Conjunto polar (teoría del potencial)

En matemáticas , en el área de la teoría del potencial clásica , los conjuntos polares son los "conjuntos despreciables", de manera similar a la forma en que los conjuntos de medida cero son los conjuntos despreciables en la teoría de la medida .

Definición

Un conjunto en (donde ) es un conjunto polar si hay una función subarmónica no constante ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle u}$en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

de tal manera que

${\displaystyle Z\subseteq \{x\in \mathbb {R} ^{n}:u(x)=-\infty \}.}$

Tenga en cuenta que existen otras formas (equivalentes) en las que se pueden definir los conjuntos polares, como por ejemplo reemplazando "subarmónico" por "superarmónico" y por en la definición anterior. ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Propiedades

Las propiedades más importantes de los conjuntos polares son:

• Un conjunto singleton es polar. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Un conjunto contable es polar. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• La unión de una colección contable de conjuntos polares es polar.
• Un conjunto polar tiene medida de Lebesgue cero en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Casi en todas partes

Una propiedad se cumple casi en todas partes en un conjunto S si se cumple en S − E donde E es un conjunto polar de Borel. Si P se cumple casi en todas partes, entonces se cumple casi en todas partes . ^[1]

Véase también

• Conjunto pluripolar

Referencias

1. Ransford (1995) pág. 56

• Doob, José L. (1984). Teoría potencial clásica y su contraparte probabilística . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. vol. 262. Berlín Heidelberg Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 3-540-41206-9.Zbl 0549.31001  .
• Helms, LL (1975). Introducción a la teoría del potencial . RE Krieger. ISBN 0-88275-224-3.
• Ransford, Thomas (1995). Teoría del potencial en el plano complejo . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 28. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-46654-7.Zbl 0828.31001  .

Enlaces externos

• "Conjunto polar". PlanetMath .