Axiomas de clausura de Kuratowski

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , los axiomas de clausura de Kuratowski son un conjunto de axiomas que se pueden utilizar para definir una estructura topológica en un conjunto . Son equivalentes a la definición de conjunto abierto más comúnmente utilizada . Fueron formalizados por primera vez por Kazimierz Kuratowski ^[1] y la idea fue estudiada más a fondo por matemáticos como Wacław Sierpiński y António Monteiro ^[2], entre otros.

Se puede utilizar un conjunto similar de axiomas para definir una estructura topológica utilizando únicamente la noción dual de operador interior . ^[3]

Definición

Operadores de cierre de Kuratowski y debilitamientos

Sea un conjunto arbitrario y su conjunto potencia . Un operador de clausura de Kuratowski es una operación unaria con las siguientes propiedades: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$

[K1] Conserva el conjunto vacío : ; ${\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$

[K2] Es extensivo : para todos ,; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbf {c} (A)}$

[K3] Es idempotente : para todo ,; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (\mathbf {c} (A))}$

[K4] Conserva / distribuye sobre uniones binarias : para todos , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)=\mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$

Una consecuencia de preservar las uniones binarias es la siguiente condición: ^[4] ${\displaystyle \mathbf {c} }$

[K4'] Es monótono : . ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} (B)}$

De hecho, si reescribimos la igualdad en [K4] como una inclusión, obtenemos el axioma más débil [K4''] ( subaditividad ):

[K4''] Es subaditivo : para todo , , ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A\cup B)\subseteq \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (B)}$

entonces es fácil ver que los axiomas [K4'] y [K4''] juntos son equivalentes a [K4] (ver el penúltimo párrafo de la Prueba 2 a continuación).

Kuratowski (1966) incluye un quinto axioma (opcional) que exige que los conjuntos singleton sean estables bajo clausura: para todo , . Se refiere a los espacios topológicos que satisfacen los cinco axiomas como T ₁ -espacios en contraste con los espacios más generales que solo satisfacen los cuatro axiomas enumerados. De hecho, estos espacios corresponden exactamente a los T 1 -espacios topológicos a través de la correspondencia habitual (ver más abajo). ^[5] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$

Si se omite el requisito [K3] , entonces los axiomas definen un operador de cierre de Čech . ^[6] Si en cambio se omite [K1] , entonces un operador que satisface [K2] , [K3] y [K4'] se dice que es un operador de cierre de Moore . ^[7] Un par se denomina espacio de cierre de Kuratowski , Čech o Moore dependiendo de los axiomas satisfechos por . ${\displaystyle (X,\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

Axiomatizaciones alternativas

Los cuatro axiomas de cierre de Kuratowski pueden reemplazarse por una única condición, dada por Pervin: ^[8]

[P] Para todos , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)\setminus \mathbf {c} (\varnothing )}$

Los axiomas [K1] – [K4] pueden derivarse como consecuencia de este requisito:

1. Elija . Luego , o . Esto implica inmediatamente [K1] . ${\displaystyle A=B=\varnothing }$ ${\displaystyle \varnothing \cup \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\mathbf {c} (\varnothing )\setminus \mathbf {c} (\varnothing )=\varnothing }$ ${\displaystyle \mathbf {c} (\varnothing )\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (\varnothing ))=\varnothing }$
2. Elija un valor arbitrario y . Luego, aplicando el axioma [K1] , , lo que implica [K2] . ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle B=\varnothing }$ ${\displaystyle A\cup \mathbf {c} (A)=\mathbf {c} (A)}$
3. Elija un valor arbitrario . Luego, aplicando el axioma [K1] , , que es [K3] . ${\displaystyle A=\varnothing }$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (B)}$
4. Elija arbitrario . Aplicando los axiomas [K1] – [K3] , se obtiene [K4] . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$

Alternativamente, Monteiro (1945) había propuesto un axioma más débil que sólo implica [K2] – [K4] : ^[9]

[M] Para todos , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\textstyle A\cup \mathbf {c} (A)\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))\subseteq \mathbf {c} (A\cup B)}$

El requisito [K1] es independiente de [M]  : de hecho, si , el operador definido por la asignación constante satisface [M] pero no preserva el conjunto vacío, ya que . Nótese que, por definición, cualquier operador que satisfaga [M] es un operador de clausura de Moore. ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {c} ^{\star }(A):=X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} ^{\star }(\varnothing )=X}$

MO Botelho y MH Teixeira también demostraron que una alternativa más simétrica a [M] implica los axiomas [K2] – [K4] : ^[2]

[BT] Para todos , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\textstyle A\cup B\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (A))\cup \mathbf {c} (\mathbf {c} (B))=\mathbf {c} (A\cup B)}$

Estructuras análogas

Operadores interiores, exteriores y de límite

Una noción dual para los operadores de cierre de Kuratowski es la de operador interior de Kuratowski , que es un mapa que satisface los siguientes requisitos similares: ^[3] ${\displaystyle \mathbf {i} :\wp (X)\to \wp (X)}$

[I1] Conserva el espacio total : ; ${\displaystyle \mathbf {i} (X)=X}$

[I2] Es intensivo : para todos ,; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {i} (A)\subseteq A}$

[I3] Es idempotente : para todo ,; ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {i} (\mathbf {i} (A))=\mathbf {i} (A)}$

[I4] Conserva las intersecciones binarias : para todos , . ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {i} (A\cap B)=\mathbf {i} (A)\cap \mathbf {i} (B)}$

Para estos operadores, se pueden llegar a conclusiones que son completamente análogas a lo que se infirió para los cierres de Kuratowski. Por ejemplo, todos los operadores interiores de Kuratowski son isotónicos , es decir, satisfacen [K4'] , y debido a la intensividad [I2] , es posible debilitar la igualdad en [I3] a una simple inclusión.

La dualidad entre los cierres y los interiores de Kuratowski la proporciona el operador de complemento natural en , el mapa que envía . Este mapa es una ortocomplementación en la red de conjuntos de potencias, lo que significa que satisface las leyes de De Morgan : si es un conjunto arbitrario de índices y , ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {n} :\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle A\mapsto \mathbf {n} (A):=X\setminus A}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq \wp (X)}$ $${\displaystyle \mathbf {n} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}),\qquad \mathbf {n} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {n} (A_{i}).}$$

Al emplear estas leyes, junto con las propiedades definitorias de , se puede demostrar que cualquier interior de Kuratowski induce un cierre de Kuratowski (y viceversa), a través de la relación definitoria (y ). Todo resultado obtenido con respecto a puede convertirse en un resultado con respecto a empleando estas relaciones junto con las propiedades de la ortocomplementación . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} :=\mathbf {nin} }$ ${\displaystyle \mathbf {i} :=\mathbf {ncn} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {i} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Pervin (1964) proporciona además axiomas análogos para los operadores exteriores de Kuratowski ^[3] y los operadores de límite de Kuratowski ^[10] , que también inducen cierres de Kuratowski a través de las relaciones y . ${\displaystyle \mathbf {c} :=\mathbf {ne} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A):=A\cup \mathbf {b} (A)}$

Operadores abstractos

Obsérvese que los axiomas [K1] – [K4] pueden adaptarse para definir una operación unaria abstracta en una red acotada general , sustituyendo formalmente la inclusión teórica de conjuntos con el orden parcial asociado a la red, la unión teórica de conjuntos con la operación de unión y las intersecciones teóricas de conjuntos con la operación de encuentro; de manera similar para los axiomas [I1] – [I4] . Si la red está ortocomplementada, estas dos operaciones abstractas se inducen entre sí de la manera habitual. Se pueden utilizar operadores de clausura o interiores abstractos para definir una topología generalizada en la red. ${\displaystyle \mathbf {c} :L\to L}$ ${\displaystyle (L,\land ,\lor ,\mathbf {0} ,\mathbf {1} )}$

Dado que ni las uniones ni el conjunto vacío aparecen en el requisito de un operador de cierre de Moore, la definición puede adaptarse para definir un operador unario abstracto en un conjunto arbitrario . ${\displaystyle \mathbf {c} :S\to S}$ ${\displaystyle S}$

Conexión con otras axiomatizaciones de la topología

Inducción de topología a partir del cierre

Un operador de clausura induce naturalmente una topología como sigue. Sea un conjunto arbitrario. Diremos que un subconjunto es cerrado con respecto a un operador de clausura de Kuratowski si y solo si es un punto fijo de dicho operador, o en otras palabras es estable bajo , es decir . La afirmación es que la familia de todos los subconjuntos del espacio total que son complementos de conjuntos cerrados satisface los tres requisitos habituales para una topología, o equivalentemente, la familia de todos los conjuntos cerrados satisface lo siguiente: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} (C)=C}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$

[T1] Es una subred acotada de , es decir ; ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X,\varnothing \in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$

[T2] ​​Es completo bajo intersecciones arbitrarias , es decir, si es un conjunto arbitrario de índices y , entonces ; ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ ${\textstyle \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$

[T3] Es completo bajo uniones finitas , es decir, si es un conjunto finito de índices y , entonces . ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ ${\textstyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}C_{i}\in {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$

Nótese que, por idempotencia [K3] , se puede escribir sucintamente . ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]=\operatorname {im} (\mathbf {c} )}$

Inducción de cierre a partir de la topología

Por el contrario, dada una familia que satisface los axiomas [T1] – [T3] , es posible construir un operador de cierre de Kuratowski de la siguiente manera: si y es la alteración de inclusión de , entonces ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle A^{\uparrow }=\{B\in \wp (X)\ |\ A\subseteq B\}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }(A):=\bigcap _{B\in (\kappa \cap A^{\uparrow })}B}$$

define un operador de cierre de Kuratowski en . ${\displaystyle \mathbf {c} _{\kappa }}$ ${\displaystyle \wp (X)}$

Correspondencia exacta entre las dos estructuras

De hecho, estas dos construcciones complementarias son inversas entre sí: si es la colección de todos los operadores de cierre de Kuratowski en , y es la colección de todas las familias que consisten en complementos de todos los conjuntos en una topología, es decir, la colección de todas las familias que satisfacen [T1] – [T3] , entonces tal que es una biyección, cuya inversa está dada por la asignación . ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}:\mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)\to \mathrm {Atp} (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} \mapsto {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} ]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {C}}:\kappa \mapsto \mathbf {c} _{\kappa }}$

Observamos que también se puede extender la biyección a la colección de todos los operadores de cierre de Čech, que contiene estrictamente a ; esta extensión también es sobreyectiva, lo que significa que todos los operadores de cierre de Čech en también inducen una topología en . ^[11] Sin embargo, esto significa que ya no es una biyección. ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\check {C}}(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {S}}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\mathfrak {S}}}}$

Ejemplos

• Como se discutió anteriormente, dado un espacio topológico podemos definir el cierre de cualquier subconjunto como el conjunto , es decir, la intersección de todos los conjuntos cerrados de los cuales contienen . El conjunto es el conjunto cerrado más pequeño de que contiene , y el operador es un operador de cierre de Kuratowski. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)=\bigcap \{C{\text{ a closed subset of }}X|A\subseteq C\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {c} :\wp (X)\to \wp (X)}$
• Si es un conjunto cualquiera, los operadores tales que son clausuras de Kuratowski. El primero induce la topología indiscreta , mientras que el segundo induce la topología discreta . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\top },\mathbf {c} _{\bot }:\wp (X)\to \wp (X)}$ $${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }(A)={\begin{cases}\varnothing &A=\varnothing ,\\X&A\neq \varnothing ,\end{cases}}\qquad \mathbf {c} _{\bot }(A)=A\quad \forall A\in \wp (X),}$$ ${\displaystyle \{\varnothing ,X\}}$ ${\displaystyle \wp (X)}$

• Fijemos un , y sea tal que para todo . Luego define un cierre de Kuratowski; la familia correspondiente de conjuntos cerrados coincide con , la familia de todos los subconjuntos que contienen a . Cuando , recuperamos nuevamente la topología discreta (es decir , como se puede ver en las definiciones). ${\displaystyle S\subsetneq X}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}(A):=A\cup S}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{S}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{S}]}$ ${\displaystyle S^{\uparrow }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\varnothing }$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\varnothing }=\mathbf {c} _{\bot }}$
• Si es un número cardinal infinito tal que , entonces el operador tal que satisface los cuatro axiomas de Kuratowski. ^[12] Si , este operador induce la topología cofinita en ; si , induce la topología cocontable . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda \leq \operatorname {crd} (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }:\wp (X)\to \wp (X)}$ $${\displaystyle \mathbf {c} _{\lambda }(A)={\begin{cases}A&\operatorname {crd} (A)<\lambda ,\\X&\operatorname {crd} (A)\geq \lambda \end{cases}}}$$ ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lambda =\aleph _{1}}$

Propiedades

• Dado que cualquier clausura de Kuratowski es isotónica, y obviamente también lo es cualquier aplicación de inclusión, se tiene la conexión de Galois (isotónica) , siempre que se considere como un conjunto parcial con respecto a la inclusión, y como un subconjunto parcial de . De hecho, se puede verificar fácilmente que, para todos y , si y solo si . ${\displaystyle \langle \mathbf {c} :\wp (X)\to \mathrm {im} (\mathbf {c} );\iota :\mathrm {im} (\mathbf {c} )\hookrightarrow \wp (X)\rangle }$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle C\in \mathrm {im} (\mathbf {c} )}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\subseteq C}$ ${\displaystyle A\subseteq \iota (C)}$
• Si es una subfamilia de , entonces ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i\in {\mathcal {I}}}}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ $${\displaystyle \bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i})\subseteq \mathbf {c} \left(\bigcup _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right),\qquad \mathbf {c} \left(\bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in {\mathcal {I}}}\mathbf {c} (A_{i}).}$$
• Si , entonces . ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (A)\setminus \mathbf {c} (B)\subseteq \mathbf {c} (A\setminus B)}$

Conceptos topológicos en términos de cierre

Refinamientos y subespacios

Un par de clausuras de Kuratowski tales que para todos inducen topologías tales que , y viceversa. En otras palabras, domina si y solo si la topología inducida por el último es un refinamiento de la topología inducida por el primero, o equivalentemente . ^[13] Por ejemplo, claramente domina (siendo el último simplemente la identidad en ). Dado que se puede llegar a la misma conclusión sustituyendo con la familia que contiene los complementos de todos sus miembros, si está dotado del orden parcial para todos y está dotado del orden de refinamiento, entonces podemos concluir que es una aplicación antitónica entre posets. ${\displaystyle \mathbf {c} _{1},\mathbf {c} _{2}:\wp (X)\to \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{2}(A)\subseteq \mathbf {c} _{1}(A)}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\subseteq \tau _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{1}]\subseteq {\mathfrak {S}}[\mathbf {c} _{2}]}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\top }}$ ${\displaystyle \mathbf {c} _{\bot }}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle \tau _{i}}$ ${\displaystyle \kappa _{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {Cls} _{\text{K}}(X)}$ ${\displaystyle \mathbf {c} \leq \mathbf {c} '\iff \mathbf {c} (A)\subseteq \mathbf {c} '(A)}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Atp} (X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

En cualquier topología inducida (relativa al subconjunto A ) los conjuntos cerrados inducen un nuevo operador de cierre que es simplemente el operador de cierre original restringido a A : , para todo . ^[14] ${\displaystyle \mathbf {c} _{A}(B)=A\cap \mathbf {c} _{X}(B)}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$

Aplicaciones continuas, aplicaciones cerradas y homeomorfismos

Una función es continua en un punto si y solo si , y es continua en todas partes si y solo si para todos los subconjuntos . ^[15] La función es una función cerrada si y solo si se cumple la inclusión inversa, ^[16] y es un homeomorfismo si y solo si es continua y cerrada, es decir, si y solo si se cumple la igualdad. ^[17] ${\displaystyle f:(X,\mathbf {c} )\to (Y,\mathbf {c} ')}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A)\Rightarrow f(p)\in \mathbf {c} '(f(A))}$ $${\displaystyle f(\mathbf {c} (A))\subseteq \mathbf {c} '(f(A))}$$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle f}$

Axiomas de separación

Sea un espacio de clausura de Kuratowski. Entonces ${\displaystyle (X,\mathbf {c} )}$

• ${\displaystyle X}$es un espacio T 0 sólo si y sólo si implica ; ^[18] ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})\neq \mathbf {c} (\{y\})}$
• ${\displaystyle X}$es un espacio T 1 si y solo si para todos ; ^[19] ${\displaystyle \mathbf {c} (\{x\})=\{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$
• ${\displaystyle X}$es un espacio T 2 sólo si y sólo si implica que existe un conjunto tal que tanto y , donde es el operador de complemento de conjunto. ^[20] ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle A\in \wp (X)}$ ${\displaystyle x\notin \mathbf {c} (A)}$ ${\displaystyle y\notin \mathbf {c} (\mathbf {n} (A))}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$

Cercanía y separación

Un punto está cerca de un subconjunto si Esto se puede utilizar para definir una relación de proximidad en los puntos y subconjuntos de un conjunto. ^[21] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p\in \mathbf {c} (A).}$

Dos conjuntos están separados si y solo si . El espacio es conexo si y solo si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos separados. ^[22] ${\displaystyle A,B\in \wp (X)}$ ${\displaystyle (A\cap \mathbf {c} (B))\cup (B\cap \mathbf {c} (A))=\varnothing }$ ${\displaystyle X}$

Véase también

• Caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos
• Operador de cierre checo  – Operador de cierrePages displaying short descriptions of redirect targets
• Operador de cierre  – operador matemáticoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Álgebra de clausura  – Estructura algebraica
• Operador de precierre  – Operador de cierre
• Espacio pretopológico  – Espacio topológico generalizado
• Espacio topológico  – Espacio matemático con noción de cercanía

Notas

1. Kuratowski (1922).
2. Monteiro (1945), pág. 160.
3. Pervin (1964), pág. 44.
4. Pervin (1964), pág. 43, Ejercicio 6.
5. Kuratowski (1966), pág. 38.
6. Arkhangel'skij y Fedorchuk (1990), pág. 25.
7. "Cierre de Moore". nLab . 7 de marzo de 2015 . Consultado el 19 de agosto de 2019 .
8. Pervin (1964), pág. 42, Ejercicio 5.
9. Monteiro (1945), pág. 158.
10. Pervin (1964), pág. 46, Ejercicio 4.
11. Arkhangel'skij y Fedorchuk (1990), pág. 26.
12. Se puede encontrar una prueba del caso en "¿Es el siguiente un operador de cierre de Kuratowski?". Stack Exchange . 21 de noviembre de 2015. ${\displaystyle \lambda =\aleph _{0}}$
13. Pervin (1964), pág. 43, Ejercicio 10.
14. Pervin (1964), pág. 49, Teorema 3.4.3.
15. Pervin (1964), pág. 60, Teorema 4.3.1.
16. Pervin (1964), pág. 66, Ejercicio 3.
17. Pervin (1964), pág. 67, Ejercicio 5.
18. Pervin (1964), pág. 69, Teorema 5.1.1.
19. Pervin (1964), pág. 70, Teorema 5.1.2.
20. Puede encontrarse una prueba en este enlace.
21. Pervin (1964), págs. 193-196.
22. Pervin (1964), pág. 51.

Referencias

• Kuratowski, Kazimierz (1922) [1920], "Sur l'opération A de l'Analysis Situs" [Sobre la operación A en Analysis Situs] (PDF) , Fundamenta Mathematicae (en francés), vol. 3, págs. 182-199.
• Kuratowski, Kazimierz (1966) [1958], Topología , vol. I, traducido por Jaworowski, J., Academic Press, ISBN 0-12-429201-1, C.L.C.N.  66029221.
  • —— (2010). "Sobre la operación Ā Analysis Situs". ResearchGate . Traducido por Mark Bowron.
• Pervin, William J. (1964), Boas, Ralph P. Jr. (ed.), Fundamentos de topología general , Academic Press, ISBN 9781483225159, LCCN  64-17796.
• Arkhangel'skij, AV; Fedorchuk, VV (1990) [1988], Gamkrelidze, RV; Arkhangel'skij, AV; Pontryagin, LS (eds.), Topología general I , Enciclopedia de ciencias matemáticas, vol. 17, traducido por O'Shea, DB, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-64767-3, LCCN  89-26209.
• Monteiro, António (1945), "Caractérisation de l'opération de fermeture par un seul axiome" [Caracterización de la operación de cierre por un solo axioma], Portugaliae mathematica (en francés), vol. 4, núm. 4, págs. 158–160, SEÑOR  0012310, Zbl  0060.39406.

Enlaces externos

• Caracterizaciones alternativas de los espacios topológicos