Espacio de Moore (topología)

En matemáticas , más específicamente en topología de conjuntos puntuales , un espacio de Moore es un espacio de Hausdorff regular desarrollable . Es decir, un espacio topológico X es un espacio de Moore si se cumplen las siguientes condiciones:

• Dos puntos distintos pueden estar separados por vecindades , y cualquier conjunto cerrado y cualquier punto en su complemento pueden estar separados por vecindades. ( X es un espacio de Hausdorff regular ).
• Existe una colección contable de cubiertas abiertas de X , tal que para cualquier conjunto cerrado C y cualquier punto p en su complemento existe una cubierta en la colección tal que cada vecindad de p en la cubierta es disjunta de C . ( X es un espacio desarrollable .)

Los espacios de Moore son interesantes en general en matemáticas porque se pueden aplicar para demostrar teoremas de metrización interesantes . El concepto de espacio de Moore fue formulado por RL Moore a principios del siglo XX.

Ejemplos y propiedades

1. Todo espacio metrizable , X , es un espacio de Moore. Si { A ^{( n )} _x } es la cubierta abierta de X (indexada por x en X ) por todas las bolas de radio 1/ n , entonces la colección de todas las cubiertas abiertas a medida que n varía sobre los enteros positivos es un desarrollo de X . Como todos los espacios metrizables son normales, todos los espacios métricos son espacios de Moore.
2. Los espacios de Moore son muy similares a los espacios regulares y diferentes de los espacios normales en el sentido de que cada subespacio de un espacio de Moore es también un espacio de Moore.
3. La imagen de un espacio de Moore bajo una función abierta, inyectiva y continua es siempre un espacio de Moore. (La imagen de un espacio regular bajo una función abierta, inyectiva y continua es siempre regular.)
4. Tanto los ejemplos 2 como 3 sugieren que los espacios de Moore son similares a los espacios regulares.
5. Ni la línea de Sorgenfrey ni el plano de Sorgenfrey son espacios de Moore porque son normales y no contables en segundo lugar .
6. El plano de Moore (también conocido como espacio de Niemytski) es un ejemplo de un espacio de Moore no metrizable.
7. Todo espacio de Moore metacompacto , separable y normal es metrizable. Este teorema se conoce como teorema de Traylor.
8. Todo espacio de Moore normal localmente compacto y localmente conexo es metrizable. Este teorema fue demostrado por Reed y Zenor.
9. Si , entonces todo espacio de Moore normal separable es metrizable . Este teorema se conoce como teorema de Jones. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}}$

Conjetura del espacio normal de Moore

Durante mucho tiempo, los topólogos intentaron demostrar la llamada conjetura del espacio de Moore normal: todo espacio de Moore normal es metrizable . Esto se inspiró en el hecho de que todos los espacios de Moore conocidos que no eran metrizables tampoco eran normales. Este habría sido un buen teorema de metrización . Al principio hubo algunos buenos resultados parciales; a saber, las propiedades 7, 8 y 9, como se dio en la sección anterior.

Con la propiedad 9, vemos que podemos prescindir de la metacompacidad del teorema de Traylor, pero a costa de una suposición de teoría de conjuntos. Otro ejemplo de esto es el teorema de Fleissner, que establece que el axioma de constructibilidad implica que los espacios de Moore normales y localmente compactos son metrizables.

Por otra parte, bajo la hipótesis del continuo (CH) y también bajo el axioma de Martin y no CH, hay varios ejemplos de espacios de Moore normales no metrizables. Nyikos demostró que, bajo el llamado PMEA (Product Measure Extension Axiom), que necesita un cardinal grande , todos los espacios de Moore normales son metrizables. Finalmente, se demostró más tarde que cualquier modelo de ZFC en el que se cumpla la conjetura, implica la existencia de un modelo con un cardinal grande. Por lo tanto, se necesitan cardinales grandes esencialmente.

Jones (1937) dio un ejemplo de un espacio de Moore pseudonormal que no es metrizable, por lo que la conjetura no puede reforzarse de esta manera. El propio Moore demostró el teorema de que un espacio de Moore normal por conjuntos es metrizable, por lo que el fortalecimiento de la normalidad es otra forma de resolver la cuestión.

Referencias

• Lynn Arthur Steen y J. Arthur Seebach , Contraejemplos en topología , Dover Books, 1995. ISBN  0-486-68735-X
• Jones, FB (1937), "Sobre los espacios normales y completamente normales" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 43 (10): 671–677, doi : 10.1090/S0002-9904-1937-06622-5 , MR  1563615.
• Nyikos, Peter J. (2001), "Una historia del problema del espacio normal de Moore", Handbook of the History of General Topology, Hist. Topol., vol. 3, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, págs. 1179–1212, ISBN 9780792369707, Sr.  1900271.
• La definición original de RL Moore aparece aquí :

MR 0150722 (27 #709) Moore, RL Fundamentos de la teoría de conjuntos puntuales . Edición revisada. American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. XIII American Mathematical Society, Providence, RI 1962 xi+419 pp. (Revisor: F. Burton Jones)

• Puede encontrar información histórica aquí :

MR 0199840 (33 #7980) Jones, F. Burton "Metrización". American Mathematical Monthly 73 1966 571–576. (Reseña: RW Bagley)

• Puede encontrar información histórica aquí :

MR 0203661 (34 #3510) Bing, RH "Conjeturas desafiantes". American Mathematical Monthly 74 1967 núm. 1, parte II, 56–64;

• El teorema de Vickery se puede encontrar aquí :

MR 0001909 (1,317f) Vickery, CW "Axiomas para espacios de Moore y espacios métricos". Boletín de la Sociedad Matemática Americana 46, (1940). 560–564

• Este artículo incorpora material del espacio Moore en PlanetMath , que está licenciado bajo la Licencia Creative Commons Atribución/Compartir-Igual .