En topología , el complejo Vietoris-Rips , también llamado complejo de Vietoris o complejo Rips , es una forma de formar un espacio topológico a partir de distancias en un conjunto de puntos. Es un complejo simplicial abstracto que se puede definir a partir de cualquier espacio métrico M y distancia δ formando un simplex para cada conjunto finito de puntos que tenga un diámetro como máximo δ. Es decir, es una familia de subconjuntos finitos de M , en la que pensamos que un subconjunto de k puntos forma un simplex ( k − 1)-dimensional (una arista para dos puntos, un triángulo para tres puntos, un tetraedro para cuatro puntos, etc.); Si un conjunto finito S tiene la propiedad de que la distancia entre cada par de puntos en S es como máximo δ, entonces incluimos S como un simplex en el complejo.
El complejo de Vietoris-Rips se llamó originalmente complejo de Vietoris, por Leopold Vietoris , quien lo introdujo como un medio para extender la teoría de la homología desde complejos simpliciales a espacios métricos. [1] Después de que Eliyahu Rips aplicara el mismo complejo al estudio de grupos hiperbólicos , su uso fue popularizado por Mikhail Gromov (1987), quien lo llamó complejo de Rips. [2] El nombre "complejo Vietoris-Rips" se debe a Jean-Claude Hausmann (1995). [3]
El complejo de Vietoris-Rips está estrechamente relacionado con el complejo de Čech (o nervio ) de un conjunto de bolas , que tiene un simplex para cada subconjunto finito de bolas con intersección no vacía. En un espacio geodésicamente convexo Y , el complejo de Vietoris-Rips de cualquier subespacio X ⊂ Y para una distancia δ tiene los mismos puntos y aristas que el complejo de Čech del conjunto de bolas de radio δ/2 en Y que están centradas en los puntos de X . Sin embargo, a diferencia del complejo de Čech, el complejo de Vietoris-Rips de X depende sólo de la geometría intrínseca de X , y no de ninguna incrustación de X en un espacio más grande.
Como ejemplo, considere el espacio métrico uniforme M 3 que consta de tres puntos, cada uno a una distancia unitaria entre sí. El complejo Vietoris-Rips de M 3 , para δ = 1, incluye un símplex para cada subconjunto de puntos en M 3 , incluido un triángulo para M 3 mismo. Si incrustamos M 3 como un triángulo equilátero en el plano euclidiano , entonces el complejo de Čech de las bolas de radio 1/2 centrado en los puntos de M 3 contendría todos los demás símplex del complejo de Vietoris-Rips pero no contendría este triángulo. , ya que no hay ningún punto del plano contenido en las tres bolas. Sin embargo, si M 3 está incrustado en un espacio métrico que contiene un cuarto punto a una distancia 1/2 de cada uno de los tres puntos de M 3 , el complejo de Čech de las bolas de radio-1/2 en este espacio contendría el triángulo . Por lo tanto, el complejo de Čech de bolas de radio fijo centrado en M 3 difiere dependiendo de en qué espacio más grande podría incrustarse M 3 , mientras que el complejo de Vietoris-Rips permanece sin cambios.
Si cualquier espacio métrico X está incrustado en un espacio métrico inyectivo Y , el complejo de Vietoris-Rips para la distancia δ y X coincide con el complejo de Čech de las bolas de radio δ/2 centrado en los puntos de X en Y. Por tanto, el complejo de Vietoris-Rips de cualquier espacio métrico M es igual al complejo de Čech de un sistema de bolas en el espacio reducido de M.
El complejo Vietoris-Rips para δ = 1 contiene una arista para cada par de puntos que están a una distancia unitaria o menos en el espacio métrico dado. Como tal, su esqueleto 1 es el gráfico de disco unitario de sus puntos. Contiene un simplex para cada camarilla en el gráfico de disco unitario, por lo que es el complejo de camarilla o complejo de bandera del gráfico de disco unitario. [4] De manera más general, el complejo de camarilla de cualquier gráfico G es un complejo de Vietoris-Rips para el espacio métrico que tiene como puntos los vértices de G y tiene como distancias las longitudes de los caminos más cortos en G.
Si M es una variedad de Riemann cerrada , entonces para valores suficientemente pequeños de δ el complejo de Vietoris-Rips de M , o de espacios suficientemente cercanos a M , es homotópicamente equivalente a M mismo. [5]
Chambers, Erickson y Worah (2008) describen algoritmos eficientes para determinar si un ciclo dado es contráctil en el complejo Rips de cualquier punto finito establecido en el plano euclidiano .
Al igual que con los gráficos de discos unitarios, el complejo Vietoris-Rips se ha aplicado en informática para modelar la topología de redes de comunicación inalámbricas ad hoc . Una ventaja del complejo Vietoris-Rips en esta aplicación es que sólo se puede determinar a partir de las distancias entre los nodos de comunicación, sin tener que inferir sus ubicaciones físicas exactas. Una desventaja es que, a diferencia del complejo Čech, el complejo Vietoris-Rips no proporciona directamente información sobre las brechas en la cobertura de comunicación, pero esta falla puede mejorarse intercalando el complejo Čech entre dos complejos Vietoris-Rips para diferentes valores de δ. [ 6] Se puede encontrar una implementación de los complejos Vietoris-Rips en el paquete TDAstats R. [7]
Los complejos Vietoris-Rips también se han aplicado para la extracción de características en datos de imágenes digitales; En esta aplicación, el complejo se construye a partir de un espacio métrico de alta dimensión en el que los puntos representan características de imagen de bajo nivel. [8]
La colección de todos los complejos Vietoris-Rips es una construcción comúnmente aplicada en homología persistente y análisis de datos topológicos , y se conoce como filtración Rips . [9]
{{citation}}: Mantenimiento CS1: fecha y año ( enlace ).