese que, según la segunda afirmación, una pelota puede tener varios puntos centrales que tienen una distancia distinta de cero. La intuición detrás de estos efectos aparentemente extraños es que, debido a la fuerte desigualdad triangular, las distancias en la ultramétrica no suman.

Ejemplos

• La métrica discreta es una ultramétrica.
• Los números p -ádicos forman un espacio ultramétrico completo.
• Consideremos el conjunto de palabras de longitud arbitraria (finita o infinita), Σ ^* , sobre un alfabeto Σ. Definamos la distancia entre dos palabras diferentes como 2 ^{− n} , donde n es el primer lugar en el que las palabras difieren. La métrica resultante es una ultramétrica.
• El conjunto de palabras con extremos pegados de longitud n sobre algún alfabeto Σ es un espacio ultramétrico con respecto a la distancia p -cercana. Dos palabras x e y son p -cercanas si cualquier subcadena de p letras consecutivas ( p < n ) aparece el mismo número de veces (que también podría ser cero) tanto en x como en y . ^[3]
• Si r = ( r _n ) es una secuencia de números reales que decrece hasta cero, entonces | x | _r  := lim sup _{n →∞} | x _n | ^{r _n} induce una ultramétrica en el espacio de todas las secuencias complejas para las que es finita. (Nótese que esto no es una seminorma ya que carece de homogeneidad — Si se permite que los r _n sean cero, uno debería usar aquí la convención bastante inusual de que 0 0  = 0.)
• Si G es un grafo no dirigido ponderado por aristas , todos los pesos de las aristas son positivos y d ( u , v ) es el peso de la ruta minimax entre u y v (es decir, el mayor peso de una arista, en una ruta elegida para minimizar este mayor peso), entonces los vértices del grafo, con distancia medida por d , forman un espacio ultramétrico, y todos los espacios ultramétricos finitos pueden representarse de esta manera. ^[4]

Aplicaciones

• Una aplicación de contracción puede entonces considerarse como una forma de aproximar el resultado final de un cálculo (cuya existencia se puede garantizar mediante el teorema de punto fijo de Banach ). Se pueden encontrar ideas similares en la teoría de dominios . El análisis p -ádico hace un uso intensivo de la naturaleza ultramétrica de la métrica p -ádica .
• En la física de la materia condensada , la superposición autopromediada entre espines en el modelo SK de vidrios de espín exhibe una estructura ultramétrica, con la solución dada por el procedimiento de ruptura de simetría de réplica completa delineado por primera vez por Giorgio Parisi y colaboradores. ^[5] La ultrametricidad también aparece en la teoría de sólidos aperiódicos. ^[6]
• En la taxonomía y la construcción de árboles filogenéticos , las distancias ultramétricas también se utilizan mediante los métodos UPGMA y WPGMA . ^[7] Estos algoritmos requieren una suposición de tasa constante y producen árboles en los que las distancias desde la raíz hasta cada punta de rama son iguales. Cuando se analizan datos de ADN , ARN y proteínas , la suposición de ultrametricidad se denomina reloj molecular .
• Los modelos de intermitencia en turbulencia tridimensional de fluidos hacen uso de las llamadas cascadas, y en modelos discretos de cascadas diádicas, que tienen una estructura ultramétrica. ^[8]
• En geografía y ecología del paisaje , se han aplicado distancias ultramétricas para medir la complejidad del paisaje y evaluar en qué medida una función del paisaje es más importante que otra. ^[9]

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 1–18.
2. "Desigualdad del triángulo ultramétrico". Stack Exchange .
3. Osipov, Gutkin (2013), "Agrupamiento de órbitas periódicas en sistemas caóticos", No linealidad , 26 (26): 177–200, Bibcode :2013Nonli..26..177G, doi :10.1088/0951-7715/26/1/177.
4. Leclerc, Bruno (1981), "Descripción combinatoria de ultramétriques", Centre de Mathématique Sociale. École Pratique des Hautes Études. Mathématiques et Sciences Humaines (en francés) (73): 5–37, 127, SEÑOR  0623034.
5. Mezard, M; Parisi, G; y Virasoro, M: TEORÍA DEL VIDRIO DE GIRO Y MÁS ALLÁ , World Scientific, 1986. ISBN 978-9971-5-0116-7 
6. Rammal, R.; Toulouse, G.; Virasoro, M. (1986). "Ultrametricidad para físicos". Reviews of Modern Physics . 58 (3): 765–788. Bibcode :1986RvMP...58..765R. doi :10.1103/RevModPhys.58.765 . Consultado el 20 de junio de 2011 .
7. Legendre, P. y Legendre, L. 1998. Ecología numérica. Segunda edición en inglés. Desarrollos en modelado ambiental 20. Elsevier, Ámsterdam.
8. Benzi, R.; Biferale, L.; Trovatore, E. (1997). "Estructura ultramétrica de correlaciones de energía multiescala en modelos turbulentos". Physical Review Letters . 79 (9): 1670–1674. arXiv : chao-dyn/9705018 . Código Bibliográfico :1997PhRvL..79.1670B. doi :10.1103/PhysRevLett.79.1670. S2CID  53120932.
9. Papadimitriou, Fivos (2013). "Modelado matemático del uso de la tierra y la complejidad del paisaje con topología ultramétrica". Revista de Ciencias del Uso de la Tierra . 8 (2): 234–254. doi : 10.1080/1747423x.2011.637136 . ISSN  1747-423X. S2CID  121927387.

Bibliografía

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .

Lectura adicional

• Kaplansky, I. (1977), Teoría de conjuntos y espacios métricos , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Geometría no arquimediana en Wikimedia Commons