Complejo Čech

Construcción del complejo de Čech a partir de un conjunto de puntos muestreados de un círculo

En topología algebraica y análisis de datos topológicos , el complejo de Čech es un complejo simplicial abstracto construido a partir de una nube de puntos en cualquier espacio métrico que pretende capturar información topológica sobre la nube de puntos o la distribución de la que se extrae. Dada una nube de puntos finita X y un ε  > 0, construimos el complejo de Čech de la siguiente manera: Tome los elementos de X como el conjunto de vértices de . Luego, para cada , sea si el conjunto de ε -bolas centradas en los puntos de σ tiene una intersección no vacía . En otras palabras, el complejo de Čech es el nervio del conjunto de ε -bolas centradas en los puntos de X . Por el lema del nervio , el complejo de Čech es homotópicamente equivalente a la unión de las bolas, también conocida como Filtración Offset . ^[1] ${\displaystyle {\check {C}}_{\varepsilon }(X)}$ ${\displaystyle {\check {C}}_{\varepsilon }(X)}$ ${\displaystyle \sigma \subset X}$ ${\displaystyle \sigma \in {\check {C}}_{\varepsilon }(X)}$

Relación con el complejo Vietoris-Rips

El complejo de Čech es un subcomplejo del complejo de Vietoris-Rips . Si bien el complejo de Čech es más costoso computacionalmente que el complejo de Vietoris-Rips, ya que debemos verificar las intersecciones de orden superior de las bolas en el complejo, el teorema del nervio proporciona una garantía de que el complejo de Čech es homotópicamente equivalente a la unión de las bolas en el complejo. El complejo de Vietoris-Rips puede no serlo. ^[1]

Véase también

• Complejo Vietoris-Rips
• Análisis de datos topológicos
• Cohomología de Chech
• Geometría computacional
• Complejo simplicial abstracto
• Complejo simplicial
• Homología simplicial

Referencias

1. Ghrist, Robert W. (2014). Topología elemental aplicada (1.ª ed.). [Estados Unidos]. ISBN 9781502880857.OCLC 899283974  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )