Mikhael Leonidovich Gromov (también Mijail Gromov , Michael Gromov o Misha Gromov ; en ruso: Михаи́л Леони́дович Гро́мов ; nacido el 23 de diciembre de 1943) es un matemático ruso-francés conocido por su trabajo en geometría , análisis y teoría de grupos . Es miembro permanente del Institut des Hautes Études Scientifiques en Francia y profesor de matemáticas en la Universidad de Nueva York .
Gromov ha ganado varios premios, incluido el Premio Abel en 2009 "por sus contribuciones revolucionarias a la geometría".
Mijaíl Grómov nació el 23 de diciembre de 1943 en Boksitogorsk , Unión Soviética . Su padre, Leonid Grómov, era ruso-eslavo y su madre, Lea, era de ascendencia judía. Ambos eran patólogos . [1] Su madre era prima del campeón mundial de ajedrez Mijaíl Botvinnik , así como del matemático Isaak Moiseevich Rabinovich. [2] Grómov nació durante la Segunda Guerra Mundial , y su madre, que trabajaba como médica en el ejército soviético, tuvo que abandonar el frente para dar a luz a su hijo. [3] Cuando Grómov tenía nueve años, [4] su madre le regaló el libro El disfrute de las matemáticas de Hans Rademacher y Otto Toeplitz , un libro que despertó su curiosidad y tuvo una gran influencia en él. [3]
Gromov estudió matemáticas en la Universidad Estatal de Leningrado , donde obtuvo una maestría en 1965, un doctorado en 1969 y defendió su tesis postdoctoral en 1973. Su asesor de tesis fue Vladimir Rokhlin . [5]
Gromov se casó en 1967. En 1970, fue invitado a dar una presentación en el Congreso Internacional de Matemáticos en Niza , Francia. Sin embargo, no se le permitió salir de la URSS. Aun así, su conferencia fue publicada en las actas del congreso. [6]
En desacuerdo con el sistema soviético, había estado pensando en emigrar desde la edad de 14 años. A principios de la década de 1970 dejó de publicar, con la esperanza de que esto ayudaría a su solicitud de mudarse a Israel . [4] [7] Cambió su apellido por el de su madre. [4] Recibió una carta codificada diciendo que, si podía salir de la Unión Soviética, podría ir a Stony Brook , donde se le había arreglado un puesto. Cuando se le concedió la solicitud en 1974, se mudó directamente a Nueva York y trabajó en Stony Brook. [6]
En 1981 abandonó la Universidad de Stony Brook para incorporarse a la facultad de la Universidad de París VI y en 1982 se convirtió en profesor permanente del Instituto de Altos Estudios Científicos, donde permanece hasta la actualidad. Al mismo tiempo, ha sido profesor en la Universidad de Maryland, College Park, de 1991 a 1996, y en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de Nueva York desde 1996. [8] Adoptó la ciudadanía francesa en 1992. [9]
El estilo de geometría de Gromov a menudo presenta un punto de vista "burdo" o "suave", analizando propiedades asintóticas o de gran escala. [G00] También está interesado en la biología matemática , [10] la estructura del cerebro y el proceso de pensamiento, y la forma en que evolucionan las ideas científicas. [6]
Motivado por los teoremas de incrustación isométrica de Nash y Kuiper y los resultados sobre inmersiones de Morris Hirsch y Stephen Smale , [10] Gromov introdujo el principio h en varias formulaciones. Basándose en el caso especial de la teoría de Hirsch-Smale, introdujo y desarrolló la teoría general de haces microflexibles , demostrando que satisfacen un principio h en variedades abiertas . [G69] Como consecuencia (entre otros resultados) pudo establecer la existencia de métricas riemannianas de curvatura positiva y negativa en cualquier variedad abierta . Su resultado está en contrapunto con las conocidas restricciones topológicas (como el teorema del alma de Cheeger-Gromoll o el teorema de Cartan-Hadamard ) en variedades riemannianas geodésicamente completas de curvatura positiva o negativa. Después de este trabajo inicial, desarrolló otros principios h en parte en colaboración con Yakov Eliashberg , incluyendo trabajos basados en el teorema de Nash y Kuiper y el teorema de la función implícita de Nash-Moser . Hay muchas aplicaciones de sus resultados, incluyendo condiciones topológicas para la existencia de inmersiones lagrangianas exactas y objetos similares en geometría simpléctica y de contacto . [11] [12] Su conocido libro Partial Differential Relations recoge la mayor parte de su trabajo sobre estos problemas. [G86] Más tarde, aplicó sus métodos a la geometría compleja , demostrando ciertos casos del principio de Oka sobre la deformación de mapas continuos a mapas holomorfos . [G89] Su trabajo inició un estudio renovado de la teoría de Oka-Grauert, que se había introducido en la década de 1950. [13] [14]
Gromov y Vitali Milman dieron una formulación de la concentración de fenómenos de medida. [GM83] Definieron una "familia de Lévy" como una secuencia de espacios de medida métricos normalizados en los que cualquier secuencia de conjuntos asintóticamente no nula puede ser métricamente engrosada para incluir casi todos los puntos. Esto imita de cerca los fenómenos de la ley de los grandes números y, de hecho, la ley de los grandes números puede ponerse en el marco de las familias de Lévy. Gromov y Milman desarrollaron la teoría básica de las familias de Lévy e identificaron una serie de ejemplos, los más importantes provenientes de secuencias de variedades de Riemann en las que el límite inferior de la curvatura de Ricci o el primer valor propio del operador de Laplace-Beltrami divergen al infinito. También destacaron una característica de las familias de Lévy en la que cualquier secuencia de funciones continuas debe ser asintóticamente casi constante. Estas consideraciones han sido llevadas más allá por otros autores, como Michel Talagrand . [15]
Desde la publicación seminal de 1964 de James Eells y Joseph Sampson sobre mapas armónicos , se han deducido varios fenómenos de rigidez a partir de la combinación de un teorema de existencia para aplicaciones armónicas junto con un teorema de desaparición que afirma que (ciertas) aplicaciones armónicas deben ser totalmente geodésicas u holomorfas. [16] [17] [18] Gromov tuvo la idea de que la extensión de este programa al entorno de aplicaciones en espacios métricos implicaría nuevos resultados en grupos discretos , siguiendo la superrigidez de Margulis . Richard Schoen llevó a cabo el trabajo analítico para extender la teoría del mapa armónico al entorno del espacio métrico; esto fue realizado posteriormente de forma más sistemática por Nicholas Korevaar y Schoen, estableciendo extensiones de la mayor parte de la teoría estándar del espacio de Sobolev . [19] Una aplicación de muestra de los métodos de Gromov y Schoen es el hecho de que las redes en el grupo de isometría del espacio hiperbólico cuaterniónico son aritméticas . [GS92]
En 1978, Gromov introdujo la noción de variedades casi planas . [G78] El famoso teorema de la esfera de un cuarto de pinza en la geometría de Riemann dice que si una variedad de Riemann completa tiene curvaturas seccionales que son todas suficientemente cercanas a una constante positiva dada, entonces M debe estar cubierta finitamente por una esfera. En contraste, se puede ver mediante el escalado que cada variedad de Riemann cerrada tiene métricas de Riemann cuyas curvaturas seccionales son arbitrariamente cercanas a cero. Gromov demostró que si la posibilidad de escalado se rompe al considerar solo variedades de Riemann de un diámetro fijo, entonces una variedad cerrada que admita tal métrica de Riemann, con curvaturas seccionales suficientemente cercanas a cero, debe estar cubierta finitamente por una variedad nula . La prueba funciona repitiendo las pruebas del teorema de Bieberbach y el lema de Margulis . La prueba de Gromov fue explicada cuidadosamente por Peter Buser y Hermann Karcher. [20] [21] [22]
En 1979, Richard Schoen y Shing-Tung Yau demostraron que la clase de variedades suaves que admiten métricas riemannianas de curvatura escalar positiva es topológicamente rica. En particular, demostraron que esta clase es cerrada bajo la operación de suma conexa y de cirugía en codimensión al menos tres. [23] Su prueba utilizó métodos elementales de ecuaciones diferenciales parciales , en particular relacionados con la función de Green . Gromov y Blaine Lawson dieron otra prueba de los resultados de Schoen y Yau, haciendo uso de construcciones geométricas elementales. [GL80b] También demostraron cómo los resultados puramente topológicos como el teorema del h-cobordismo de Stephen Smale podían entonces aplicarse para extraer conclusiones como el hecho de que toda variedad suave cerrada y simplemente conexa de dimensión 5, 6 o 7 tiene una métrica riemanniana de curvatura escalar positiva. Además, introdujeron la nueva clase de variedades ampliables , que se distinguen por una condición en la teoría de homotopía . [GL80a] Demostraron que no pueden existir métricas riemannianas de curvatura escalar positiva en tales variedades. Una consecuencia particular es que el toro no puede soportar ninguna métrica riemanniana de curvatura escalar positiva, que había sido una conjetura importante resuelta previamente por Schoen y Yau en dimensiones bajas. [24]
En 1981, Gromov identificó restricciones topológicas, basadas en números de Betti , sobre variedades que admiten métricas riemannianas de curvatura seccional no negativa . [G81a] La idea principal de su trabajo fue combinar la teoría de Morse de Karsten Grove y Katsuhiro Shiohama para la función de distancia de Riemann, con el control de la función de distancia obtenida a partir del teorema de comparación de Toponogov , junto con la desigualdad de Bishop-Gromov sobre el volumen de bolas geodésicas. [25] Esto dio como resultado cubiertas controladas topológicamente de la variedad por bolas geodésicas, a las que se podían aplicar argumentos de secuencia espectral para controlar la topología de la variedad subyacente. La topología de los límites inferiores en la curvatura seccional aún no se entiende completamente, y el trabajo de Gromov permanece como un resultado primario. Como aplicación de la teoría de Hodge , Peter Li y Yau pudieron aplicar sus estimaciones de gradiente para encontrar estimaciones de números de Betti similares que son más débiles que las de Gromov pero permiten que la variedad tenga un límite convexo. [26]
En la teoría de compacidad fundamental de Jeff Cheeger para variedades de Riemann, un paso clave en la construcción de coordenadas en el espacio límite es una estimación del radio de inyectividad para variedades cerradas . [27] Cheeger, Gromov y Michael Taylor localizaron la estimación de Cheeger, mostrando cómo usar la comparación de volumen de Bishop-Gromov para controlar el radio de inyectividad en términos absolutos mediante límites de curvatura y volúmenes de bolas geodésicas. [CGT82] Su estimación se ha utilizado en varios lugares donde la construcción de coordenadas es un problema importante. [28] [29] [30] Un ejemplo particularmente conocido de esto es mostrar que el "teorema de no colapso" de Grigori Perelman para el flujo de Ricci , que controla el volumen, es suficiente para permitir aplicaciones de la teoría de compacidad de Richard Hamilton . [31] [32] [33] Cheeger, Gromov y Taylor aplicaron su estimación del radio de inyectividad para demostrar el control gaussiano del núcleo de calor , aunque estas estimaciones fueron mejoradas posteriormente por Li y Yau como una aplicación de sus estimaciones de gradiente. [26]
Gromov realizó contribuciones fundamentales a la geometría sistólica . La geometría sistólica estudia la relación entre invariantes de tamaño (como el volumen o el diámetro) de una variedad M y sus subvariedades topológicamente no triviales (como las curvas no contráctiles). En su artículo de 1983 "Relleno de variedades de Riemann" [G83] Gromov demostró que cada variedad esencial con una métrica de Riemann contiene una geodésica cerrada no contráctil de longitud como máximo . [34]
En 1981, Gromov introdujo la métrica de Gromov-Hausdorff , que otorga al conjunto de todos los espacios métricos la estructura de un espacio métrico. [G81b] De manera más general, se puede definir la distancia de Gromov-Hausdorff entre dos espacios métricos, en relación con la elección de un punto en cada espacio. Aunque esto no da una métrica sobre el espacio de todos los espacios métricos, es suficiente para definir la "convergencia de Gromov-Hausdorff" de una secuencia de espacios métricos apuntados a un límite. Gromov formuló un importante teorema de compacidad en este contexto, dando una condición bajo la cual una secuencia de espacios métricos apuntados y "propios" debe tener una subsecuencia que converge. Esto fue posteriormente reformulado por Gromov y otros en la noción más flexible de un ultralímite . [G93]
El teorema de compacidad de Gromov tuvo un profundo impacto en el campo de la teoría de grupos geométricos . Lo aplicó para entender la geometría asintótica de la métrica de palabras de un grupo de crecimiento polinomial , tomando el límite de reescalamientos bien elegidos de la métrica. Al rastrear los límites de las isometrías de la métrica de palabras, pudo demostrar que el espacio métrico límite tiene continuidades inesperadas y, en particular, que su grupo de isometría es un grupo de Lie . [G81b] Como consecuencia, pudo resolver la conjetura de Milnor-Wolf tal como se planteó en la década de 1960, que afirma que cualquier grupo de este tipo es virtualmente nilpotente . Usando ultralímites, se pueden estudiar estructuras asintóticas similares para espacios métricos más generales. [G93] Bruce Kleiner , Bernhard Leeb y Pierre Pansu , entre otros, dieron importantes desarrollos sobre este tema . [35] [36]
Otra consecuencia es el teorema de compacidad de Gromov , que establece que el conjunto de variedades riemannianas compactas con curvatura de Ricci ≥ c y diámetro ≤ D es relativamente compacto en la métrica de Gromov-Hausdorff. [G81b] Los posibles puntos límite de las sucesiones de tales variedades son los espacios de Alexandrov de curvatura ≥ c , una clase de espacios métricos estudiados en detalle por Burago , Gromov y Perelman en 1992. [BGP92]
Junto con Eliyahu Rips , Gromov introdujo la noción de grupos hiperbólicos . [G87]
La teoría de las curvas pseudoholomórficas de Gromov es uno de los fundamentos del estudio moderno de la geometría simpléctica . [G85] Aunque no fue el primero en considerar las curvas pseudoholomórficas, descubrió un fenómeno de "burbujeo" paralelo al trabajo anterior de Karen Uhlenbeck sobre las conexiones de Yang-Mills y el trabajo de Uhlenbeck y Jonathan Sack sobre los mapas armónicos . [37] [38] En el tiempo transcurrido desde el trabajo de Sacks, Uhlenbeck y Gromov, tales fenómenos de burbujeo se han encontrado en varios otros contextos geométricos. El teorema de compacidad correspondiente que codifica el burbujeo permitió a Gromov llegar a una serie de conclusiones analíticamente profundas sobre la existencia de curvas pseudoholomórficas. Un resultado particularmente famoso de Gromov, al que se llegó como consecuencia de la teoría de la existencia y la fórmula de monotonía para superficies mínimas , es el " teorema de no compresión ", que proporcionó una característica cualitativa sorprendente de la geometría simpléctica. Siguiendo las ideas de Edward Witten , el trabajo de Gromov también es fundamental para la teoría de Gromov-Witten , que es un tema ampliamente estudiado que llega a la teoría de cuerdas , la geometría algebraica y la geometría simpléctica . [39] [40] [41] Desde una perspectiva diferente, el trabajo de Gromov también fue inspirador para gran parte del trabajo de Andreas Floer . [42]
Yakov Eliashberg y Gromov desarrollaron algunas de las teorías básicas para las nociones simplécticas de convexidad. [EG91] Introducen varias nociones específicas de convexidad, todas las cuales se ocupan de la existencia de familias de difeomorfismos de un parámetro que contraen la forma simpléctica. Muestran que la convexidad es un contexto apropiado para que un principio h se cumpla para el problema de construir ciertos simplécticomorfismos . También introdujeron nociones análogas en geometría de contacto ; la existencia de estructuras de contacto convexas fue estudiada posteriormente por Emmanuel Giroux . [43]
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