En teoría de categorías , una disciplina dentro de las matemáticas, el nervio N ( C ) de una pequeña categoría C es un conjunto simple construido a partir de los objetos y morfismos de C. La realización geométrica de este conjunto simplicial es un espacio topológico , llamado espacio de clasificación de la categoría C. Estos objetos estrechamente relacionados pueden proporcionar información sobre algunas categorías familiares y útiles utilizando topología algebraica , generalmente teoría de homotopía .
El nervio de una categoría se utiliza a menudo para construir versiones topológicas de espacios de módulos . Si X es un objeto de C , su espacio de módulos debería codificar de alguna manera todos los objetos isomorfos a X y realizar un seguimiento de los diversos isomorfismos entre todos estos objetos en esa categoría. Esto puede resultar bastante complicado, especialmente si los objetos tienen muchos automorfismos sin identidad. El nervio proporciona una forma combinatoria de organizar estos datos. Dado que los conjuntos simpliciales tienen una buena teoría de homotopía, uno puede hacer preguntas sobre el significado de los diversos grupos de homotopía π n ( N ( C )). Se espera que las respuestas a estas preguntas proporcionen información interesante sobre la categoría C original o sobre categorías relacionadas.
La noción de nervio es una generalización directa de la noción clásica de clasificación del espacio de un grupo discreto; consulte a continuación para obtener más detalles.
Sea C una categoría pequeña. Hay un 0-símplejo de N ( C ) para cada objeto de C . Hay un 1-símplex para cada morfismo f : x → y en C . Ahora supongamos que f : x → y y g : y → z son morfismos en C . Entonces también tenemos su composición gf : x → z .
El diagrama sugiere nuestro curso de acción: agregar un 2-simplex para este triángulo conmutativo. Cada 2-símplex de N ( C ) proviene de un par de morfismos componibles de esta manera. La adición de estos 2-símplices no borra ni ignora los morfismos obtenidos por composición, simplemente recuerda que así es como surgen.
En general, N ( C ) k consta de k -tuplas de morfismos componibles
De c . Para completar la definición de N ( C ) como conjunto simplicial, debemos especificar también los mapas de cara y degeneración. Estos también nos los proporciona la estructura de C como categoría. Los mapas de caras
están dados por la composición de morfismos en el i -ésimo objeto (o eliminando el i -ésimo objeto de la secuencia, cuando i es 0 o k ). [1] Esto significa que d i envía la k -tupla
a la ( k − 1)-tupla
Es decir, el mapa d i compone los morfismos A i −1 → A i y A i → A i +1 en el morfismo A i −1 → A i +1 , produciendo una ( k − 1)-tupla para cada k -tupla.
De manera similar, los mapas de degeneración
se dan insertando un morfismo de identidad en el objeto A i .
Los conjuntos simples también pueden considerarse funtores Δ op → Set , donde Δ es la categoría de conjuntos finitos totalmente ordenados y morfismos que conservan el orden. Cada conjunto parcialmente ordenado P produce una categoría (pequeña) i ( P ) con objetos que son elementos de P y con un morfismo único de p a q siempre que p ≤ q en P . Obtenemos así un funtor i de la categoría Δ a la categoría de categorías pequeñas. Ahora podemos describir el nervio de la categoría C como el funtor Δ op → Set
Esta descripción del nervio hace transparente la funcionalidad; por ejemplo, un funtor entre categorías pequeñas C y D induce un mapa de conjuntos simpliciales N ( C ) → N ( D ). Además, una transformación natural entre dos de estos functores induce una homotopía entre los mapas inducidos. Esta observación puede considerarse como el comienzo de uno de los principios de la teoría de categorías superiores . De ello se deduce que los functores adjuntos inducen equivalencias de homotopía . En particular, si C tiene un objeto inicial o final , su nervio es contráctil.
El ejemplo primordial es el espacio de clasificación de un grupo discreto G. Consideramos a G como una categoría con un objeto cuyos endomorfismos son los elementos de G. Entonces los k -símplices de N ( G ) son simplemente k -tuplas de elementos de G . Los mapas de caras actúan por multiplicación y los mapas de degeneración actúan por inserción del elemento de identidad. Si G es el grupo con dos elementos, entonces hay exactamente un k -simplex no degenerado para cada entero no negativo k , correspondiente a la k -tupla única de elementos de G que no contienen identidades. Después de pasar a la realización geométrica, esta k -tupla se puede identificar con la única k -celda en la estructura CW habitual en el espacio proyectivo real de dimensión infinita . Este último es el modelo más popular para clasificar el espacio del grupo con dos elementos. Véase (Segal 1968) para más detalles y la relación de lo anterior con la construcción conjunta de BG por parte de Milnor .
Todo espacio topológico "razonable" es homeomorfo al espacio de clasificación de una categoría pequeña. Aquí, "razonable" significa que el espacio en cuestión es la realización geométrica de un conjunto simple. Obviamente ésta es una condición necesaria; también es suficiente. De hecho, sea X la realización geométrica de un conjunto simplicial K . El conjunto de simples en K está parcialmente ordenado, por la relación x ≤ y si y sólo si x es una cara de y . Podemos considerar este conjunto parcialmente ordenado como una categoría con las relaciones como morfismos. El nervio de esta categoría es la subdivisión baricéntrica de K , y por tanto su realización es homeomorfa a X , porque X es la realización de K por hipótesis y la subdivisión baricéntrica no cambia el tipo de homeomorfismo de la realización.
Si X es un espacio topológico con cobertura abierta U i , el nervio de la cobertura se obtiene a partir de las definiciones anteriores reemplazando la cobertura con la categoría obtenida al considerar la cobertura como un conjunto parcialmente ordenado con inclusiones de conjuntos como relaciones (y por lo tanto morfismos). . Tenga en cuenta que la realización de este nervio no es generalmente homeomorfa a X (o incluso equivalente a la homotopía): la equivalencia de homotopía generalmente se mantendrá solo para una buena cobertura de conjuntos contráctiles que tengan intersecciones contráctiles.
Se puede utilizar la construcción nerviosa para recuperar espacios cartográficos e incluso obtener información "homotópica superior" sobre los mapas. Sea D una categoría y sean X e Y objetos de D. A menudo nos interesa calcular el conjunto de morfismos X → Y. Podemos utilizar una construcción nerviosa para recuperar este conjunto. Sea C = C ( X , Y ) la categoría cuyos objetos son diagramas
tal que los morfismos U → X y Y → V son isomorfismos en D . Los morfismos en C ( X , Y ) son diagramas de la siguiente forma:
Aquí, los mapas indicados deben ser isomorfismos o identidades. El nervio de C ( X , Y ) es el espacio de módulos de los mapas X → Y. En el entorno de categoría de modelo apropiado, este espacio de módulos es una homotopía débil equivalente al conjunto simplicial de morfismos de D de X a Y.
El siguiente teorema se debe a Grothendieck.
Teorema : un conjunto simplicial es el nervio de una categoría si y sólo si satisface las condiciones de Segal. [2]
Véanse también: Espacio Segal .
