Topología fina (teoría del potencial)

Topología en el estudio de funciones subarmónicas

En matemáticas , en el campo de la teoría del potencial , la topología fina es una topología natural para plantear el estudio de las funciones subarmónicas . En los primeros estudios de funciones subarmónicas , es decir, aquellas para las que donde es el laplaciano , solo se consideraron funciones suaves . En ese caso, era natural considerar solo la topología euclidiana , pero con el advenimiento de las funciones subarmónicas semicontinuas superiores introducidas por F. Riesz , la topología fina se convirtió en la herramienta más natural en muchas situaciones. ${\displaystyle \Delta u\geq 0,}$ ${\displaystyle \Delta }$

Definición

La topología fina en el espacio euclidiano se define como la topología más burda que hace que todas las funciones subarmónicas (equivalentemente, todas las funciones superarmónicas) sean continuas . Los conceptos de la topología fina suelen ir precedidos de la palabra "fina" para distinguirlos de los conceptos correspondientes en la topología habitual, como por ejemplo "vecindario fino" o "fino continuo". ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Observaciones

La topología fina fue introducida en 1940 por Henri Cartan para ayudar en el estudio de los conjuntos delgados y en un principio se consideró algo patológica debido a la ausencia de una serie de propiedades, como la compacidad local, que tan frecuentemente son útiles en el análisis. Trabajos posteriores han demostrado que la falta de tales propiedades se compensa en cierta medida con la presencia de otras propiedades ligeramente menos fuertes, como la propiedad cuasi-Lindelöf.

En una dimensión, es decir, en la línea real , la topología fina coincide con la topología usual, ya que en ese caso las funciones subarmónicas son precisamente las funciones convexas que ya son continuas en la topología usual (euclidiana). Por lo tanto, la topología fina es de mayor interés en donde . La topología fina en este caso es estrictamente más fina que la topología usual, ya que hay funciones subarmónicas discontinuas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Cartan observó en correspondencia con Marcel Brelot que es igualmente posible desarrollar la teoría de la topología fina utilizando el concepto de "delgadez". En este desarrollo, un conjunto es delgado en un punto si existe una función subarmónica definida en un entorno de tal que ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle v(\zeta )>\limsup _{z\to \zeta ,z\in U}v(z).}$

Entonces, un conjunto es un buen vecindario de si y sólo si el complemento de es delgado en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \zeta }$

Propiedades de la topología fina

La topología fina es en algunos aspectos mucho menos manejable que la topología habitual en el espacio euclidiano, como lo demuestra lo siguiente (tomando ): ${\displaystyle n\geq 2}$

• Un conjunto es fino compacto si y sólo si es finito. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$
• La topología fina en no es localmente compacta (aunque es Hausdorff ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• La topología fina de no es primero-contable , segundo-contable o metrisable . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La topología fina tiene al menos algunas propiedades "mejores":

• La topología fina tiene la propiedad de Baire .
• La topología fina en está conectada localmente . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

La topología fina no posee la propiedad de Lindelöf pero sí tiene la propiedad cuasi-Lindelöf ligeramente más débil:

• Una unión arbitraria de subconjuntos abiertos finos difiere en un conjunto polar de alguna subunión contable. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Referencias

• Conway, John B. (13 de junio de 1996), Funciones de una variable compleja II , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 159, Springer-Verlag , págs. 367–376, ISBN 0-387-94460-5
• Doob, JL (12 de enero de 2001), Teoría del potencial clásico y su contraparte probabilística , Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-41206-9
• Helms, LL (1975), Introducción a la teoría del potencial , RE Krieger, ISBN 0-88275-224-3