En matemáticas , específicamente en geometría de Riemann , la convexidad geodésica es una generalización natural de la convexidad para conjuntos y funciones de variedades de Riemann . Es común eliminar el prefijo "geodésico" y referirse simplemente a "convexidad" de un conjunto o función.
Definiciones
Sea ( M , g ) una variedad de Riemann.
- Se dice que un subconjunto C de M es un conjunto geodésicamente convexo si, dados dos puntos cualesquiera en C , hay una geodésica minimizadora única contenida dentro de C que une esos dos puntos.
- Sea C un subconjunto geodésicamente convexo de M . Se dice que una función es ( estrictamente ) geodésicamente convexa si la composición
- es una función (estrictamente) convexa en el sentido habitual para cada arco geodésico de velocidad unitaria γ : [0, T ] → M contenido dentro de C .
Propiedades
- Una variedad de Riemann geodésicamente convexa (subconjunto de una) es también un espacio métrico convexo con respecto a la distancia geodésica.
Ejemplos
- Un subconjunto del espacio euclidiano de n dimensiones E n con su métrica plana habitual es geodésicamente convexo si y sólo si es convexo en el sentido habitual, y de manera similar para las funciones.
- El "hemisferio norte" de la esfera bidimensional S 2 con su métrica habitual es geodésicamente convexo. Sin embargo, el subconjunto A de S 2 que consta de aquellos puntos con latitud más al norte que 45° sur no es geodésicamente convexo, ya que el arco geodésico minimizador ( círculo máximo ) que une dos puntos distintos en el límite sur de A deja a A (por ejemplo, en el caso de dos puntos separados 180° en longitud , el arco geodésico pasa sobre el polo sur).
Referencias
- Rapcsák, Tamás (1997). Optimización no lineal suave en R n . Optimización no convexa y sus aplicaciones. vol. 19. Dordrecht: Editores académicos de Kluwer. ISBN 0-7923-4680-7. SEÑOR 1480415.
- Udriste, Constantin (1994). Funciones convexas y métodos de optimización en variedades de Riemann . Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 297. Dordrecht: Editores académicos de Kluwer. ISBN 0-7923-3002-1.