En teoría de categorías , Met es una categoría que tiene espacios métricos como sus objetos y aplicaciones métricas ( funciones continuas entre espacios métricos que no aumentan ninguna distancia por pares) como sus morfismos . Esta es una categoría porque la composición de dos aplicaciones métricas es nuevamente una aplicación métrica. Fue considerada por primera vez por Isbell (1964).
Los monomorfismos en Met son las aplicaciones métricas inyectivas . Los epimorfismos son las aplicaciones métricas para las cuales el dominio de la aplicación tiene una imagen densa en el rango . Los isomorfismos son las isometrías , es decir, aplicaciones métricas que son inyectivas, sobreyectivas y que preservan la distancia.
Por ejemplo, la inclusión de los números racionales en los números reales es un monomorfismo y un epimorfismo, pero claramente no es un isomorfismo; este ejemplo muestra que Met no es una categoría equilibrada .
El espacio métrico vacío es el objeto inicial de Met ; cualquier espacio métrico singleton es un objeto terminal . Debido a que el objeto inicial y los objetos terminales difieren, no hay objetos cero en Met .
Los objetos inyectivos en Met se denominan espacios métricos inyectivos . Los espacios métricos inyectivos fueron introducidos y estudiados por primera vez por Aronszajn y Panitchpakdi (1956), antes del estudio de Met como categoría; también pueden definirse intrínsecamente en términos de una propiedad de Helly de sus bolas métricas, y debido a esta definición alternativa, Aronszajn y Panitchpakdi denominaron a estos espacios espacios hiperconvexos . Cualquier espacio métrico tiene un espacio métrico inyectivo más pequeño en el que puede ser incrustado isométricamente , llamado su envolvente métrica o espacio estrecho .
El producto de un conjunto finito de espacios métricos en Met es un espacio métrico que tiene como puntos el producto cartesiano de los espacios; la distancia en el espacio producto está dada por el supremo de las distancias en los espacios base. Es decir, es la métrica producto con la norma sup . Sin embargo, el producto de un conjunto infinito de espacios métricos puede no existir, porque las distancias en los espacios base pueden no tener un supremo. Es decir, Met no es una categoría completa , pero es finitamente completa. No hay coproducto en Met .
El funtor olvidadizo Met → Set asigna a cada espacio métrico el conjunto subyacente de sus puntos, y asigna a cada función métrica la función de teoría de conjuntos subyacente. Este funtor es fiel y, por lo tanto, Met es una categoría concreta .
Met no es la única categoría cuyos objetos son espacios métricos; otras incluyen la categoría de funciones uniformemente continuas , la categoría de funciones de Lipschitz y la categoría de aplicaciones cuasi-Lipschitz. Las aplicaciones métricas son tanto uniformemente continuas como Lipschitz, con Lipschitz constante como máximo.