Análisis de datos topológicos

Análisis de conjuntos de datos utilizando técnicas de topología

En matemáticas aplicadas , el análisis topológico de datos ( TDA ) es un enfoque para el análisis de conjuntos de datos que utiliza técnicas de topología . La extracción de información de conjuntos de datos que son de alta dimensión, incompletos y ruidosos generalmente es un desafío. TDA proporciona un marco general para analizar dichos datos de una manera que es insensible a la métrica particular elegida y proporciona reducción de dimensionalidad y robustez al ruido. Más allá de esto, hereda la funcionalidad , un concepto fundamental de las matemáticas modernas, de su naturaleza topológica, lo que le permite adaptarse a nuevas herramientas matemáticas. ^{[ cita requerida ]}

La motivación inicial es estudiar la forma de los datos. TDA ha combinado la topología algebraica y otras herramientas de las matemáticas puras para permitir un estudio matemáticamente riguroso de la "forma". La herramienta principal es la homología persistente , una adaptación de la homología a los datos de nubes de puntos . La homología persistente se ha aplicado a muchos tipos de datos en muchos campos. Además, su fundamento matemático también es de importancia teórica. Las características únicas de TDA lo convierten en un puente prometedor entre la topología y la geometría. ^{[ cita requerida ]}

Teoría básica

Intuición

El TDA se basa en la idea de que la forma de los conjuntos de datos contiene información relevante. Los datos reales de alta dimensión suelen ser escasos y tienden a tener características relevantes de baja dimensión. Una de las tareas del TDA es proporcionar una caracterización precisa de este hecho. Por ejemplo, la trayectoria de un sistema simple depredador-presa regido por las ecuaciones de Lotka-Volterra ^[1] forma un círculo cerrado en el espacio de estados. El TDA proporciona herramientas para detectar y cuantificar dicho movimiento recurrente. ^[2]

Muchos algoritmos para el análisis de datos, incluidos los utilizados en TDA, requieren la configuración de varios parámetros. Sin un conocimiento previo del dominio , es difícil elegir la colección correcta de parámetros para un conjunto de datos. La idea principal de la homología persistente es utilizar la información obtenida de todos los valores de los parámetros codificando esta enorme cantidad de información en una forma comprensible y fácil de representar. Con TDA, existe una interpretación matemática cuando la información es un grupo de homología . En general, se supone que las características que persisten para un amplio rango de parámetros son características "verdaderas". Se presume que las características que persisten solo para un rango estrecho de parámetros son ruido, aunque la justificación teórica para esto no está clara. ^[3]

Historia temprana

Los precursores del concepto completo de homología persistente aparecieron gradualmente con el tiempo. ^[4] En 1990, Patrizio Frosini introdujo una pseudodistancia entre subvariedades, y más tarde la función de tamaño, que en curvas 1-dim es equivalente a la homología persistente 0. ^{[5] [6]} Casi una década después, Vanessa Robins estudió las imágenes de homomorfismos inducidos por inclusión. ^[7] Finalmente, poco después, Edelsbrunner et al. introdujeron el concepto de homología persistente junto con un algoritmo eficiente y su visualización como un diagrama de persistencia. ^[8] Carlsson et al. reformularon la definición inicial y dieron un método de visualización equivalente llamado códigos de barras de persistencia , ^[9] interpretando la persistencia en el lenguaje del álgebra conmutativa. ^[10]

En la topología algebraica, la homología persistente surgió gracias al trabajo de Serguéi Barannikov sobre la teoría de Morse. El conjunto de valores críticos de la función de Morse suave se dividió canónicamente en pares "nacimiento-muerte", se clasificaron los complejos filtrados, sus invariantes, equivalentes a diagramas de persistencia y códigos de barras de persistencia, junto con el algoritmo eficiente para su cálculo, fueron descritos bajo el nombre de formas canónicas en 1994 por Barannikov. ^{[11] [12]}

Conceptos

A continuación se presentan algunos conceptos de uso generalizado. Tenga en cuenta que algunas definiciones pueden variar de un autor a otro.

Una nube de puntos a menudo se define como un conjunto finito de puntos en algún espacio euclidiano, pero puede considerarse cualquier espacio métrico finito.

El complejo de Čech de una nube de puntos es el nervio de la cubierta de bolas de un radio fijo alrededor de cada punto de la nube.

Un módulo de persistencia indexado por es un espacio vectorial para cada , y un mapa lineal siempre que , tal que para todos y siempre que ^[13] Una definición equivalente es un funtor de considerado como un conjunto parcialmente ordenado a la categoría de espacios vectoriales. ${\displaystyle \mathbb {U} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle U_{t}}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle u_{t}^{s}:U_{s}\to U_{t}}$ ${\displaystyle s\leq t}$ ${\displaystyle u_{t}^{t}=1}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u_{t}^{s}u_{s}^{r}=u_{t}^{r}}$ ${\displaystyle r\leq s\leq t.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El grupo de homología persistente de una nube de puntos es el módulo de persistencia definido como , donde es el complejo de Čech del radio de la nube de puntos y es el grupo de homología. ${\displaystyle PH}$ ${\displaystyle PH_{k}(X)=\prod H_{k}(X_{r})}$ ${\displaystyle X_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{k}}$

Un código de barras de persistencia es un multiconjunto de intervalos en , y un diagrama de persistencia es un multiconjunto de puntos en ( ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle :=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u,v\geq 0,u\leq v\}}$

La distancia de Wasserstein entre dos diagramas de persistencia y se define como donde y varía sobre biyecciones entre y . Consulte la figura 3.1 en Munch ^[14] para obtener una ilustración. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle W_{p}[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\left[\sum _{x\in X}(\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q})^{p}\right]^{1/p}}$$ ${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

La distancia de cuello de botella entre y es Este es un caso especial de la distancia de Wasserstein, siendo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle W_{\infty }[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\sup _{x\in X}\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q}.}$$ ${\displaystyle p=\infty }$

Propiedad básica

Teorema de estructura

El primer teorema de clasificación para la homología persistente apareció en 1994 ^[11] a través de las formas canónicas de Barannikov. El teorema de clasificación que interpreta la persistencia en el lenguaje del álgebra conmutativa apareció en 2005: ^[10] para un módulo de persistencia finitamente generado con coeficientes de campo, Intuitivamente, las partes libres corresponden a los generadores de homología que aparecen en el nivel de filtración y nunca desaparecen, mientras que las partes de torsión corresponden a las que aparecen en el nivel de filtración y duran pasos de la filtración (o equivalentemente, desaparecen en el nivel de filtración ). ^[11] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle H(C;F)\simeq \bigoplus _{i}x^{t_{i}}\cdot F[x]\oplus \left(\bigoplus _{j}x^{r_{j}}\cdot (F[x]/(x^{s_{j}}\cdot F[x]))\right).}$$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle s_{j}+r_{j}}$

La homología persistente se visualiza a través de un código de barras o diagrama de persistencia. El código de barras tiene su origen en las matemáticas abstractas. Es decir, la categoría de complejos filtrados finitos sobre un cuerpo es semisimple. Cualquier complejo filtrado es isomorfo a su forma canónica, una suma directa de complejos filtrados simples unidimensionales y bidimensionales.

Estabilidad

La estabilidad es deseable porque proporciona robustez frente al ruido. Si es cualquier espacio que sea homeomorfo a un complejo simplicial, y son funciones continuas domesticadas ^[15] , entonces los espacios vectoriales de persistencia y se presentan finitamente, y , donde se refiere a la distancia del cuello de botella ^[16] y es el mapa que lleva una función domesticada continua al diagrama de persistencia de su homología -ésima. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f,g:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{H_{k}(f^{-1}([0,r]))\}}$ ${\displaystyle \{H_{k}(g^{-1}([0,r]))\}}$ ${\displaystyle W_{\infty }(D(f),D(g))\leq \lVert f-g\rVert _{\infty }}$ ${\displaystyle W_{\infty }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$

Flujo de trabajo

El flujo de trabajo básico en TDA es: ^[17]

1. Si es una nube de puntos, reemplácela con una familia anidada de complejos simpliciales (como el complejo de Čech o Vietoris-Rips). Este proceso convierte la nube de puntos en una filtración de complejos simpliciales. Al tomar la homología de cada complejo en esta filtración se obtiene un módulo de persistencia. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{r}}$ $${\displaystyle H_{i}(X_{r_{0}})\to H_{i}(X_{r_{1}})\to H_{i}(X_{r_{2}})\to \cdots }$$
2. Aplicar el teorema de estructura para obtener los números de Betti persistentes , diagrama de persistencia o, equivalentemente, código de barras.

Gráficamente hablando,

Un uso habitual de la persistencia en TDA ^[18]

Cálculo

El primer algoritmo para la homología persistente en todos los campos en un entorno de topología algebraica fue descrito por Barannikov ^[11] a través de la reducción a la forma canónica mediante matrices triangulares superiores. El algoritmo para la homología persistente en todos los campos fue proporcionado por Edelsbrunner et al. ^[8] Zomorodian y Carlsson proporcionaron el algoritmo práctico para calcular la homología persistente en todos los campos. ^[10] El libro de Edelsbrunner y Harer ofrece una guía general sobre la topología computacional. ^[19] ${\displaystyle F_{2}}$

Un problema que surge en el cálculo es la elección del complejo. El complejo de Čech y el complejo de Vietoris-Rips son los más naturales a primera vista; sin embargo, su tamaño crece rápidamente con el número de puntos de datos. El complejo de Vietoris-Rips es preferible al complejo de Čech porque su definición es más simple y el complejo de Čech requiere un esfuerzo adicional para definirlo en un espacio métrico finito general. Se han estudiado formas eficientes de reducir el costo computacional de la homología. Por ejemplo, el complejo α y el complejo testigo se utilizan para reducir la dimensión y el tamaño de los complejos. ^[20]

Recientemente, la teoría de Morse discreta ha demostrado ser prometedora para la homología computacional porque puede reducir un complejo simplicial dado a un complejo celular mucho más pequeño que es homotópico al original. ^[21] De hecho, esta reducción se puede realizar a medida que se construye el complejo utilizando la teoría de matroides , lo que conduce a mayores aumentos de rendimiento. ^[22] Otro algoritmo reciente ahorra tiempo al ignorar las clases de homología con baja persistencia. ^[23]

Hay varios paquetes de software disponibles, como javaPlex, Dionysus, Perseus, PHAT, DIPHA, GUDHI, Ripser y TDAstats. Otter et al. realizan una comparación entre estas herramientas. ^[24] Giotto-tda es un paquete de Python dedicado a integrar TDA en el flujo de trabajo de aprendizaje automático por medio de una API scikit-learn [1]. Un paquete R TDA es capaz de calcular conceptos inventados recientemente como el paisaje y el estimador de distancia de kernel. ^[25] El Topology ToolKit está especializado en datos continuos definidos en variedades de baja dimensión (1, 2 o 3), como se encuentra típicamente en la visualización científica . Cubicle está optimizado para datos de imágenes en escala de grises grandes (escala de gigabytes) en dimensión 1, 2 o 3 utilizando complejos cúbicos y teoría de Morse discreta . Otro paquete R, TDAstats, utiliza la biblioteca Ripser para calcular la homología persistente. ^[26]

Visualización

Los datos de alta dimensión son imposibles de visualizar directamente. Se han inventado muchos métodos para extraer una estructura de baja dimensión del conjunto de datos, como el análisis de componentes principales y el escalamiento multidimensional . ^[27] Sin embargo, es importante señalar que el problema en sí está mal planteado, ya que se pueden encontrar muchas características topológicas diferentes en el mismo conjunto de datos. Por lo tanto, el estudio de la visualización de espacios de alta dimensión es de importancia central para el TDA, aunque no necesariamente implica el uso de homología persistente. Sin embargo, se han realizado intentos recientes de utilizar la homología persistente en la visualización de datos. ^[28]

Carlsson et al. han propuesto un método general llamado MAPPER . ^[29] Hereda la idea de Serre de que una cobertura preserva la homotopía. ^[30] Una formulación generalizada de MAPPER es la siguiente:

Sean y espacios topológicos y sea un mapa continuo. Sea una cubierta abierta finita de . La salida de MAPPER es el nervio de la cubierta de retroceso , donde cada preimagen se divide en sus componentes conectados. ^[28] Este es un concepto muy general, del cual el gráfico de Reeb ^[31] y los árboles de fusión son casos especiales. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle \mathbb {U} =\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\textstyle M(\mathbb {U} ,f):=N(f^{-1}(\mathbb {U} ))}$

Esta no es exactamente la definición original. ^[29] Carlsson et al. eligen ser o , y lo cubren con conjuntos abiertos tales que como máximo dos se intersecan. ^[3] Esta restricción significa que la salida está en forma de una red compleja . Debido a que la topología de una nube de puntos finita es trivial, se utilizan métodos de agrupamiento (como el enlace simple ) para producir el análogo de conjuntos conectados en la preimagen cuando MAPPER se aplica a datos reales. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$

Matemáticamente hablando, MAPPER es una variación del gráfico de Reeb . Si el es como máximo unidimensional, entonces para cada , ^[32] La flexibilidad añadida también tiene desventajas. Un problema es la inestabilidad, ya que cualquier cambio en la elección de la cobertura puede llevar a un cambio importante en la salida del algoritmo. ^[33] Se ha trabajado para superar este problema. ^[28] ${\textstyle M(\mathbb {U} ,f)}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ $${\displaystyle H_{i}(X)\simeq H_{0}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i})\oplus H_{1}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i-1}).}$$

^{En Carlsson et al. [34]} se pueden encontrar tres aplicaciones exitosas de MAPPER. Un comentario sobre las aplicaciones en este artículo de J. Curry es que "una característica común de interés en las aplicaciones es la presencia de llamaradas o zarcillos". ^[35]

Hay disponible en línea una implementación gratuita de MAPPER, escrita por Daniel Müllner y Aravindakshan Babu. MAPPER también constituye la base de la plataforma de inteligencia artificial de Ayasdi.

Persistencia multidimensional

La persistencia multidimensional es importante para el TDA. El concepto surge tanto en la teoría como en la práctica. La primera investigación sobre la persistencia multidimensional se realizó al comienzo del desarrollo del TDA. ^[36] Carlsson-Zomorodian introdujo la teoría de la persistencia multidimensional en ^[37] y, en colaboración con Singh ^[38], introdujo el uso de herramientas del álgebra simbólica (métodos de base de Grobner) para calcular módulos MPH. Su definición presenta la persistencia multidimensional con n parámetros como un módulo graduado sobre un anillo polinomial en n variables. Las herramientas del álgebra conmutativa y homológica se aplican al estudio de la persistencia multidimensional en el trabajo de Harrington-Otter-Schenck-Tillman. ^[39] La primera aplicación que aparece en la literatura es un método para la comparación de formas, similar a la invención del TDA. ^[40] ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

La definición de un módulo de persistencia n -dimensional en es ^[35] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• A cada punto se le asigna un espacio vectorial ${\displaystyle V_{s}}$ ${\displaystyle s=(s_{1},...,s_{n})}$
• El mapa se asigna si ( ${\displaystyle \rho _{s}^{t}:V_{s}\to V_{t}}$ ${\displaystyle s\leq t}$ ${\displaystyle s_{i}\leq t_{i},i=1,...,n)}$
• Los mapas satisfacen a todos ${\displaystyle \rho _{r}^{t}=\rho _{s}^{t}\circ \rho _{r}^{s}}$ ${\displaystyle r\leq s\leq t}$

Tal vez valga la pena señalar que existen controversias sobre la definición de persistencia multidimensional. ^[35]

Una de las ventajas de la persistencia unidimensional es su representabilidad mediante un diagrama o código de barras. Sin embargo, no existen invariantes completos discretos de módulos de persistencia multidimensionales. ^[41] La razón principal de esto es que la estructura de la colección de indecomponibles es extremadamente complicada por el teorema de Gabriel en la teoría de representaciones de quiver, ^[42] aunque un módulo de persistencia n-dim finitamente generado puede descomponerse de manera única en una suma directa de indecomponibles debido al teorema de Krull-Schmidt. ^[43]

No obstante, se han establecido muchos resultados. Carlsson y Zomorodian introdujeron el invariante de rango , definido como , en el que es un módulo n-graduado generado finitamente. En una dimensión, es equivalente al código de barras. En la literatura, el invariante de rango a menudo se conoce como los números de Betti persistentes (PBN). ^[19] En muchos trabajos teóricos, los autores han utilizado una definición más restringida, un análogo de la persistencia del conjunto de subniveles. Específicamente, los números de Betti de persistencia de una función están dados por la función , tomando cada uno a , donde y . ${\displaystyle \rho _{M}(u,v)}$ ${\displaystyle \rho _{M}(u,v)=\mathrm {rank} (x^{u-v}:M_{u}\to M_{v})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \beta _{f}:\Delta ^{+}\to \mathrm {N} }$ ${\displaystyle (u,v)\in \Delta ^{+}}$ ${\displaystyle \beta _{f}(u,v):=\mathrm {rank} (H(X(f\leq u)\to H(X(f\leq v)))}$ ${\displaystyle \Delta ^{+}:=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}:u\leq v\}}$ ${\displaystyle X(f\leq u):=\{x\in X:f(x)\leq u\}}$

Algunas propiedades básicas incluyen monotonía y salto diagonal. ^[44] Los números de Betti persistentes serán finitos si es un subespacio compacto y localmente contráctil de . ^[45] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Utilizando un método de foliación, las PBN k-dim se pueden descomponer en una familia de PBN 1-dim por deducción de dimensionalidad. ^[46] Este método también ha llevado a una prueba de que las PBN multi-dim son estables. ^[47] Las discontinuidades de las PBN solo ocurren en puntos donde o es un punto discontinuo de o es un punto discontinuo de bajo el supuesto de que y es un espacio topológico compacto y triangulable. ^[48] ${\displaystyle (u,v)(u\leq v)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \rho _{M}(\star ,v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \rho (u,\star )}$ ${\displaystyle f\in C^{0}(X,\mathbb {R} ^{k})}$ ${\displaystyle X}$

El espacio persistente, una generalización del diagrama persistente, se define como el multiconjunto de todos los puntos con una multiplicidad mayor que 0 y la diagonal. ^[49] Proporciona una representación estable y completa de las PBN. Un trabajo en curso de Carlsson et al. está tratando de dar una interpretación geométrica de la homología persistente, que podría proporcionar información sobre cómo combinar la teoría del aprendizaje automático con el análisis de datos topológicos. ^[50]

El primer algoritmo práctico para calcular la persistencia multidimensional se inventó muy temprano. ^[51] Después de eso, se propusieron muchos otros algoritmos basados ​​en conceptos como la teoría morse discreta ^[52] y la estimación de muestras finitas. ^[53]

Otras persistencias

El paradigma estándar en TDA se conoce a menudo como persistencia de subnivel . Además de la persistencia multidimensional, se han realizado muchos trabajos para ampliar este caso especial.

Persistencia en zigzag

Los mapas distintos de cero en el módulo de persistencia están restringidos por la relación de preorden en la categoría. Sin embargo, los matemáticos han descubierto que la unanimidad de dirección no es esencial para muchos resultados. "El punto filosófico es que la teoría de descomposición de las representaciones gráficas es en cierta medida independiente de la orientación de los bordes del gráfico". ^[54] La persistencia en zigzag es importante para el aspecto teórico. Los ejemplos dados en el artículo de revisión de Carlsson para ilustrar la importancia de la funcionalidad comparten algunas de sus características. ^[3]

Persistencia extendida y persistencia de conjunto de niveles

Hay algunos intentos de flexibilizar la restricción más estricta de la función. ^[55] Consulte las secciones Categorización y cohaces e Impacto en las matemáticas para obtener más información.

Es natural extender la homología de persistencia a otros conceptos básicos en topología algebraica, como la cohomología y la homología/cohomología relativa. ^[56] Una aplicación interesante es el cálculo de coordenadas circulares para un conjunto de datos a través del primer grupo de cohomología persistente. ^[57]

Persistencia circular

La homología de persistencia normal estudia funciones de valor real. El mapa de valor circular podría ser útil, "la teoría de persistencia para mapas de valor circular promete desempeñar el papel para algunos campos vectoriales como lo hace la teoría de persistencia estándar para campos escalares", como se comentó en Dan Burghelea et al. ^[58] La principal diferencia es que las celdas de Jordan (muy similares en formato a los bloques de Jordan en álgebra lineal) no son triviales en funciones de valor circular, que serían cero en el caso de valores reales, y al combinarlas con códigos de barras se obtienen los invariantes de un mapa sencillo, en condiciones moderadas. ^[58]

Dos técnicas que utilizan son la teoría de Morse-Novikov ^[59] y la teoría de representación gráfica. ^[60] Se pueden encontrar resultados más recientes en D. Burghelea et al. ^[61] Por ejemplo, el requisito de docilidad se puede reemplazar por la condición mucho más débil, continua.

Persistencia con torsión

La prueba del teorema de estructura se basa en que el dominio base es un campo, por lo que no se han hecho muchos intentos de homología de persistencia con torsión. Frosini definió una pseudométrica en este módulo específico y demostró su estabilidad. ^[62] Una de sus novedades es que no depende de ninguna teoría de clasificación para definir la métrica. ^[63]

Categorización y cohaces

Una ventaja de la teoría de categorías es su capacidad de elevar los resultados concretos a un nivel superior, mostrando relaciones entre objetos aparentemente inconexos. Bubenik et al. ^[64] ofrece una breve introducción a la teoría de categorías adaptada al TDA.

La teoría de categorías es el lenguaje del álgebra moderna y se ha utilizado ampliamente en el estudio de la geometría algebraica y la topología. Se ha señalado que "la observación clave de ^[10] es que el diagrama de persistencia producido por ^[8] depende únicamente de la estructura algebraica que lleva este diagrama". ^[65] El uso de la teoría de categorías en el análisis de conjuntos de datos ha demostrado ser fructífero. ^{[64] [65]}

Siguiendo las notaciones hechas en Bubenik et al., ^[65] la categoría de indexación es cualquier conjunto preordenado (no necesariamente o ), la categoría de destino es cualquier categoría (en lugar de la comúnmente utilizada ), y los funtores se denominan módulos de persistencia generalizados en , sobre . ${\textstyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle \mathrm {Vect} _{\mathbb {F} }}$ ${\textstyle P\to D}$ ${\displaystyle D}$ ${\textstyle P}$

Una ventaja de usar la teoría de categorías en TDA es una comprensión más clara de los conceptos y el descubrimiento de nuevas relaciones entre las pruebas. Tomemos dos ejemplos para ilustrar. La comprensión de la correspondencia entre intercalación y emparejamiento es de gran importancia, ya que el emparejamiento ha sido el método utilizado al principio (modificado de la teoría de Morse). Se puede encontrar un resumen de los trabajos en Vin de Silva et al. ^[66] Muchos teoremas se pueden demostrar mucho más fácilmente en un entorno más intuitivo. ^[63] Otro ejemplo es la relación entre la construcción de diferentes complejos a partir de nubes de puntos. Desde hace tiempo se ha observado que los complejos de Čech y Vietoris-Rips están relacionados. Específicamente, . ^[67] La ​​relación esencial entre los complejos de Cech y Rips se puede ver mucho más claramente en el lenguaje categórico. ^[66] ${\displaystyle V_{r}(X)\subset C_{{\sqrt {2}}r}(X)\subset V_{2r}(X)}$

El lenguaje de la teoría de categorías también ayuda a expresar los resultados en términos reconocibles para la comunidad matemática más amplia. La distancia de cuello de botella se utiliza ampliamente en TDA debido a los resultados sobre la estabilidad con respecto a la distancia de cuello de botella. ^{[13] [16]} De hecho, la distancia de entrelazado es el objeto terminal en una categoría de conjunto parcial de métricas estables sobre módulos de persistencia multidimensionales en un campo principal . ^{[63] [68]}

Los haces , un concepto central en la geometría algebraica moderna , están intrínsecamente relacionados con la teoría de categorías. En términos generales, los haces son la herramienta matemática para comprender cómo la información local determina la información global. Justin Curry considera la persistencia de conjuntos de niveles como el estudio de fibras de funciones continuas. Los objetos que estudia son muy similares a los de MAPPER, pero con la teoría de haces como base teórica. ^[35] Aunque todavía no se ha producido ningún avance en la teoría de TDA que haya utilizado la teoría de haces, es prometedora ya que hay muchos teoremas hermosos en la geometría algebraica relacionados con la teoría de haces. Por ejemplo, una pregunta teórica natural es si diferentes métodos de filtración dan como resultado el mismo resultado. ^[69]

Estabilidad

La estabilidad es de importancia central para el análisis de datos, ya que los datos reales contienen ruidos. Mediante el uso de la teoría de categorías, Bubenik et al. han distinguido entre teoremas de estabilidad blandos y duros, y han demostrado que los casos blandos son formales. ^[65] En concreto, el flujo de trabajo general del TDA es

El teorema de estabilidad blanda afirma que Lipschitz es continuo , y el teorema de estabilidad dura afirma que Lipschitz es continuo. ${\displaystyle HF}$ ${\displaystyle J}$

La distancia de cuello de botella se utiliza ampliamente en TDA. El teorema de isometría afirma que la distancia de entrelazado es igual a la distancia de cuello de botella. ^[63] Bubenik et al. han abstraído la definición a aquella entre funtores cuando está equipado con una proyección sublineal o familia superlineal, en la que todavía permanece una pseudometría. ^[65] Considerando los magníficos caracteres de la distancia de entrelazado, ^[70] aquí introducimos la definición general de distancia de entrelazado (en lugar de la primera introducida): ^[13] Sea (una función de a la cual es monótona y satisface para todo ). Un -entrelazado entre F y G consiste en transformaciones naturales y , tales que y . ${\displaystyle d_{I}}$ ${\displaystyle F,G:P\to D}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle \Gamma ,K\in \mathrm {Trans_{P}} }$ ${\textstyle P}$ ${\textstyle P}$ ${\displaystyle x\leq \Gamma (x)}$ ${\textstyle x\in P}$ ${\displaystyle (\Gamma ,K)}$ ${\displaystyle \varphi \colon F\Rightarrow G\Gamma }$ ${\displaystyle \psi :G\Rightarrow FK}$ ${\displaystyle (\psi \Gamma )=\varphi F\eta _{K\Gamma }}$ ${\displaystyle (\varphi \Gamma )=\psi G\eta _{\Gamma K}}$

Los dos resultados principales son ^[65]

• Sea un conjunto preordenado con una proyección sublineal o una familia superlineal. Sea un funtor entre categorías arbitrarias . Entonces, para dos funtores cualesquiera , tenemos . ${\textstyle P}$ ${\textstyle H:D\to E}$ ${\textstyle D,E}$ ${\textstyle F,G:P\to D}$ ${\textstyle d_{I}(HF,HG)\leq d_{I}(F,G)}$
• Sea un conjunto parcial de un espacio métrico , sea un espacio topológico. Y sean funciones (no necesariamente continuas), y sea el diagrama de persistencia correspondiente. Entonces . ${\textstyle P}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle f,g:X\to Y}$ ${\textstyle F,G}$ ${\displaystyle d_{I}(F,G)\leq d_{\infty }(f,g):=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$

Estos dos resultados resumen muchos resultados sobre la estabilidad de diferentes modelos de persistencia.

Para conocer el teorema de estabilidad de la persistencia multidimensional, consulte la subsección de persistencia.

Teorema de estructura

El teorema de estructura es de importancia central para el TDA; como comentó G. Carlsson, "lo que hace que la homología sea útil como discriminador entre espacios topológicos es el hecho de que existe un teorema de clasificación para grupos abelianos finitamente generados". ^[3] (ver el teorema fundamental de grupos abelianos finitamente generados ).

El argumento principal utilizado en la prueba del teorema de estructura original es el teorema de estructura estándar para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal . ^[10] Sin embargo, este argumento falla si el conjunto de indexación es . ^[3] ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$

En general, no todos los módulos de persistencia se pueden descomponer en intervalos. ^[71] Se han hecho muchos intentos de relajar las restricciones del teorema de estructura original. ^{[ aclaración necesaria ]} El caso de los módulos de persistencia de dimensión finita puntuales indexados por un subconjunto localmente finito de se resuelve con base en el trabajo de Webb. ^[72] El resultado más notable lo realizó Crawley-Boevey, que resolvió el caso de . El teorema de Crawley-Boevey establece que cualquier módulo de persistencia de dimensión finita puntual es una suma directa de módulos de intervalo. ^[73] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Para entender la definición de su teorema, es necesario introducir algunos conceptos. Un intervalo en se define como un subconjunto que tiene la propiedad de que si y si existe un tal que , entonces también. Un módulo de intervalo asigna a cada elemento el espacio vectorial y asigna el espacio vectorial cero a los elementos en . Todas las funciones son la función cero, a menos que y , en cuyo caso es la función identidad. ^[35] Los módulos de intervalo son indecomponibles. ^[74] ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r,t\in I}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r\leq s\leq t}$ ${\displaystyle s\in I}$ ${\displaystyle k_{I}}$ ${\displaystyle s\in I}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus I}$ ${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$ ${\displaystyle s,t\in I}$ ${\displaystyle s\leq t}$ ${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$

Aunque el resultado de Crawley-Boevey es un teorema muy poderoso, todavía no se extiende al caso q-domesticado. ^[71] Un módulo de persistencia es q-domesticado si el rango de es finito para todo . Hay ejemplos de módulos de persistencia q-domesticados que no logran ser finitos puntualmente. ^[75] Sin embargo, resulta que un teorema de estructura similar todavía se cumple si se eliminan las características que existen solo en un valor de índice. ^[74] Esto se cumple porque las partes de dimensión infinita en cada valor de índice no persisten, debido a la condición de rango finito. ^[76] Formalmente, la categoría observable se define como , en la que denota la subcategoría completa de cuyos objetos son los módulos efímeros ( siempre que ). ^[74] ${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$ ${\displaystyle s<t}$ ${\displaystyle \mathrm {Ob} }$ ${\displaystyle \mathrm {Pers} /\mathrm {Eph} }$ ${\displaystyle \mathrm {Eph} }$ ${\displaystyle \mathrm {Pers} }$ ${\displaystyle \rho _{s}^{t}=0}$ ${\displaystyle s<t}$

Tenga en cuenta que los resultados extendidos que se enumeran aquí no se aplican a la persistencia en zigzag, ya que el análogo de un módulo de persistencia en zigzag no es inmediatamente obvio. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Estadística

Los datos reales son siempre finitos, por lo que su estudio requiere que tengamos en cuenta la estocasticidad. El análisis estadístico nos da la capacidad de separar las características verdaderas de los datos de los artefactos introducidos por el ruido aleatorio. La homología persistente no tiene un mecanismo inherente para distinguir entre características de baja probabilidad y características de alta probabilidad.

Una forma de aplicar la estadística al análisis de datos topológicos es estudiar las propiedades estadísticas de las características topológicas de las nubes de puntos. El estudio de complejos simpliciales aleatorios ofrece cierta información sobre la topología estadística. K. Turner et al. ^[77] ofrece un resumen de trabajos en este sentido.

Una segunda forma es estudiar las distribuciones de probabilidad en el espacio de persistencia. El espacio de persistencia es , donde es el espacio de todos los códigos de barras que contienen exactamente intervalos y las equivalencias son si . ^[78] Este espacio es bastante complicado; por ejemplo, no está completo bajo la métrica de cuello de botella. El primer intento de estudiarlo es de Y. Mileyko et al. ^[79] El espacio de los diagramas de persistencia en su artículo se define como donde es la línea diagonal en . Una propiedad interesante es que es completo y separable en la métrica de Wasserstein . La expectativa, la varianza y la probabilidad condicional se pueden definir en el sentido de Fréchet . Esto permite que muchas herramientas estadísticas se puedan trasladar a TDA. Los trabajos sobre la prueba de significación de la hipótesis nula , ^[80] intervalos de confianza , ^[81] y estimaciones robustas ^[82] son ​​pasos notables. ${\displaystyle B_{\infty }}$ ${\displaystyle \coprod _{n}B_{n}/{\backsim }}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n},y_{n}]\}\backsim \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n-1},y_{n-1}]\}}$ ${\displaystyle x_{n}=y_{n}}$ ${\displaystyle D_{p}}$ $${\displaystyle D_{p}:=\left\{d\mid \sum _{x\in d}\left(2\inf _{y\in \Delta }\lVert x-y\rVert \right)^{p}<\infty \right\}}$$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D_{p}}$ ${\displaystyle W_{p}(u,v)=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (u,v)}\int _{\mathbb {X} \times \mathbb {X} }\rho ^{p}(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p}}$

Una tercera vía es considerar la cohomología del espacio probabilístico o de los sistemas estadísticos directamente, llamadas estructuras de información y que consisten básicamente en la tripleta ( ), el espacio muestral, las variables aleatorias y las leyes de probabilidad. ^{[83] [84]} Las variables aleatorias se consideran como particiones de las n probabilidades atómicas (vistas como una probabilidad (n-1)-símplex, ) en la red de particiones ( ). Las variables aleatorias o módulos de funciones mensurables proporcionan los complejos de cocadena mientras que el colímite se considera como el álgebra homológica general descubierta por primera vez por Hochschild con una acción izquierda que implementa la acción de condicionamiento. La primera condición de cociclo corresponde a la regla de la cadena de la entropía, permitiendo derivar de forma única hasta la constante multiplicativa, la entropía de Shannon como la primera clase de cohomología. La consideración de una acción izquierda deformada generaliza el marco a las entropías de Tsallis. La cohomología de la información es un ejemplo de topos anillados. La información mutua multivariada k aparece en expresiones de colímites, y su desaparición, relacionada con la condición de cociclo, da condiciones equivalentes para la independencia estadística. ^[85] Los mínimos de información mutua, también llamados sinergia, dan lugar a interesantes configuraciones de independencia análogas a los enlaces homotópicos. Debido a su complejidad combinatoria, solo se ha investigado en datos el subcaso simplicial de la cohomología y de la estructura de la información. Aplicadas a los datos, esas herramientas cohomológicas cuantifican las dependencias e independencias estadísticas, incluidas las cadenas de Markov y la independencia condicional , en el caso multivariado. ^[86] En particular, la información mutua generaliza el coeficiente de correlación y la covarianza a dependencias estadísticas no lineales. Estos enfoques se desarrollaron de forma independiente y solo se relacionaron indirectamente con los métodos de persistencia, pero se pueden entender de forma aproximada en el caso simplicial utilizando el teorema de Hu Kuo Tin que establece una correspondencia uno a uno entre las funciones de información mutua y la función medible finita de un conjunto con operador de intersección, para construir el esqueleto complejo de Čech . La cohomología de la información ofrece cierta interpretación y aplicación directa en términos de neurociencia (teoría del ensamblaje neuronal y cognición cualitativa ^[87] ), física estadística y redes neuronales profundas para las cuales la estructura y el algoritmo de aprendizaje son impuestos por el complejo de variables aleatorias y la regla de la cadena de información. ^[88] ${\displaystyle \Omega ,\Pi ,P}$ ${\displaystyle |\Omega |=n}$ ${\displaystyle \Pi _{n}}$

Los paisajes de persistencia, introducidos por Peter Bubenik, son una forma diferente de representar códigos de barras, más susceptibles al análisis estadístico. ^[89] El paisaje de persistencia de un módulo persistente se define como una función , , donde denota la línea real extendida y . El espacio de paisajes de persistencia es muy bueno: hereda todas las buenas propiedades de la representación de códigos de barras (estabilidad, fácil representación, etc.), pero las cantidades estadísticas se pueden definir fácilmente y se pueden superar algunos problemas en el trabajo de Y. Mileyko et al., como la no unicidad de las expectativas, ^[79] . Hay algoritmos efectivos para el cálculo con paisajes de persistencia disponibles. ^[90] Otro enfoque es utilizar la persistencia revisada, que es la persistencia de imagen, kernel y cokernel. ^[91] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \lambda :\mathbb {N} \times \mathbb {R} \to {\bar {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \lambda (k,t):=\sup(m\geq 0\mid \beta ^{t-m,t-m}\geq k)}$ ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$ ${\displaystyle \beta ^{a,b}=\mathrm {dim} (\mathrm {im} (M(a\leq b)))}$

Aplicaciones

Clasificación de aplicaciones

Existe más de una forma de clasificar las aplicaciones del TDA. Quizás la forma más natural sea por campo. Una lista muy incompleta de aplicaciones exitosas incluye ^[92] esqueletización de datos, ^[93] estudio de formas, ^[94] reconstrucción de grafos, ^{[95] [96] [97] [98] [99]} análisis de imágenes, ^{[100] [101]} materiales, ^{[102] [103]} análisis de progresión de enfermedades, ^{[104] [105]} red de sensores, ^[67] análisis de señales, ^[106] red cósmica, ^[107] red compleja, [ ^{108] [109] [110] [111]} geometría fractal, ^[112] evolución viral, ^[113] propagación de contagios en redes, ^[114] clasificación de bacterias usando espectroscopia molecular, ^[115] microscopía de súper-resolución, ^[116] imágenes hiperespectrales en fisicoquímica, ^[117] teledetección, ^[118] selección de características, ^[119] y señales de alerta temprana de crisis financieras. ^[120]

Otra forma es distinguiendo las técnicas de G. Carlsson, ^[78]

uno es el estudio de invariantes homológicos de datos en conjuntos de datos individuales, y el otro es el uso de invariantes homológicos en el estudio de bases de datos donde los puntos de datos en sí mismos tienen estructura geométrica.

Características del TDA en aplicaciones

Hay varias características interesantes y notables de las aplicaciones recientes de TDA:

1. Combinación de herramientas de varias ramas de las matemáticas . Además de la necesidad obvia de álgebra y topología, las ecuaciones diferenciales parciales, ^[121] geometría algebraica, ^[41] teoría de la representación, ^[54] estadística, combinatoria y geometría de Riemann ^[76] han encontrado uso en TDA.
2. Análisis cuantitativo . La topología se considera muy blanda ya que muchos conceptos son invariantes bajo homotopía. Sin embargo, la topología persistente es capaz de registrar el nacimiento (aparición) y la muerte (desaparición) de las características topológicas, por lo que se incorpora información geométrica adicional. Una evidencia en teoría es un resultado parcialmente positivo sobre la unicidad de la reconstrucción de curvas; ^[122] dos en aplicación son sobre el análisis cuantitativo de la estabilidad de los fulerenos y el análisis cuantitativo de la autosimilitud , por separado. ^{[112] [123]}
3. El papel de la persistencia corta . También se ha descubierto que la persistencia corta es útil, a pesar de la creencia común de que el ruido es la causa de los fenómenos. ^[124] Esto es interesante para la teoría matemática.

Uno de los principales campos del análisis de datos en la actualidad es el aprendizaje automático . Algunos ejemplos de aprendizaje automático en TDA se pueden encontrar en Adcock et al. ^[125] Los vínculos entre TDA y aprendizaje automático se hicieron más pronunciados con el tiempo, culminando en los campos de aprendizaje automático topológico y aprendizaje profundo topológico . Para aplicar herramientas de aprendizaje automático, la información obtenida de TDA debe representarse en forma vectorial. Un intento en curso y prometedor es el paisaje de persistencia discutido anteriormente. Otro intento utiliza el concepto de imágenes de persistencia. ^[126] Sin embargo, un problema de este método es la pérdida de estabilidad, ya que el teorema de estabilidad dura depende de la representación del código de barras.

Impacto en las matemáticas

El análisis de datos topológicos y la homología persistente han tenido impactos en la teoría de Morse . ^[127] La ​​teoría de Morse ha jugado un papel muy importante en la teoría de TDA, incluyendo en la computación. Algunos trabajos en homología persistente han extendido los resultados sobre funciones de Morse a funciones domesticadas o, incluso, a funciones continuas ^{[ cita requerida ]} . Un resultado olvidado de R. Deheuvels mucho antes de la invención de la homología persistente extiende la teoría de Morse a todas las funciones continuas. ^[128]

Un resultado reciente es que la categoría de grafos de Reeb es equivalente a una clase particular de cohaz. ^[129] Esto está motivado por el trabajo teórico en TDA, ya que el grafo de Reeb está relacionado con la teoría de Morse y MAPPER se deriva de ella. La prueba de este teorema se basa en la distancia de entrelazado.

La homología persistente está estrechamente relacionada con las secuencias espectrales . ^{[130] [131]} En particular, el algoritmo que lleva un complejo filtrado a su forma canónica ^[11] permite un cálculo mucho más rápido de las secuencias espectrales que el procedimiento estándar de cálculo de grupos página por página. La persistencia en zigzag puede resultar de importancia teórica para las secuencias espectrales. ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$

DONUT: Una base de datos de aplicaciones TDA

La base de datos de usos originales y no teóricos de la topología (DONUT, por sus siglas en inglés) es una base de datos de artículos académicos que presentan aplicaciones prácticas del análisis de datos topológicos en diversas áreas de la ciencia. DONUT fue iniciada en 2017 por Barbara Giunti, Janis Lazovskis y Bastian Rieck, ^[132] y, a octubre de 2023, contiene actualmente 447 artículos. ^[133] DONUT apareció en la edición de noviembre de 2023 de Notices of the American Mathematical Society . ^[134]

Véase también

• Reducción de dimensionalidad
• Minería de datos
• Visión por computadora
• Topología computacional
• Teoría de Morse discreta
• Análisis de formas (geometría digital)
• Teoría del tamaño
• Topología algebraica

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Lectura adicional

Breves introducciones

• Lesnick, Michael (2013). "Estudio de la forma de los datos mediante topología". Instituto de Estudios Avanzados.
• Material de referencia para el análisis de datos topológicos de Mikael Vejdemo-Johansson

Monografía

• Oudot, Steve Y. (2015). Teoría de la persistencia: de las representaciones de Quiver al análisis de datos. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-2545-6.

Libros de texto sobre topología

• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.Disponible para descargar
• Edelsbrunner, Herbert; Harer, John (2010). Topología computacional: una introducción. Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 9780821849255.
• Topología elemental aplicada, por Robert Ghrist

Enlaces externos

• Base de datos de usos originales y no teóricos de la topología (DONUT)

Conferencias en video

• Introducción a la homología persistente y la topología para el análisis de datos, por Matthew Wright
• La forma de los datos, por Gunnar Carlsson

Otros recursos de TDA

• Topología aplicada, por Stanford
• Red de investigación en topología algebraica aplicada Archivado el 31 de enero de 2016 en Wayback Machine , por el Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones