En matemáticas , una cubierta abierta de un espacio topológico es una familia de subconjuntos abiertos tal que es la unión de todos los conjuntos abiertos. Una buena cobertura es una cobertura abierta en la que todos los conjuntos y todas las intersecciones no vacías de un número finito de conjuntos son contráctiles (Petersen 2006).
El concepto fue introducido por André Weil en 1952 para variedades diferenciables , exigiendo que fueran diferenciablemente contráctiles. Una versión moderna de esta definición aparece en Bott y Tu (1982).
Una razón importante para la noción de una buena cobertura es que la secuencia espectral de Leray de un haz de fibras degenera para una buena cobertura, por lo que la cohomología de Čech asociada con una buena cobertura es la misma que la cohomología de Čech del espacio. (Esta cobertura se conoce como cobertura de Leray ). Sin embargo, para calcular la cohomología de Čech es suficiente tener una definición más relajada de una buena cobertura en la que todas las intersecciones de un número finito de conjuntos abiertos tengan componentes conectados contraíbles. Esto se desprende del hecho de que los functores derivados superiores se pueden calcular utilizando resoluciones acíclicas .
La superficie bidimensional de una esfera tiene una cubierta abierta por dos conjuntos contráctiles, vecindades abiertas de hemisferios opuestos. Sin embargo estos dos conjuntos tienen una intersección que forma una banda ecuatorial no contráctil. Para formar una buena cobertura para esta superficie, se necesitan al menos cuatro conjuntos abiertos. Se puede formar una buena cubierta proyectando las caras de un tetraedro sobre una esfera en la que está inscrito y tomando una vecindad abierta de cada cara. La definición más relajada de una buena cobertura nos permite hacer esto usando sólo tres conjuntos abiertos. Se puede formar una cubierta eligiendo dos puntos diametralmente opuestos en la esfera, dibujando tres segmentos que no se intersectan en la esfera que los conecta y tomando vecindades abiertas de las caras resultantes.
