En la rama de las matemáticas conocida como topología , la curva sinusoidal del topólogo o curva sinusoidal de Varsovia es un espacio topológico con varias propiedades interesantes que lo convierten en un importante ejemplo de libro de texto.
Se puede definir como la gráfica de la función sin(1/ x ) en el intervalo semiabierto (0, 1], junto con el origen, bajo la topología inducida desde el plano euclidiano :
La curva sinusoidal del topólogo T está conexa pero no está conectada localmente ni está conectada por caminos . Esto se debe a que incluye el punto (0,0) pero no hay forma de vincular la función al origen para crear un camino .
El espacio T es la imagen continua de un espacio localmente compacto (es decir, sea V el espacio {−1} ∪ (0, 1], y use el mapa f de V a T definido por f (−1) = (0 ,0) y f ( x ) = ( x , sin(1/ x )) para x > 0), pero T no es localmente compacto en sí mismo.
La dimensión topológica de T es 1.
Dos variantes de la curva sinusoidal del topólogo tienen otras propiedades interesantes.
La curva sinusoidal del topólogo cerrado se puede definir tomando la curva sinusoidal del topólogo y sumando su conjunto de puntos límite ; algunos textos definen la propia curva sinusoidal del topólogo como esta versión cerrada, ya que prefieren utilizar el término "curva sinusoidal del topólogo cerrado" para referirse a otra curva. [1] Este espacio está cerrado, acotado y, por lo tanto, compacto por el teorema de Heine-Borel , pero tiene propiedades similares a la curva sinusoidal del topólogo: también está conexo, pero no está conectado localmente ni por trayectoria.
La curva sinusoidal del topólogo extendido se puede definir tomando la curva sinusoidal del topólogo cerrado y añadiéndole el conjunto . Está conectado por arco pero no conectado localmente .
![{\displaystyle T=\left\{\left(x,\sin {\tfrac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0) )\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4221bd712b70257f7e0f8d9b1ca74eaff5661c)
![{\displaystyle \{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dff9ac5c2a53868d76f8bf3f7a7a841876b3ca0)
![{\displaystyle \{(x,1)\mid x\in [0,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5327e8b84efd6909fc334b522974b34963cd7e8f)