cohomología checa

Un triángulo de Penrose representa un elemento no trivial de la primera cohomología de un anillo con valores en el grupo de distancias del observador ^[1]

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , la cohomología de Čech es una teoría de cohomología basada en las propiedades de intersección de cubiertas abiertas de un espacio topológico . Lleva el nombre del matemático Eduard Čech .

Motivación

Sea X un espacio topológico y sea una cubierta abierta de X . Denotemos el nervio de la cubierta. La idea de la cohomología de Čech es que, para una cubierta abierta que consta de conjuntos abiertos suficientemente pequeños, el complejo simplicial resultante debería ser un buen modelo combinatorio para el espacio X. Para tal cobertura, la cohomología de Čech de X se define como la cohomología simple del nervio. Esta idea puede formalizarse mediante la noción de buena portada . Sin embargo, un enfoque más general es tomar el límite directo de los grupos de cohomología del nervio sobre el sistema de todas las posibles cubiertas abiertas de X , ordenadas por refinamiento . Este es el enfoque adoptado a continuación. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle N({\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle N({\mathcal {U}})}$

Construcción

Sea X un espacio topológico y un prehaz de grupos abelianos en X. Sea una tapa abierta de X . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

simplex

Un q - simplex σ de es una colección ordenada de q +1 conjuntos elegidos de , tal que la intersección de todos estos conjuntos no está vacía. Esta intersección se llama soporte de σ y se denota |σ|. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Ahora sea un q -simplex. El j-ésimo límite parcial de σ se define como el ( q −1) -símplex obtenido eliminando el j -ésimo conjunto de σ, es decir: ${\displaystyle \sigma =(U_{i})_{i\in \{0,\ldots ,q\}}}$

${\displaystyle \partial _{j}\sigma :=(U_{i})_{i\in \{0,\ldots ,q\}\setminus \{j\}}.}$

El límite de σ se define como la suma alterna de los límites parciales:

${\displaystyle \partial \sigma :=\sum _{j=0}^{q}(-1)^{j+1}\partial _{j}\sigma }$

visto como un elemento del grupo abeliano libre abarcado por los simples de . ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

cocadena

Una q - cocadena de con coeficientes en es un mapa que asocia con cada q -simplex σ un elemento de , y denotamos el conjunto de todas las q -cocadenas de con coeficientes en por . es un grupo abeliano por suma puntual. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\sigma |)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

Diferencial

Los grupos de cocadenas se pueden convertir en un complejo de cocadenas definiendo el operador colímite mediante: ${\displaystyle (C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta )}$ ${\displaystyle \delta _{q}:C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to C^{q+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle \quad (\delta _{q}f)(\sigma ):=\sum _{j=0}^{q+1}(-1)^{j}\mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}f(\partial _{j}\sigma ),}$

¿Dónde está el morfismo de restricción de a (Observe que ∂ _j σ ⊆ σ, pero |σ| ⊆ |∂ _j σ|.) ${\displaystyle \mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\partial _{j}\sigma |)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(|\sigma |).}$

Un cálculo muestra que ${\displaystyle \delta _{q+1}\circ \delta _{q}=0.}$

El operador colímite es análogo a la derivada exterior de la cohomología de De Rham , por lo que a veces se le llama diferencial del complejo cocadena .

ciclo

Una q -cocadena se llama q -cociclo si está en el núcleo de , por lo tanto, es el conjunto de todos los q -cociclos. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle Z^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=\ker(\delta _{q})\subseteq C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

Por lo tanto, una ( q −1)-cocadena es un cociclo si para todo q -simplifica la condición del cociclo ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{q}(-1)^{j}\mathrm {res} _{|\sigma |}^{|\partial _{j}\sigma |}f(\partial _{j}\sigma )=0}$

sostiene.

Un cociclo 0 es una colección de secciones locales que satisfacen una relación de compatibilidad en cada intersección. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle f(A)|_{A\cap B}=f(B)|_{A\cap B}}$

Un 1-cociclo satisface por cada no vacío con ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U=A\cap B\cap C}$ ${\displaystyle A,B,C\in {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle f(B\cap C)|_{U}-f(A\cap C)|_{U}+f(A\cap B)|_{U}=0}$

Colímite

Una q -cocadena se llama q -colímite si es la imagen de y es el conjunto de todos los q -colímites. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle B^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=\mathrm {Im} (\delta _{q-1})\subseteq C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

Por ejemplo, una cocadena 1 es un colímite 1 si existe una cocadena 0 tal que por cada intersección ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {U}}}$

${\displaystyle f(A\cap B)=h(A)|_{A\cap B}-h(B)|_{A\cap B}}$

Cohomología

La cohomología de Čech con valores en se define como la cohomología del complejo cochain . Así, la cohomología q -ésima de Čech está dada por ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta )}$

${\displaystyle {\check {H}}^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}):=H^{q}((C^{\bullet }({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta ))=Z^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})/B^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$.

La cohomología de Čech de X se define considerando refinamientos de cubiertas abiertas. Si es un refinamiento de entonces hay un mapa en cohomología. Las cubiertas abiertas de X forman un conjunto dirigido bajo refinamiento, por lo que el mapa anterior conduce a un sistema directo de grupos abelianos. La cohomología de Čech de X con valores en se define como el límite directo de este sistema. ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to {\check {H}}^{*}({\mathcal {V}},{\mathcal {F}}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\check {H}}(X,{\mathcal {F}}):=\varinjlim _{\mathcal {U}}{\check {H}}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

La cohomología de Čech de X con coeficientes en un grupo abeliano fijo A , denotado , se define como dónde está la gavilla constante en X determinada por A. ${\displaystyle {\check {H}}(X;A)}$ ${\displaystyle {\check {H}}(X,{\mathcal {F}}_{A})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{A}}$

Una variante de la cohomología de Čech, llamada cohomología de Čech numerable , se define como anteriormente, excepto que se requiere que todas las cubiertas abiertas consideradas sean numerables : es decir, hay una partición de unidad {ρ _i } tal que cada soporte está contenido en algún elemento de la cubierta. Si X es paracompacto y Hausdorff , entonces la cohomología de Čech numerable concuerda con la cohomología de Čech habitual. ${\displaystyle \{x\mid \rho _{i}(x)>0\}}$

Relación con otras teorías de cohomología

Si X es equivalente en homotopía a un complejo CW , entonces la cohomología de Čech es naturalmente isomorfa a la cohomología singular . Si X es una variedad diferenciable , entonces también es naturalmente isomorfa a la cohomología de De Rham ; el artículo sobre cohomología de De Rham proporciona una breve revisión de este isomorfismo. Para espacios con peor comportamiento, la cohomología Čech se diferencia de la cohomología singular. Por ejemplo, si X es la curva sinusoidal del topólogo cerrado , entonces mientras que ${\displaystyle {\check {H}}^{*}(X;A)}$ ${\displaystyle H^{*}(X;A)\,}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.}$

Si X es una variedad diferenciable y la cobertura de X es una "buena cobertura" ( es decir, todos los conjuntos U _α son contráctiles hasta un punto, y todas las intersecciones finitas de conjuntos en son vacías o contráctiles hasta un punto), entonces es isomorfo a la cohomología de De Rham. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{*}({\mathcal {U}};\mathbb {R} )}$

Si X es Hausdorff compacto, entonces la cohomología de Čech (con coeficientes en un grupo discreto) es isomorfa a la cohomología de Alexander-Spanier .

Para una pregavilla en X , denotemos su gavilla . Entonces tenemos un mapa de comparación natural. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{+}}$

${\displaystyle \chi :{\check {H}}^{*}(X,{\mathcal {F}})\to H^{*}(X,{\mathcal {F}}^{+})}$

de la cohomología de Čech a la cohomología de gavilla . Si X es Hausdorff paracompacto, entonces es un isomorfismo. De manera más general, es un isomorfismo siempre que la cohomología de Čech de todos los presheaves en X con cero sheafificación desaparece. ^[2] ${\textstyle \chi }$ ${\textstyle \chi }$

En geometría algebraica

La cohomología de Čech se puede definir de manera más general para objetos en un sitio C dotado de una topología. Esto se aplica , por ejemplo, al sitio de Zariski o al sitio de etale de un esquema X. La cohomología de Čech con valores en alguna gavilla se define como ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\check {H}}^{n}(X,{\mathcal {F}}):=\varinjlim _{\mathcal {U}}{\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}).}$

donde el colimit recorre todas las coberturas (con respecto a la topología elegida) de X . Aquí se define como arriba, excepto que las intersecciones de r pliegues de subconjuntos abiertos dentro del espacio topológico ambiental se reemplazan por el producto de fibra de r pliegues . ${\displaystyle {\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$

${\displaystyle {\mathcal {U}}^{\times _{X}^{r}}:={\mathcal {U}}\times _{X}\dots \times _{X}{\mathcal {U}}.}$

Como en la situación clásica de los espacios topológicos, siempre hay un mapa.

${\displaystyle {\check {H}}^{n}(X,{\mathcal {F}})\rightarrow H^{n}(X,{\mathcal {F}})}$

de la cohomología de Čech a la cohomología de gavilla. Siempre es un isomorfismo en grados n = 0 y 1, pero puede no serlo en general. Para la topología de Zariski en un esquema separado noetheriano , la cohomología de Čech y la gavilla coinciden para cualquier gavilla cuasi coherente . Para la topología étale , las dos cohomologías concuerdan para cualquier haz étale en X , siempre que cualquier conjunto finito de puntos de X esté contenido en algún subesquema afín abierto. Esto se cumple, por ejemplo, si X es cuasiproyectivo sobre un esquema afín . ^[3]

La posible diferencia entre la cohomología de Čech y la cohomología de la gavilla es una motivación para el uso de hipercoberturas : son objetos más generales que el nervio de Čech.

${\displaystyle N_{X}{\mathcal {U}}:\dots \to {\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\to {\mathcal {U}}\times _{X}{\mathcal {U}}\to {\mathcal {U}}.}$

Una hipercobertura K _∗ de X es un cierto objeto simplicial en C , es decir, una colección de objetos K _n junto con mapas de límites y degeneración. Aplicando una gavilla a K _∗ se obtiene un grupo abeliano simplicial cuyo n -ésimo grupo de cohomología se denota . (Este grupo es el mismo que en el caso de que K _∗ sea igual a .) Entonces, se puede demostrar que existe un isomorfismo canónico ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\textstyle {\mathcal {F}}(K_{\ast })}$ ${\textstyle H^{n}({\mathcal {F}}(K_{\ast }))}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{n}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle N_{X}{\mathcal {U}}}$

${\displaystyle H^{n}(X,{\mathcal {F}})\cong \varinjlim _{K_{*}}H^{n}({\mathcal {F}}(K_{*})),}$

donde el colimit ahora recorre todas las hipercoberturas. ^[4]

Ejemplos

El ejemplo más básico de cohomología de Čech lo da el caso en el que la prehaz es una gavilla constante , p . En tales casos, cada -cochain es simplemente una función que asigna cada -simplex a . Por ejemplo, calculamos la primera cohomología de Čech con valores en del círculo unitario . Dividiendo en tres arcos y eligiendo barrios abiertos suficientemente pequeños, obtenemos una cubierta abierta donde pero . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X=S^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{0},U_{1},U_{2}\}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \phi }$ ${\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap U_{2}=\phi }$

Dado cualquier 1-cociclo , es una 2-cocadena que toma entradas de la forma donde (ya que y por lo tanto no es un 2-símplex para ninguna permutación ). Las primeras tres entradas dan ; el cuarto da ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \delta f}$ ${\displaystyle (U_{i},U_{i},U_{i}),(U_{i},U_{i},U_{j}),(U_{j},U_{i},U_{i}),(U_{i},U_{j},U_{i})}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap U_{2}=\phi }$ ${\displaystyle (U_{i},U_{j},U_{k})}$ ${\displaystyle \{i,j,k\}=\{1,2,3\}}$ ${\displaystyle f(U_{i},U_{i})=0}$

${\displaystyle \delta f(U_{i},U_{j},U_{i})=f(U_{j},U_{i})-f(U_{i},U_{i})+f(U_{i},U_{j})=0\implies f(U_{j},U_{i})=-f(U_{i},U_{j}).}$

Tal función está completamente determinada por los valores de . De este modo, ${\displaystyle f(U_{0},U_{1}),f(U_{0},U_{2}),f(U_{1},U_{2})}$

${\displaystyle Z^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )=\{f\in C^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} ):f(U_{i},U_{i})=0,f(U_{j},U_{i})=-f(U_{i},U_{j})\}\cong \mathbb {R} ^{3}.}$

Por otro lado, dado cualquier 1-colímite , tenemos ${\displaystyle f=\delta g}$

${\displaystyle {\begin{cases}f(U_{i},U_{i})=g(U_{i})-g(U_{i})=0&(i=0,1,2);\\f(U_{i},U_{j})=g(U_{j})-g(U_{i})=-f(U_{j},U_{i})&(i\neq j)\end{cases}}}$

Sin embargo, tras una inspección más cercana vemos que, por lo tanto, cada 1-colímite está determinado de forma única por y . Esto da el conjunto de 1-colímites: ${\displaystyle f(U_{0},U_{1})+f(U_{1},U_{2})=f(U_{0},U_{2})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(U_{0},U_{1})}$ ${\displaystyle f(U_{1},U_{2})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )=\{f\in C^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} ):\ &f(U_{i},U_{i})=0,f(U_{j},U_{i})=-f(U_{i},U_{j}),\\&f(U_{0},U_{2})=f(U_{0},U_{1})+f(U_{1},U_{2})\}\cong \mathbb {R} ^{2}.\end{aligned}}}$

Por lo tanto, . Como es una buena cobertura de , tenemos por el teorema de Leray . ${\displaystyle {\check {H}}^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )=Z^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )/B^{1}({\mathcal {U}},\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\check {H}}^{1}(X,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} }$

También podemos calcular la cohomología de la gavilla coherente en la línea proyectiva utilizando el complejo de Čech. Usando la cubierta ${\displaystyle \Omega ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}}$

${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{1}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [y]),U_{2}={\text{Spec}}(\mathbb {C} [y^{-1}])\}}$

tenemos los siguientes módulos de la gavilla cotangente

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Omega ^{1}(U_{1})=\mathbb {C} [y]dy\\&\Omega ^{1}(U_{2})=\mathbb {C} \left[y^{-1}\right]dy^{-1}\end{aligned}}}$

Si tomamos las convenciones entonces obtenemos el complejo de Čech ${\displaystyle dy^{-1}=-(1/y^{2})dy}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} [y]dy\oplus \mathbb {C} \left[y^{-1}\right]dy^{-1}{\xrightarrow {d^{0}}}\mathbb {C} \left[y,y^{-1}\right]dy\to 0}$

Dado que es inyectivo y el único elemento que no está en la imagen de es obtenemos eso ${\displaystyle d^{0}}$ ${\displaystyle d^{0}}$ ${\displaystyle y^{-1}dy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&H^{1}(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1},\Omega ^{1})\cong \mathbb {C} \\&H^{k}(\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1},\Omega ^{1})\cong 0{\text{ for }}k\neq 1\end{aligned}}}$

Referencias

Notas al pie de citas

1. Penrose, Roger (1992), "Sobre la cohomología de figuras imposibles", Leonardo , 25 (3/4): 245–247, doi :10.2307/1575844, JSTOR  1575844, S2CID  125905129. Reimpreso de Penrose, Roger (1991), "On the Cohomology of Impossible Figures / La Cohomologie des Figures Impossibles", Structural Topology , 17 : 11-16 , consultado el 16 de enero de 2014.
2. Brady, Zaratustra. "Notas sobre cohomología de la gavilla" (PDF) . pag. 11. Archivado (PDF) desde el original el 17 de junio de 2022.
3. Milne, James S. (1980), "Sección III.2, Teorema 2.17", Étale cohomología, Princeton Mathematical Series, vol. 33, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-08238-7, SEÑOR  0559531
4. Artín, Michael ; Mazur, Barry (1969), "Lema 8.6", Etale homotopy , Lecture Notes in Mathematics, vol. 100, Springer, pág. 98, ISBN 978-3-540-36142-8

Referencias generales

• Bott, Raúl ; Loring Tu (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Saltador. ISBN 0-387-90613-4.
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (PDF) . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-79540-0.
• Pozos, Raymond (1980). "2. Teoría de la gavilla: Apéndice A. Cohomología de Cech con coeficientes en una gavilla". Análisis diferencial de variedades complejas . Saltador. págs. 63–64. doi :10.1007/978-1-4757-3946-6_2. ISBN 978-3-540-90419-9.