Teoría de la multiplicidad

En álgebra abstracta, la teoría de la multiplicidad se ocupa de la multiplicidad de un módulo M en un ideal I (a menudo un ideal máximo).

${\displaystyle \mathbf {e} _{I}(M).}$

La noción de multiplicidad de un módulo es una generalización del grado de una variedad proyectiva . Mediante la fórmula de intersección de Serre, se vincula a una multiplicidad de intersección en la teoría de intersecciones .

El objetivo principal de la teoría es detectar y medir un punto singular de variedad algebraica (cf. resolución de singularidades ). Debido a este aspecto, la teoría de valoración , las álgebras de Rees y el cierre integral están íntimamente conectados con la teoría de multiplicidad.

Multiplicidad de un módulo

Sea R un anillo graduado positivamente tal que R se genera finitamente como una R ₀ -álgebra y R ₀ es artiniana . Nótese que R tiene dimensión de Krull finita d . Sea M un R -módulo generado finitamente y F _M ( t ) su serie de Hilbert–Poincaré . Esta serie es una función racional de la forma

${\displaystyle {\frac {P(t)}{(1-t)^{d}}},}$

donde es un polinomio. Por definición, la multiplicidad de M es ${\displaystyle P(t)}$

${\displaystyle \mathbf {e} (M)=P(1).}$

La serie podría ser reescrita

${\displaystyle F(t)=\sum _{1}^{d}{a_{d-i} \over (1-t)^{d}}+r(t).}$

donde r ( t ) es un polinomio. Nótese que son los coeficientes del polinomio de Hilbert de M desarrollados en coeficientes binomiales. Tenemos ${\displaystyle a_{d-i}}$

${\displaystyle \mathbf {e} (M)=a_{0}.}$

Como las series de Hilbert-Poincaré son aditivas en secuencias exactas, la multiplicidad es aditiva en secuencias exactas de módulos de la misma dimensión.

El siguiente teorema, debido a Christer Lech, da límites a priori para la multiplicidad. ^{[1] [2]}

Lech  —  Supongamos que R es local con un ideal máximo . Si un I es un ideal primario, entonces ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle e(I)\leq d!\deg(R)\lambda (R/{\overline {I}}).}$

Véase también

• Teoría de la dimensión (álgebra)
• j-multiplicidad
• Multiplicidad de Hilbert-Samuel
• Función de Hilbert-Kunz
• Anillo normalmente plano

Referencias

1. Vasconcelos, Wolmer (30 de marzo de 2006). Cierre integral: álgebras de Rees, multiplicidades, algoritmos. Springer Science & Business Media. pág. 129. ISBN 9783540265030.
2. Lech, C. (1960). "Nota sobre la multiplicidad de ideales". Arkiv för Matematik . 4 (1): 63–86. Código Bib : 1960ArM.....4...63L. doi : 10.1007/BF02591323 .