En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un tamiz es una forma de elegir flechas con un codominio común . Es un análogo categórico de una colección de subconjuntos abiertos de un conjunto abierto fijo en topología . En una topología de Grothendieck , ciertos tamices se convierten en análogos categóricos de cobertores abiertos en topología . Los tamices fueron introducidos por Giraud (1964) con el fin de reformular la noción de una topología de Grothendieck.
Sea C una categoría y sea c un objeto de C. Un tamiz sobre c es un subfunctor de Hom(−, c ), es decir, para todos los objetos c ′ de C , S ( c ′) ⊆ Hom( c ′, c ), y para todas las flechas f : c ″→ c ′, S ( f ) es la restricción de Hom( f , c ), el pullback por f (en el sentido de precomposición, no de productos de fibra), a S ( c ′); véase la siguiente sección, a continuación.
Dicho de otra manera, un tamiz es una colección S de flechas con un codominio común que satisface la condición: "Si g : c ′→ c es una flecha en S , y si f : c ″→ c ′ es cualquier otra flecha en C , entonces gf está en S ." En consecuencia, los tamices son similares a los ideales rectos en la teoría de anillos o a los filtros en la teoría de órdenes .
La operación más común en un tamiz es el retroceso . Al retirar un tamiz S en c mediante una flecha f : c ′→ c se obtiene un nuevo tamiz f * S en c ′. Este nuevo tamiz consta de todas las flechas en S que factorizan hasta c ′.
Existen varias formas equivalentes de definir f * S . La más sencilla es:
Una formulación más abstracta es:
Aquí la función Hom(−, c ′)→Hom(−, c ) es Hom(−, f ), el empuje hacia adelante por f .
La última formulación sugiere que también podemos tomar la imagen de S × Hom(−, c ) Hom(−, c ′) bajo la función natural de Hom(−, c ). Esta será la imagen de f * S bajo la composición con f . Para cada objeto d de C , este tamiz constará de todas las flechas fg , donde g : d → c ′ es una flecha de f * S ( d ). En otras palabras, consta de todas las flechas en S que se pueden factorizar a través de f .
Si denotamos por ∅ c el tamiz vacío sobre c , es decir, el tamiz para el cual ∅( d ) es siempre el conjunto vacío, entonces para cualquier f : c ′→ c , f * ∅ c es ∅ c ′ . Además, f * Hom(−, c ) = Hom(−, c ′).
Sean S y S ′ dos tamices sobre c . Decimos que S ⊆ S ′ si para todos los objetos c ′ de C , S ( c ′) ⊆ S ′( c ′). Para todos los objetos d de C , definimos ( S ∪ S ′)( d ) como S ( d ) ∪ S ′( d ) y ( S ∩ S ′)( d ) como S ( d ) ∩ S ′( d ). Claramente podemos extender esta definición a infinitas uniones e intersecciones también.
Si definimos Sieve C ( c ) (o Sieve( c ) para abreviar) como el conjunto de todos los tamices en c , entonces Sieve( c ) se vuelve parcialmente ordenado bajo ⊆. Es fácil ver a partir de la definición que la unión o intersección de cualquier familia de tamices en c es un tamiz en c , por lo que Sieve( c ) es una red completa .
Una topología de Grothendieck es una colección de tamices sujetos a ciertas propiedades. Estos tamices se denominan tamices de cobertura . El conjunto de todos los tamices de cobertura sobre un objeto c es un subconjunto J ( c ) de Tamiz( c ). J ( c ) satisface varias propiedades además de las requeridas por la definición:
En consecuencia, J ( c ) también es una red distributiva , y es cofinal en Sieve( c ).
