Espacio proyectivo real

Tipo de espacio topológico

En matemáticas , el espacio proyectivo real , denotado como ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ o ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}(\mathbb {R} ),}$ es el espacio topológico de líneas que pasan por el origen 0 en el espacio real . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$ Es una variedad compacta y suave de dimensión n , y es un caso especial de un espacio de Grassmann . ${\displaystyle \mathbf {Gr} (1,\mathbb {R} ^{n+1})}$

Propiedades básicas

Construcción

Como ocurre con todos los espacios proyectivos , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ se forma tomando el cociente de bajo la relación de equivalencia ⁠ ⁠ para todos los números reales ⁠ ⁠ . Para todos los ⁠ ⁠ en siempre se puede encontrar un ⁠ ⁠ tal que ⁠ ⁠ tenga norma  1. Hay precisamente dos de tales ⁠ ⁠ que difieren en signo. Por tanto, ⁠ ⁠ también se puede formar identificando puntos antípodas de la unidad ⁠ ⁠ - esfera , ⁠ ⁠ , en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle x\sim \lambda x}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda x}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Se puede restringir aún más al hemisferio superior de ⁠ ⁠ ${\displaystyle S^{n}}$ y simplemente identificar puntos antípodas en el ecuador límite. Esto muestra que ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ también es equivalente al disco ⁠ ⁠ -dimensional cerrado, ${\displaystyle n}$⁠ ⁠ ${\displaystyle D^{n}}$ , con puntos antípodas en el límite, , identificados. ${\displaystyle \partial D^{n}=S^{n-1}}$

Ejemplos de baja dimensión

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$ se llama línea proyectiva real , que es topológicamente equivalente a un círculo .
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$ se llama plano proyectivo real . Este espacio no puede ser incrustado en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . Sin embargo, puede ser incrustado en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ y puede ser sumergido en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (ver aquí ). Las cuestiones de incrustabilidad e inmersión para el espacio proyectivo ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ han sido bien estudiadas. ^[1]
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{3}}$ es difeomórfico a SO(3) , por lo tanto admite una estructura de grupo; la función de recubrimiento ⁠ ⁠ ${\displaystyle S^{3}\to \mathbb {RP} ^{3}}$ es una función de grupos Spin(3) → SO(3), donde Spin(3) es un grupo de Lie que es la función de recubrimiento universal de SO(3).

Topología

La función antípoda en la ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -esfera (la función que envía ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ a ⁠ ⁠ ${\displaystyle -x}$ ) genera una acción de grupo Z 2 en ⁠ ⁠ . Como se mencionó anteriormente, el espacio de órbita para esta acción es ⁠ ⁠ . Esta acción es en realidad una acción de espacio de cobertura que da ⁠ ⁠ como una cobertura doble de ⁠ ⁠ . Dado que ⁠ ⁠ está simplemente conectado para ⁠ ⁠ , también sirve como cobertura universal en estos casos. De ello se deduce que el grupo fundamental de ⁠ ⁠ es ⁠ ⁠ cuando ⁠ ⁠ . (Cuando el grupo fundamental es ⁠ ⁠ debido al homeomorfismo con ⁠ ⁠ ). Un generador para el grupo fundamental es la curva cerrada que se obtiene al proyectar cualquier curva que conecta puntos antípodas en ⁠ ⁠ hacia abajo hasta ⁠ ⁠ . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$

El espacio proyectivo ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ es compacto, conexo y tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo cíclico de orden 2: su espacio de recubrimiento universal está dado por la función cociente de antípodas de la ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -esfera, un espacio simplemente conexo . Es una doble función de recubrimiento . La función antípoda en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ tiene signo , por lo que preserva la orientación si y solo si ⁠ ⁠ es par. El carácter de orientación es, por tanto: el bucle no trivial en actúa como en la orientación, por lo que ⁠ ⁠ es orientable si y solo si ⁠ ⁠ es par, es decir, ⁠ ⁠ es impar. ^[2] ${\displaystyle (-1)^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {RP} ^{n})}$ ${\displaystyle (-1)^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$

El espacio proyectivo es de ${\displaystyle n}$ hecho difeomorfo a la subvariedad de que consiste en todas las matrices simétricas de traza 1 que también son transformaciones lineales idempotentes. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{(n+1)^{2}}}$ ${\displaystyle (n+1)\times (n+1)}$

Geometría de espacios proyectivos reales

El espacio proyectivo real admite una métrica de curvatura escalar positiva constante, proveniente de la doble cobertura por la esfera redonda estándar (la función antípoda es localmente una isometría).

Para la métrica redonda estándar, esta tiene una curvatura seccional idéntica a 1.

En la métrica redonda estándar, la medida del espacio proyectivo es exactamente la mitad de la medida de la esfera.

Estructura suave

Los espacios proyectivos reales son variedades suaves . En S ⁿ , en coordenadas homogéneas, ( x ₁ , ..., x _{n +1} ), considérese el subconjunto U _i con x _i ≠ 0. Cada U _i es homeomorfo a la unión disjunta de dos bolas unitarias abiertas en R ⁿ que se asignan al mismo subconjunto de RP ⁿ y las funciones de transición de coordenadas son suaves. Esto le da a RP ⁿ una estructura suave .

Estructura como un complejo CW

El espacio proyectivo real RP ⁿ admite la estructura de un complejo CW con 1 celda en cada dimensión.

En coordenadas homogéneas ( x ₁ ... x _{n +1} ) en S ⁿ , la vecindad de coordenadas U ₁ = {( x ₁ ... x _{n +1} ) | x ₁ ≠ 0} se puede identificar con el interior del disco n D ⁿ . Cuando x _i = 0, se tiene RP ^{n −1} . Por lo tanto, el esqueleto n −1 de RP ⁿ es RP ^{n −1} , y la función adjunta f  : S ^{n −1} → RP ^{n −1} es la función de recubrimiento 2 a 1. Se puede poner $${\displaystyle \mathbf {RP} ^{n}=\mathbf {RP} ^{n-1}\cup _{f}D^{n}.}$$

La inducción muestra que RP ⁿ es un complejo CW con 1 célula en cada dimensión hasta n .

Las celdas son celdas de Schubert , como en la variedad de banderas . Es decir, tomemos una bandera completa (digamos la bandera estándar) 0 = V ₀ < V ₁ <...< V _n ; entonces la celda k cerrada son líneas que se encuentran en V _k . Además, la celda k abierta (el interior de la celda k ) son líneas en V _k \ V _{k −1} (líneas en V _k pero no en V _{k −1} ).

En coordenadas homogéneas (respecto a la bandera), las celdas son $${\displaystyle {\begin{array}{c}[*:0:0:\dots :0]\\{[}*:*:0:\dots :0]\\\vdots \\{[}*:*:*:\dots :*].\end{array}}}$$

Esta no es una estructura CW regular, ya que los mapas adjuntos son 2 a 1. Sin embargo, su cubierta es una estructura CW regular en la esfera, con 2 celdas en cada dimensión; de hecho, la estructura CW regular mínima en la esfera.

A la luz de la estructura suave, la existencia de una función de Morse mostraría que RP ⁿ es un complejo CW. Una de esas funciones está dada por, en coordenadas homogéneas, $${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}i\cdot |x_{i}|^{2}.}$$

En cada entorno U _i , g tiene un punto crítico no degenerado (0,...,1,...,0) donde 1 aparece en la posición i con índice de Morse i . Esto demuestra que RP ⁿ es un complejo CW con 1 celda en cada dimensión.

Paquetes tautológicos

El espacio proyectivo real tiene sobre él un fibrado lineal natural, llamado fibrado tautológico . Más precisamente, se lo llama subfibrado tautológico, y también existe un fibrado dual n -dimensional llamado fibrado cociente tautológico.

Topología algebraica de espacios proyectivos reales

Grupos de homotopía

Los grupos de homotopía superiores de RP ⁿ son exactamente los grupos de homotopía superiores de S ⁿ , a través de la secuencia exacta larga en homotopía asociada a una fibración .

Explícitamente, el haz de fibras es: También se puede escribir esto como o por analogía con el espacio proyectivo complejo . $${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}.}$$ $${\displaystyle S^{0}\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$$ $${\displaystyle O(1)\to S^{n}\to \mathbf {RP} ^{n}}$$

Los grupos de homotopía son: $${\displaystyle \pi _{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}0&i=0\\\mathbf {Z} &i=1,n=1\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &i=1,n>1\\\pi _{i}(S^{n})&i>1,n>0.\end{cases}}}$$

Homología

El complejo de cadena celular asociado a la estructura CW anterior tiene 1 célula en cada dimensión 0, ..., n . Para cada dimensión k , las funciones límite d _k  : δ D ^k → RP ^{k −1} / RP ^{k −2} es la función que colapsa el ecuador en S ^{k −1} y luego identifica puntos antípodas. En dimensiones impares (o pares), esto tiene grado 0 (o 2):

$${\displaystyle \deg(d_{k})=1+(-1)^{k}.}$$

Por lo tanto la homología integral es $${\displaystyle H_{i}(\mathbf {RP} ^{n})={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{else.}}\end{cases}}}$$

RP ⁿ es orientable si y sólo si n es impar, como lo muestra el cálculo de homología anterior.

Espacio proyectivo real infinito

El espacio proyectivo real infinito se construye como límite directo o unión de los espacios proyectivos finitos: Este espacio es espacio clasificador de O (1) , el primer grupo ortogonal . $${\displaystyle \mathbf {RP} ^{\infty }:=\lim _{n}\mathbf {RP} ^{n}.}$$

La doble envoltura de este espacio es la esfera infinita , que es contráctil. El espacio proyectivo infinito es, por tanto, el espacio de Eilenberg-MacLane K ( Z ₂ , 1). ${\displaystyle S^{\infty }}$

Para cada entero no negativo q , el grupo de homología módulo 2 . ${\displaystyle H_{q}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2)=\mathbf {Z} /2}$

Su anillo de cohomología módulo 2 es donde es la primera clase de Stiefel–Whitney : es el álgebra libre en , que tiene grado 1. $${\displaystyle H^{*}(\mathbf {RP} ^{\infty };\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} [w_{1}],}$$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$ ${\displaystyle w_{1}}$

Véase también

• Espacio proyectivo complejo
• Espacio proyectivo cuaterniónico
• Espacio de lentes
• Plano proyectivo real

Notas

1. Consulte la tabla de Don Davis para obtener una bibliografía y una lista de resultados.
2. JT Wloka; B. Rowley; B. Lawruk (1995). Problemas de valores de contorno para sistemas elípticos. Cambridge University Press. pág. 197. ISBN 978-0-521-43011-1.

Referencias

• Bredon, Glen . Topología y geometría , Textos de posgrado en matemáticas, Springer Verlag 1993, 1996
• Davis, Donald. "Tabla de inmersiones e incrustaciones de espacios proyectivos reales" . Consultado el 22 de septiembre de 2011 .
• Hatcher, Allen (2001). Topología algebraica. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79160-1.