Complejo de cadena

Herramienta en álgebra homológica

En matemáticas , un complejo de cadena es una estructura algebraica que consiste en una secuencia de grupos abelianos (o módulos ) y una secuencia de homomorfismos entre grupos consecutivos de manera que la imagen de cada homomorfismo se incluye en el núcleo del siguiente. Asociada a un complejo de cadena está su homología , que describe cómo se incluyen las imágenes en los núcleos.

Un complejo de cocadena es similar a un complejo de cadena, excepto que sus homomorfismos están en dirección opuesta. La homología de un complejo de cocadena se denomina cohomología .

En topología algebraica , el complejo de cadena singular de un espacio topológico X se construye utilizando funciones continuas de un símplex a X, y los homomorfismos del complejo de cadena capturan cómo estas funciones se restringen al límite del símplex. La homología de este complejo de cadena se denomina homología singular de X y es un invariante de uso común de un espacio topológico.

Los complejos de cadenas se estudian en el álgebra homológica , pero se utilizan en varias áreas de las matemáticas, incluidas el álgebra abstracta , la teoría de Galois , la geometría diferencial y la geometría algebraica . Se pueden definir de forma más general en categorías abelianas .

Definiciones

Un complejo de cadena es una secuencia de grupos o módulos abelianos ..., A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ , ... conectados por homomorfismos (llamados operadores de contorno o diferenciales ) d _n  : A _n → A _{n −1} , de modo que la composición de dos funciones consecutivas cualesquiera es la función cero. Explícitamente, las diferenciales satisfacen d _n ∘ d _{n +1} = 0 , o con índices suprimidos, d ² = 0 . El complejo puede escribirse de la siguiente manera. ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{\bullet })}$

${\displaystyle \cdots {\xleftarrow {d_{0}}}A_{0}{\xleftarrow {d_{1}}}A_{1}{\xleftarrow {d_{2}}}A_{2}{\xleftarrow {d_{3}}}A_{3}{\xleftarrow {d_{4}}}A_{4}{\xleftarrow {d_{5}}}\cdots }$

El complejo de cocadena es la noción dual de complejo de cadena. Consiste en una secuencia de grupos o módulos abelianos ..., A ⁰ , A ¹ , A ² , A ³ , A ⁴ , ... conectados por homomorfismos d ⁿ  : A ⁿ → A ^{n +1} que satisfacen d ^{n +1} ∘ d ⁿ = 0 . El complejo de cocadena puede escribirse de manera similar al complejo de cadena. ${\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}A^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}A^{3}{\xrightarrow {d^{3}}}A^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }$

El índice n en A _n o A ⁿ se denomina grado (o dimensión ). La diferencia entre los complejos de cadena y de cocadena es que, en los complejos de cadena, los diferenciales disminuyen la dimensión, mientras que en los complejos de cocadena la aumentan. Todos los conceptos y definiciones de los complejos de cadena se aplican a los complejos de cocadena, excepto que seguirán esta convención diferente para la dimensión y, a menudo, a los términos se les dará el prefijo co- . En este artículo, se darán definiciones de complejos de cadena cuando no se requiera la distinción.

Un complejo de cadena acotado es aquel en el que casi todos los A _n son 0; es decir, un complejo finito extendido hacia la izquierda y la derecha por 0. Un ejemplo es el complejo de cadena que define la homología simplicial de un complejo simplicial finito . Un complejo de cadena está acotado superiormente si todos los módulos por encima de un grado fijo N son 0, y está acotado inferiormente si todos los módulos por debajo de un grado fijo son 0. Claramente, un complejo está acotado tanto superior como inferiormente si y solo si el complejo está acotado.

Los elementos de los grupos individuales de un complejo de (co)cadenas se denominan (co)cadenas . Los elementos en el núcleo de d se denominan (co)ciclos (o elementos cerrados ), y los elementos en la imagen de d se denominan (co)límites (o elementos exactos ). Desde la definición de la diferencial, todos los límites son ciclos. El n -ésimo grupo de (co)homología H _n ( H ⁿ ) es el grupo de (co)ciclos módulo (co)límites de grado n , es decir,

${\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)}$

Secuencias exactas

Una secuencia exacta (o complejo exacto ) es un complejo en cadena cuyos grupos de homología son todos cero. Esto significa que todos los elementos cerrados del complejo son exactos. Una secuencia exacta corta es una secuencia exacta acotada en la que solo los grupos A _k , A _{k +1} , A _{k +2} pueden ser distintos de cero. Por ejemplo, el siguiente complejo en cadena es una secuencia exacta corta.

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\;\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {\times p}}\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\cdots }$

En el grupo medio, los elementos cerrados son los elementos p Z ; estos son claramente los elementos exactos de este grupo.

Mapas de cadena

Una función de cadena f entre dos complejos de cadena y es una secuencia de homomorfismos para cada n que conmuta con los operadores de contorno en los dos complejos de cadena, por lo que . Esto se escribe en el siguiente diagrama conmutativo . ${\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })}$ ${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$ ${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$

Un mapa de cadena envía ciclos a ciclos y límites a límites, y así induce un mapa de homología . ${\displaystyle (f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$

Una función continua f entre los espacios topológicos X e Y induce una función en cadena entre los complejos de cadena singulares de X e Y y , por lo tanto, induce también una función f _* entre la homología singular de X e Y. Cuando X e Y son ambos iguales a la n -esfera , la función inducida en la homología define el grado de la función f .

El concepto de mapa de cadena se reduce al de límite a través de la construcción del cono de un mapa de cadena.

Homotopía de cadena

Una homotopía de cadena ofrece una manera de relacionar dos mapas de cadena que inducen el mismo mapa en grupos de homología, aunque los mapas puedan ser diferentes. Dados dos complejos de cadena A y B , y dos mapas de cadena f , g  : A → B , una homotopía de cadena es una secuencia de homomorfismos h _n  : A _n → B _{n +1} tales que hd _A + d _B h = f − g . Los mapas pueden escribirse en un diagrama como sigue, pero este diagrama no es conmutativo.

Se verifica fácilmente que la función hd _A + d _B h induce la función cero en homología, para cualquier h . De ello se deduce inmediatamente que f y g inducen la misma función en homología. Se dice que f y g son homotópicas en cadena (o simplemente homotópicas ), y esta propiedad define una relación de equivalencia entre funciones en cadena.

Sean X e Y espacios topológicos. En el caso de homología singular, una homotopía entre funciones continuas f , g  : X → Y induce una homotopía en cadena entre las funciones en cadena correspondientes a f y g . Esto demuestra que dos funciones homotópicas inducen la misma función en homología singular. El nombre "homotopía en cadena" está motivado por este ejemplo.

Ejemplos

Homología singular

Sea X un espacio topológico. Definamos C _n ( X ) para n natural como el grupo abeliano libre generado formalmente por n-simples singulares en X y definamos la función de contorno como ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)}$

${\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]\to X)}$

donde el sombrero denota la omisión de un vértice . Es decir, el límite de un símplex singular es la suma alternada de restricciones a sus caras. Se puede demostrar que ∂ ² = 0, por lo que es un complejo en cadena; la homología singular es la homología de este complejo. ${\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(X)}$

La homología singular es un invariante útil de los espacios topológicos hasta la equivalencia de homotopía . El grupo de homología de grado cero es un grupo abeliano libre en los componentes de trayectoria de X.

Cohomología de De Rham

Las k -formas diferenciales en cualquier variedad lisa M forman un espacio vectorial real llamado Ω ^k ( M ) bajo adición. La derivada exterior d asigna Ω ^k ( M ) a Ω ^{k +1} ( M ), y d ² = 0 se sigue esencialmente de la simetría de las segundas derivadas , por lo que los espacios vectoriales de las k -formas junto con la derivada exterior son un complejo de cocadena.

${\displaystyle 0{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Re ^{c}}{\stackrel {\subset }{\to }}\ {\Omega ^{0}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{1}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ {\Omega ^{2}(M)}{\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\to \cdots }$

La cohomología de este complejo se llama cohomología de De Rham de M . Las funciones localmente constantes se designan con su isomorfismo con c el recuento de componentes mutuamente desconectados de M . De esta manera, el complejo se extendió para dejar el complejo exacto en el nivel de forma cero utilizando el operador de subconjunto. ${\displaystyle \Re ^{c}}$

Los mapas suaves entre variedades inducen mapas en cadena, y las homotopías suaves entre mapas inducen homotopías en cadena.

Categoría de complejos de cadena

Los complejos de cadena de K -módulos con mapas de cadena forman una categoría Ch _K , donde K es un anillo conmutativo.

Si V = V y W = W son complejos de cadena, su producto tensorial es un complejo de cadena con elementos de grado n dado por ${\displaystyle {}_{*}}$ ${\displaystyle {}_{*}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j|i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}}$

y diferencial dado por

${\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b}$

donde a y b son dos vectores homogéneos cualesquiera en V y W respectivamente, y denota el grado de a . ${\displaystyle \left|a\right|}$

Este producto tensorial convierte la categoría Ch _K en una categoría monoidal simétrica . El objeto identidad con respecto a este producto monoidal es el anillo base K visto como un complejo de cadena de grado 0. El trenzado se da sobre tensores simples de elementos homogéneos por

${\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a}$

El signo es necesario para que el trenzado sea un mapa de cadena.

Además, la categoría de complejos de cadena de K -módulos también tiene Hom interno : dados los complejos de cadena V y W , el Hom interno de V y W , denotado Hom( V , W ), es el complejo de cadena con elementos de grado n dado por y diferencial dado por ${\displaystyle \Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}$

${\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))}$.

Tenemos un isomorfismo natural

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))}$

Más ejemplos

• Complejo Amitsur
• Un complejo utilizado para definir los grupos de Chow superiores de Bloch
• Complejo Buchsbaum-Rim
• Complejo Čech
• Complejo de primos
• Complejo Eagon-Northcott
• Complejo Gersten
• Gráfico complejo ^[1]
• Complejo Koszul
• Complejo Moore
• Complejo Schur

Véase también

• Álgebra graduada diferencial
• Álgebra de Lie graduada diferencial
• La correspondencia Dold-Kan dice que hay una equivalencia entre la categoría de complejos de cadenas y la categoría de grupos abelianos simpliciales .
• Criterio de aciclicidad de Buchsbaum-Eisenbud
• Módulo graduado diferencial

Referencias

1. "Gráfico complejo".

• Bott, Raoul ; Tu, Loring W. (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-79540-0.