Axioma de constructibilidad

Posible axioma para la teoría de conjuntos en matemáticas

El axioma de constructibilidad es un posible axioma para la teoría de conjuntos en matemáticas que afirma que todo conjunto es constructible . El axioma suele escribirse como V = L. El axioma, investigado por primera vez por Kurt Gödel , es incompatible con la proposición de que el cero agudo existe y axiomas cardinales grandes más fuertes (véase la lista de propiedades cardinales grandes ). Las generalizaciones de este axioma se exploran en la teoría de modelos internos . ^[1]

Trascendencia

El axioma de constructibilidad implica el axioma de elección (AC), dada la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (ZF). También resuelve muchas cuestiones matemáticas naturales que son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC); por ejemplo, el axioma de constructibilidad implica la hipótesis del continuo generalizado , la negación de la hipótesis de Suslin y la existencia de un conjunto analítico (de hecho, ) no medible de números reales , todos los cuales son independientes de ZFC. ${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$

El axioma de constructibilidad implica la no existencia de aquellos cardinales grandes con fuerza de consistencia mayor o igual a 0 # , lo que incluye algunos cardinales grandes "relativamente pequeños". Por ejemplo, ningún cardinal puede ser ω ₁ - Erdős en L . Si bien L contiene los ordinales iniciales de esos cardinales grandes (cuando existen en un supermodelo de L ), y siguen siendo ordinales iniciales en L , excluye las estructuras auxiliares (por ejemplo, measures ) que dotan a esos cardinales con sus propiedades de cardinal grande.

Aunque el axioma de constructibilidad resuelve muchas cuestiones de teoría de conjuntos, no suele aceptarse como axioma para la teoría de conjuntos de la misma manera que los axiomas de ZFC. Entre los teóricos de conjuntos de tendencia realista , que creen que el axioma de constructibilidad es verdadero o falso, la mayoría cree que es falso. Esto se debe en parte a que parece innecesariamente "restrictivo", ya que solo permite ciertos subconjuntos de un conjunto dado (por ejemplo, no puede existir), sin ninguna razón clara para creer que estos sean todos ellos. En parte se debe a que el axioma se contradice con axiomas cardinales grandes suficientemente fuertes . Este punto de vista se asocia especialmente con la Cábala , o la "escuela de California", como la definiría Saharon Shelah . ${\displaystyle 0^{\sharp }\subseteq \omega }$

En aritmética

En particular, entre los años 1950 y 1970, se han llevado a cabo algunas investigaciones para formular un análogo del axioma de constructibilidad para subsistemas de aritmética de segundo orden . Algunos resultados se destacan en el estudio de tales análogos:

• Fórmula de John Addison tal que si y solo si , es decir, es un real construible. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$ ${\displaystyle {\textrm {Constr}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\textrm {Constr}}(X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {P}}(\omega )\cap L}$ ${\displaystyle X}$

• Existe una fórmula conocida como la "forma analítica del axioma de constructibilidad" que tiene algunas asociaciones con el axioma de teoría de conjuntos V=L. ^[4] Por ejemplo, se han dado algunos casos en los que si y solo si . ^[4] ${\displaystyle \Pi _{3}^{1}}$ ${\displaystyle M\vDash {\textrm {V=L}}}$ ${\displaystyle M\cap {\mathcal {P}}(\omega )\vDash {\textrm {Analytical}}\;{\textrm {form}}\;{\textrm {of}}\;{\textrm {V=L}}}$

Significado

La mayor importancia del axioma de constructibilidad está en la prueba de Kurt Gödel de la consistencia relativa del axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo con la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel . (La prueba se traslada a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , que se ha vuelto más frecuente en los últimos años).

Es decir, Gödel demostró que es relativamente consistente (es decir, si se puede demostrar una contradicción, entonces también se puede ), y que en ${\displaystyle V=L}$ ${\displaystyle ZFC+(V=L)}$ ${\displaystyle ZF}$ ${\displaystyle ZF}$

${\displaystyle V=L\implies AC\land GCH,}$

Estableciendo así que AC y GCH también son relativamente consistentes.

La prueba de Gödel fue complementada en años posteriores por el resultado de Paul Cohen de que tanto AC como GCH son independientes , es decir, que las negaciones de estos axiomas ( y ) también son relativamente consistentes con la teoría de conjuntos ZF. ${\displaystyle \lnot AC}$ ${\displaystyle \lnot GCH}$

Afirmaciones verdaderas enyo

A continuación se muestra una lista de proposiciones que se cumplen en el universo construible (denotado por L ):

• La hipótesis del continuo generalizado y como consecuencia
  • El axioma de la elección
• Traje de diamantes
  • Traje de club
• Plaza global
• La existencia de pantanos
• La negación de la hipótesis de Suslin
• La inexistencia del 0 # y como consecuencia
  • La inexistencia de todos los cardinales grandes que implican la existencia de un cardenal medible
• La existencia de un Σ¹
  ₂(con respecto a la jerarquía analítica ) conjunto de reales que no es medible .
• La verdad de la conjetura de Whitehead de que todo grupo abeliano A con Ext ¹ ( A , Z ) = 0 es un grupo abeliano libre .
• La existencia de un orden bien definido de todos los conjuntos (cuya fórmula puede darse explícitamente). En particular, L satisface V=HOD .
• La existencia de una sobreyección de clase recursiva primitiva , es decir, una función de clase de Ord cuyo rango contiene todos los conjuntos. ^[5] ${\displaystyle F:{\textrm {Ord}}\to {\textrm {V}}}$

Aceptando el axioma de constructibilidad (que afirma que todo conjunto es construible ), estas proposiciones también son válidas en el universo de von Neumann , resolviendo muchas proposiciones de la teoría de conjuntos y algunas cuestiones interesantes del análisis .

Referencias

1. Hamkins, Joel David (27 de febrero de 2015). "Incrustaciones del universo en el universo construible, estado actual del conocimiento, CUNY Set Theory Seminar, marzo de 2015". jdh.hamkins.org . Archivado desde el original el 23 de abril de 2024 . Consultado el 22 de septiembre de 2024 .
2. W. Marek , Observaciones sobre extensiones elementales de modelos ω. II (1973, pág. 227). Consultado el 3 de noviembre de 2021.
3. W. Marek, ω-modelos de aritmética de segundo orden y conjuntos admisibles (1975, p.105). Consultado el 3 de noviembre de 2021.
4. W. Marek, Conjuntos estables, una caracterización de modelos β₂ de aritmética completa de segundo orden y algunos hechos relacionados (pp.176--177). Consultado el 3 de noviembre de 2021.
5. W. Richter, P. Aczel , Definiciones inductivas y propiedades reflectoras de ordinales admisibles (1974, p.23). Consultado el 30 de agosto de 2022.

• Devlin, Keith (1984). Constructibilidad . Springer-Verlag . ISBN. 3-540-13258-9.

Enlaces externos

• ¿Cuántos números reales hay?, Keith Devlin, Asociación Matemática de América , junio de 2001