Espacio métrico inyectivo

Tipo de espacio métrico

En geometría métrica , un espacio métrico inyectivo , o equivalentemente un espacio métrico hiperconvexo , es un espacio métrico con ciertas propiedades que generalizan las de la línea real y las de L _∞ distancias en espacios vectoriales de dimensiones superiores . Estas propiedades se pueden definir de dos maneras aparentemente diferentes: la hiperconvexidad implica las propiedades de intersección de bolas cerradas en el espacio, mientras que la inyectividad implica las incrustaciones isométricas del espacio en espacios más grandes. Sin embargo, es un teorema de Aronszajn y Panitchpakdi (1956) que estos dos tipos diferentes de definiciones son equivalentes. ^[1]

Hiperconvexidad

Se dice que un espacio métrico es hiperconvexo si es convexo y sus bolas cerradas tienen la propiedad binaria de Helly . Eso es: ${\displaystyle X}$

1. Dos puntos cualesquiera pueden conectarse mediante la imagen isométrica de un segmento de recta de longitud igual a la distancia entre los puntos (es decir, es un camino espacial). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$
2. Si existe alguna familia de bolas cerradas tal que cada par de bolas en se encuentra, entonces existe un punto común a todas las bolas en . ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle {\bar {B}}_{r}(p)=\{q\mid d(p,q)\leq r\}}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$

De manera equivalente, un espacio métrico es hiperconvexo si, para cualquier conjunto de puntos in y radios que satisfagan para cada uno y , hay un punto in que está a una distancia de cada uno (es decir, para todos ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{i}>0}$ ${\displaystyle r_{i}+r_{j}\geq d(p_{i},p_{j})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle d(p_{i},q)\leq r_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Inyectividad

Una retracción de un espacio métrico es una función que se asigna a un subespacio de sí mismo, de modo que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

1. por todos tenemos eso ; es decir, es la función de identidad en su imagen (es decir, es idempotente ), y ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f(f(x))=f(x)}$ ${\displaystyle f}$
2. por todos tenemos eso ; es decir, no es expansivo . ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq d(x,y)}$ ${\displaystyle f}$

Una retracción de un espacio es un subespacio que es una imagen de una retracción. Se dice que un espacio métrico es inyectivo si, siempre que es isométrico a un subespacio de un espacio , ese subespacio es una retracción de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y}$

Ejemplos

Ejemplos de espacios métricos hiperconvexos incluyen

• la verdadera linea
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$con la distancia ∞ ${\displaystyle \ell }$
• Distancia de Manhattan ( L ₁ ) en el plano (que es equivalente hasta la rotación y el escalado a L _∞ ), pero no en dimensiones superiores
• El estrecho espacio de un espacio métrico
• Cualquier árbol real completo.
• ${\displaystyle \operatorname {Aim} (X)}$– ver Espacio métrico dirigido a su subespacio

Debido a la equivalencia entre hiperconvexidad e inyectividad, todos estos espacios también son inyectivos.

Propiedades

En un espacio inyectivo, el radio de la bola mínima que contiene cualquier conjunto es igual a la mitad del diámetro de . Esto se deduce ya que las bolas de radio la mitad del diámetro, centradas en los puntos de , se cruzan por pares y por lo tanto por hiperconvexidad tienen una intersección común; una bola de radio la mitad del diámetro centrada en un punto de esta intersección común contiene todos . Por tanto, los espacios inyectivos satisfacen una forma particularmente fuerte del teorema de Jung . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Cada espacio inyectivo es un espacio completo , ^[2] y cada aplicación métrica (o, equivalentemente, aplicación no expansiva o aplicación corta ) en un espacio inyectivo acotado tiene un punto fijo . ^[3] Un espacio métrico es inyectivo si y sólo si es un objeto inyectivo en la categoría de espacios métricos y mapas métricos . ^[4]

Notas

1. Véase, por ejemplo, Chepoi 1997.
2. Aronszajn y Panitchpakdi 1956.
3. Desde 1979; Soardi 1979.
4. Para propiedades adicionales de espacios inyectivos, consulte Espínola & Khamsi 2001.

Referencias

• Aronszajn, N .; Panitchpakdi, P. (1956). "Extensiones de transformaciones uniformemente continuas y espacios métricos hiperconvexos". Revista Pacífico de Matemáticas . 6 : 405–439. doi : 10.2140/pjm.1956.6.405 . SEÑOR  0084762.Corrección (1957), Pacific J. Math. 7 : 1729, SEÑOR 0092146.
• Chepoi, Víctor (1997). "Una aproximación TX a algunos resultados sobre recortes y métricas". Avances en Matemática Aplicada . 19 (4): 453–470. doi : 10.1006/aama.1997.0549 . SEÑOR  1479014.
• Espínola, R.; Khamsi, MA (2001). «Introducción a los espacios hiperconvexos» (PDF) . En Kirk, Washington; Sims B. (eds.). Manual de teoría métrica del punto fijo . Dordrecht: Editores académicos de Kluwer. SEÑOR  1904284.
• Isbell, JR (1964). "Seis teoremas sobre espacios métricos inyectivos". Comentarios Mathematici Helvetici . 39 : 65–76. doi :10.1007/BF02566944. SEÑOR  0182949.
• Sine, RC (1979). "Sobre semigrupos de contracción no lineal en espacios de norma sup". Análisis no lineal . 3 (6): 885–890. doi :10.1016/0362-546X(79)90055-5. SEÑOR  0548959.
• Soardi, P. (1979). "Existencia de puntos fijos de mapeos no expansivos en determinadas celosías de Banach". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 73 (1): 25-29. doi : 10.2307/2042874 . JSTOR  2042874. SEÑOR  0512051.