Teorema de Gabriel

Clasifica carcajs (multigrafos) de tipo finito en términos de diagramas de Dynkin.

En matemáticas , el teorema de Gabriel , demostrado por Pierre Gabriel , clasifica las aljabas de tipo finito en términos de diagramas de Dynkin .

Declaración

Un carcaj es de tipo finito si tiene sólo un número finito de clases de isomorfismo de representaciones indecomponibles. Gabriel (1972) clasificó todos los carcajs de tipo finito, y también sus representaciones indecomponibles. Más precisamente, el teorema de Gabriel establece que:

1. Un carcaj ( conectado ) es de tipo finito si y sólo si su gráfico subyacente (cuando se ignoran las direcciones de las flechas) es uno de los diagramas ADE Dynkin : , , , , . ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{7}}$ ${\displaystyle E_{8}}$
2. Las representaciones indecomponibles están en correspondencia uno a uno con las raíces positivas del sistema de raíces del diagrama de Dynkin.

Dlab y Ringel (1973) encontraron una generalización del teorema de Gabriel en la que aparecen todos los diagramas de Dynkin de álgebras de Lie semisimples de dimensión finita . Victor Kac extendió estos resultados a todos los quivers, no sólo del tipo Dynkin, relacionando sus representaciones indecomponibles con las raíces de las álgebras de Kac–Moody .

Referencias

• Bernšteĭn, IN; Gelfand, IM; Ponomarev, VA (1973), "Functores de Coxeter y teorema de Gabriel", Russian Mathematical Surveys , 28 (2): 17–32, Bibcode :1973RuMaS..28...17B, CiteSeerX  10.1.1.642.2527 , doi :10.1070/RM1973v028n02ABEH001526, ISSN  0042-1316, SEÑOR  0393065, S2CID  250762677
• Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1973), Sobre álgebras de tipo de representación finito, Carleton mathematics conference notes, vol. 2, Departamento de Matemáticas, Carleton Univ., Ottawa, Ont., MR  0347907
• Gabriel, Peter (1972), "Unzerlegbare Darstellungen. I", Manuscripta Mathematica , 6 : 71–103, doi :10.1007/BF01298413, ISSN  0025-2611, MR  0332887, S2CID  119425731
• Victor Kac, "Sistemas de raíces, representaciones de quivers y teoría de invariantes" . Teoría de invariantes (Montecatini, 1982) , pp. 74-108, Lecture Notes in Math. 996, Springer-Verlag, Berlín 1983. ISBN 3-540-12319-9. ^[1]

1. Gherardelli, Francesco; Centro Internazionale Matematico Estivo, eds. (1983). Teoría invariante: actas de la 1.ª sesión de 1982 del Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME), celebrada en Montecatini, Italia, del 10 al 18 de junio de 1982 . Apuntes de clases de matemáticas. Berlín Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-12319-4.