Portada de Leray

En matemáticas , una cobertura de Leray es una cobertura de un espacio topológico que permite calcular fácilmente su cohomología . Estas coberturas reciben su nombre de Jean Leray .

La cohomología de haces mide el grado en el que una secuencia localmente exacta en un espacio topológico fijo, por ejemplo la secuencia de de Rham , no es globalmente exacta. Su definición, utilizando funtores derivados , es razonablemente natural, aunque técnica. Además, propiedades importantes, como la existencia de una secuencia larga exacta en cohomología correspondiente a cualquier secuencia corta exacta de haces , se deducen directamente de la definición. Sin embargo, es virtualmente imposible calcularla a partir de la definición. Por otro lado, la cohomología de Čech con respecto a una cubierta abierta es adecuada para el cálculo, pero de utilidad limitada porque depende de la cubierta abierta elegida, no solo de los haces y el espacio. Al tomar un límite directo de la cohomología de Čech sobre cubiertas arbitrariamente finas, obtenemos una teoría de cohomología de Čech que no depende de la cubierta abierta elegida. En circunstancias razonables (por ejemplo, si el espacio topológico es paracompacto ), la cohomología del funtor derivada concuerda con esta cohomología de Čech obtenida por límites directos. Sin embargo, al igual que la cohomología del funtor derivada, esta cohomología de Čech independiente de la cobertura es virtualmente imposible de calcular a partir de la definición. La condición de Leray en una cobertura abierta asegura que la cobertura en cuestión ya es "suficientemente fina". La cohomología del funtor derivada concuerda con la cohomología de Čech con respecto a cualquier cobertura de Leray.

Sea una cubierta abierta del espacio topológico , y un haz en X. Decimos que es una cubierta de Leray con respecto a si, para cada conjunto finito no vacío de índices, y para todo , tenemos que , en la cohomología de funtores derivada. ^[1] Por ejemplo, si es un esquema separado, y es cuasicoherente, entonces cualquier cubierta de por subesquemas afines abiertos es una cubierta de Leray. ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {U}}=\{U_{i}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \{i_{1},\ldots ,i_{n}\}}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle H^{k}(U_{i_{1}}\cap \cdots \cap U_{i_{n}},{\mathcal {F}})=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

Referencias

1. Taylor, Joseph L. Varias variables complejas con conexiones con la geometría algebraica y los grupos de Lie. Estudios de posgrado en matemáticas, vol. 46. American Mathematical Society, Providence, RI. 2002.
2. Macdonald, Ian G. Geometría algebraica. Introducción a los esquemas. WA Benjamin, Inc., Nueva York-Ámsterdam 1968 vii+113 pp.