Complejo nervioso

Construcción del nervio de una buena cubierta abierta conteniendo 3 conjuntos en el plano.

En topología , el complejo nervioso de una familia de conjuntos es un complejo abstracto que registra el patrón de intersecciones entre los conjuntos de la familia. Fue introducido por Pavel Alexandrov ^[1] y ahora tiene muchas variantes y generalizaciones, entre ellas el nervio de Čech de una cubierta, que a su vez se generaliza mediante hipercubiertas . Captura muchas de las propiedades topológicas interesantes de forma algorítmica o combinatoria. ^[2]

Definición básica

Sea un conjunto de índices y una familia de conjuntos . El nervio de es un conjunto de subconjuntos finitos del conjunto de índices . Contiene todos los subconjuntos finitos tales que la intersección de cuyos subíndices están en no está vacía: ^{[3] : 81} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J\subseteq I}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle J}$

${\displaystyle N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.}$

En la definición original de Alexandrov, los conjuntos son subconjuntos abiertos de algún espacio topológico . ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

El conjunto puede contener singletons (elementos tales que no está vacío), pares (pares de elementos tales que ), tripletes, etc. Si , entonces cualquier subconjunto de también está en , lo que forma un complejo simplicial abstracto . Por lo tanto, a N(C) se le suele llamar complejo nervioso de . ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i,j\in I}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$ ${\displaystyle J\in N(C)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle C}$

Ejemplos

1. Sea X el círculo y , donde es un arco que cubre la mitad superior de y es un arco que cubre su mitad inferior, con cierta superposición en ambos lados (deben superponerse en ambos lados para cubrir todo ). Entonces , que es un 1-símplex abstracto. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2}\}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}$
2. Sea X el círculo y , donde cada uno es un arco que cubre un tercio de , con cierta superposición con el adyacente . Entonces . Nótese que {1,2,3} no está en ya que la intersección común de los tres conjuntos está vacía; por lo tanto, es un triángulo sin relleno. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle N(C)}$

El nervio checo

Dada una cubierta abierta de un espacio topológico , o más generalmente una cubierta en un sitio , podemos considerar los productos de fibras por pares , que en el caso de un espacio topológico son precisamente las intersecciones . La colección de todas esas intersecciones se puede denominar como y las intersecciones triples como . ${\displaystyle C=\{U_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle C\times _{X}C}$ ${\displaystyle C\times _{X}C\times _{X}C}$

Considerando los mapas naturales y , podemos construir un objeto simplicial definido por , producto de fibras n-pliegues. Este es el nervio de Čech. ^[4] ${\displaystyle U_{ij}\to U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\to U_{ii}}$ ${\displaystyle S(C)_{\bullet }}$ ${\displaystyle S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C}$

Tomando componentes conexos obtenemos un conjunto simple , que podemos realizar topológicamente: . ${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$

Teoremas de los nervios

El complejo nervioso es un objeto combinatorio simple. A menudo, es mucho más simple que el espacio topológico subyacente (la unión de los conjuntos en ). Por lo tanto, una pregunta natural es si la topología de es equivalente a la topología de . ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle \bigcup C}$

En general, no tiene por qué ser así. Por ejemplo, se puede cubrir cualquier n -esfera con dos conjuntos contráctiles y que tengan una intersección no vacía, como en el ejemplo 1 anterior. En este caso, es un 1-símplex abstracto, que es similar a una línea pero no a una esfera. ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle N(C)}$

Sin embargo, en algunos casos sí refleja la topología de X. Por ejemplo, si un círculo está cubierto por tres arcos abiertos, que se intersecan en pares como en el Ejemplo 2 anterior, entonces es un 2-símplex (sin su interior) y es homotópicamente equivalente al círculo original. ^[5] ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle N(C)}$

Un teorema de nervio (o lema de nervio ) es un teorema que da condiciones suficientes sobre C garantizando que refleja, en cierto sentido, la topología de . Un teorema de nervio funcional es un teorema de nervio que es funcional en un sentido apropiado, lo que es, por ejemplo, crucial en el análisis de datos topológicos . ^[6] ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle \bigcup C}$

Teorema del nervio de Leray

El teorema básico del nervio de Jean Leray dice que, si cualquier intersección de conjuntos en es contráctil (equivalentemente: para cada finito el conjunto es vacío o contráctil; equivalentemente: C es una buena cubierta abierta ), entonces es homotópicamente equivalente a . ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$ ${\displaystyle N(C)}$ ${\displaystyle \bigcup C}$

Teorema del nervio de Borsuk

Existe una versión discreta, que se atribuye a Borsuk . ^{[7] [3] : 81, Teoría 4.4.4} Sean K ₁ ,...,K _n complejos simpliciales abstractos , y denotemos su unión por K . Sea U _i = || K _i || = la realización geométrica de K _i , y denotemos el nervio de { U ₁ , ... , U _n } por N .

Si, para cada no vacío , la intersección es vacía o contráctil, entonces N es homotópicamente equivalente a K. ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Un teorema más fuerte fue demostrado por Anders Bjorner ^[8] . Si, para cada no vacío , la intersección es vacía o (k-|J|+1)-conexa , entonces para cada j ≤ k , el j -ésimo grupo de homotopía de N es isomorfo al j -ésimo grupo de homotopía de K. En particular, N es k -conexo si-y-solo-si K es k -conexo. ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Teorema del nervio ciático

Otro teorema del nervio se relaciona con el nervio de Čech mencionado anteriormente: si es compacto y todas las intersecciones de conjuntos en C son contráctiles o vacías, entonces el espacio es homotópicamente equivalente a . ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$ ${\displaystyle X}$

Teorema del nervio homológico

El siguiente teorema del nervio utiliza los grupos de homología de las intersecciones de conjuntos en la cubierta. ^[10] Para cada finito , denote el j -ésimo grupo de homología reducido de . ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=}$ ${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Si H _J,j es el grupo trivial para todo J en el k -esqueleto de N( C ) y para todo j en {0, ..., k -dim( J )}, entonces N( C ) es "homológicamente equivalente" a X en el siguiente sentido:

• ${\displaystyle {\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)}$para todos los j en {0, ..., k };
• si entonces . ${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0}$

Véase también

• Hipercobertura

Referencias

1. Alexandroff, PS (1928). "Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung". Annalen Matemáticas . 98 : 617–635. doi :10.1007/BF01451612. S2CID  119590045.
2. Eilenberg, Samuel ; Steenrod, Norman (31 de diciembre de 1952). Fundamentos de la topología algebraica . Princeton: Princeton University Press . doi :10.1515/9781400877492. ISBN 978-1-4008-7749-2.
3. Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3
4. "Nervio Čech en nLab". ncatlab.org . Consultado el 7 de agosto de 2020 .
5. Artin, Michael ; Mazur, Barry (1969). Homotopía ética . Apuntes de clase sobre matemáticas . Vol. 100. doi :10.1007/bfb0080957. ISBN. 978-3-540-04619-6. ISSN  0075-8434.
6. Bauer, Ulrich; Kerber, Michael; Roll, Fabian; Rolle, Alexander (2023). "Una visión unificada del teorema del nervio funcional y sus variaciones". Expositiones Mathematicae . arXiv : 2203.03571 . doi :10.1016/j.exmath.2023.04.005.
7. Borsuk, Karol (1948). "Sobre la incrustación de sistemas de compacta en complejos simpliciales". Fundamenta Mathematicae . 35 (1): 217–234. doi : 10.4064/fm-35-1-217-234 . ISSN  0016-2736.
8. Björner, Anders (1 de abril de 2003). "Nervios, fibras y grupos de homotopía". Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 102 (1): 88–93. doi : 10.1016/S0097-3165(03)00015-3 . ISSN  0097-3165.
9. Teorema del nervio en el laboratorio n
10. Meshulam, Roy (1 de enero de 2001). "El complejo de camarillas y la correspondencia de hipergrafos". Combinatorica . 21 (1): 89–94. doi :10.1007/s004930170006. ISSN  1439-6912. S2CID  207006642.