Tate m'a écrit de son côté sur ses histoires de curbes elliptiques, et pour me demander si j'avais des idées sur una definición globale des variétés analytiques sur des corps complets. Je dois avouer que je n'ai pas du tout compris pourquoi ses résultats suggéreraient l'existence d'une telle définition, et suis encore sceptique.
Alexander Grothendieck en una carta del 18 de agosto de 1959 a Jean-Pierre Serre , expresando escepticismo sobre la existencia de la teoría de John Tate de variedades analíticas globales sobre campos completos
En matemáticas, un espacio analítico rígido es un análogo de un espacio analítico complejo sobre un cuerpo no arquimediano . Dichos espacios fueron introducidos por John Tate en 1962, como resultado de su trabajo sobre la uniformización de curvas elípticas p -ádicas con mala reducción utilizando el grupo multiplicativo . En contraste con la teoría clásica de variedades analíticas p -ádicas , los espacios analíticos rígidos admiten nociones significativas de continuidad analítica y conexidad .
El objeto analítico rígido básico es el polidisco unitario n -dimensional , cuyo anillo de funciones es el álgebra de Tate , formada por series de potencias en n variables cuyos coeficientes tienden a cero en algún cuerpo no arquimediano completo k . El álgebra de Tate es la compleción del anillo polinómico en n variables bajo la norma de Gauss (tomando el supremo de los coeficientes), y el polidisco desempeña un papel análogo al del n -espacio afín en la geometría algebraica . Los puntos del polidisco se definen como ideales máximos en el álgebra de Tate, y si k es algebraicamente cerrado , estos corresponden a puntos en cuyas coordenadas tienen norma como máximo uno.
Un álgebra afinoide es un álgebra de k - Banach que es isomorfa a un cociente del álgebra de Tate por un ideal . Un afinoide es entonces el subconjunto del polidisco unidad en el que se anulan los elementos de este ideal, es decir, es el conjunto de ideales maximales que contienen al ideal en cuestión. La topología en afinoides es sutil, utilizando nociones de subdominios afinoides (que satisfacen una propiedad de universalidad con respecto a las aplicaciones de álgebras afinoides) y conjuntos abiertos admisibles (que satisfacen una condición de finitud para recubrimientos por subdominios afinoides). De hecho, los abiertos admisibles en un afinoide no lo dotan en general de la estructura de un espacio topológico , pero sí forman una topología de Grothendieck (llamada G -topología), y esto permite definir buenas nociones de haces y pegado de espacios.
Un espacio analítico rígido sobre k es un par que describe un espacio G -topologizado anillado localmente con un haz de k -álgebras, de modo que existe una cobertura por subespacios abiertos isomorfos a los afines. Esto es análogo a la noción de variedades que pueden ser cubiertas por subconjuntos abiertos isomorfos al espacio euclidiano, o esquemas que pueden ser cubiertos por afines. Los esquemas sobre k pueden ser analizados funcionalmente, de manera muy similar a como las variedades sobre los números complejos pueden ser vistas como espacios analíticos complejos, y existe un teorema GAGA formal análogo . El functor de analitificación respeta límites finitos.
Alrededor de 1970, Michel Raynaud proporcionó una interpretación de ciertos espacios analíticos rígidos como modelos formales, es decir, como fibras genéricas de esquemas formales sobre el anillo de valoración R de k . En particular, mostró que la categoría de espacios rígidos cuasi-compactos cuasi-separados sobre k es equivalente a la localización de la categoría de esquemas formales admisibles cuasi-compactos sobre R con respecto a explosiones formales admisibles. Aquí, un esquema formal es admisible si es cubrible por espectros formales de álgebras R topológicamente finitas presentadas cuyos anillos locales son R -planos.
Los modelos formales sufren un problema de unicidad, ya que las ampliaciones permiten que más de un esquema formal describa el mismo espacio rígido. Huber elaboró una teoría de espacios ádicos para resolver esto, tomando un límite sobre todas las ampliaciones. Estos espacios son cuasi compactos, cuasi separados y funcionales en el espacio rígido, pero carecen de muchas propiedades topológicas interesantes.
Vladimir Berkovich reformuló gran parte de la teoría de los espacios analíticos rígidos a finales de los años 1980, utilizando una generalización de la noción de espectro de Gelfand para C* -álgebras unitarias conmutativas . El espectro de Berkovich de una k -álgebra de Banach A es el conjunto de seminormas multiplicativas en A que están acotadas con respecto a la norma dada en k , y tiene una topología inducida mediante la evaluación de estas seminormas en elementos de A . Dado que la topología se retira de la línea real, los espectros de Berkovich tienen muchas propiedades interesantes, como compacidad, conectividad de caminos y metrizabilidad. Muchas propiedades de la teoría de anillos se reflejan en la topología de los espectros, por ejemplo, si A es Dedekind , entonces su espectro es contráctil. Sin embargo, incluso los espacios muy básicos tienden a ser difíciles de manejar: la línea proyectiva sobre C p es una compactificación del límite inductivo de los edificios afines de Bruhat–Tits para PGL 2 ( F ), ya que F varía sobre extensiones finitas de Q p , cuando a los edificios se les da una topología adecuadamente burda .
