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Espacio conectado

Subespacios conexos y desconectados de R ²

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio conexo es un espacio topológico que no puede representarse como la unión de dos o más subconjuntos abiertos no vacíos disjuntos . La conexidad es una de las principales propiedades topológicas que se utilizan para distinguir los espacios topológicos.

Un subconjunto de un espacio topológico es unconjunto conexo si es un espacio conexo cuando se ve como unsubespaciode.

Algunas condiciones relacionadas pero más fuertes son la de conexión por trayectorias, la de conexión simple y la de conexión por coordenadas . Otra noción relacionada es la de conexión local , que no implica ni se sigue de la conexión.

Definición formal

Se dice que un espacio topológico esdesconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos. En caso contrario,se dice que esconexo. Se dice que unsubconjuntode un espacio topológico es conexo si es conexo según su topología de subespacio. Algunos autores excluyen alconjunto vacío(con su topología única) como espacio conexo, pero este artículo no sigue esa práctica.

Para un espacio topológico las siguientes condiciones son equivalentes:

  1. es conexo, es decir, no se puede dividir en dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos.
  2. Los únicos subconjuntos que son a la vez abiertos y cerrados ( conjuntos clopen ) son y el conjunto vacío.
  3. Los únicos subconjuntos de con límite vacío son y el conjunto vacío.
  4. no puede escribirse como la unión de dos conjuntos separados no vacíos (conjuntos para los cuales cada uno es disjunto del cierre del otro).
  5. Todas las funciones continuas desde hasta son constantes, donde es el espacio de dos puntos dotado de la topología discreta .

Históricamente, esta formulación moderna de la noción de conectividad (en términos de que no hay partición en dos conjuntos separados) apareció por primera vez (de manera independiente) con NJ Lennes, Frigyes Riesz y Felix Hausdorff a principios del siglo XX. Véase [1] para más detalles.

Componentes conectados

Dado un punto en un espacio topológico la unión de cualquier colección de subconjuntos conexos tales que cada uno contenido será una vez más un subconjunto conexo. El componente conexo de un punto en es la unión de todos los subconjuntos conexos de que lo contienen es el único subconjunto conexo más grande (con respecto a ) de que contiene Los subconjuntos conexos máximos (ordenados por inclusión ) de un espacio topológico no vacío se denominan componentes conexos del espacio. Los componentes de cualquier espacio topológico forman una partición de  : son disjuntos , no vacíos y su unión es todo el espacio. Cada componente es un subconjunto cerrado del espacio original. De ello se deduce que, en el caso en que su número sea finito, cada componente también es un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, este podría no ser el caso; por ejemplo, los componentes conexos del conjunto de los números racionales son los conjuntos de un punto ( singletons ), que no son abiertos. Demostración: Dos números racionales distintos cualesquiera están en componentes diferentes. Tome un número irracional y luego establezca y Entonces es una separación de y . Por lo tanto, cada componente es un conjunto de un punto.

Sea el componente conexo de en un espacio topológico y sea la intersección de todos los conjuntos clopen que contienen (llamado cuasi-componente de ) Entonces, donde la igualdad se cumple si es Hausdorff compacto o localmente conexo. [2]

Espacios desconectados

Un espacio en el que todos los componentes son conjuntos de un punto se llamatotalmente desconectado . En relación con esta propiedad, un espaciose denominatotalmente separados si, para dos elementos distintos cualesquierayde, existenconjuntos abiertosque contienenyque contienentales quees la unión dey. Claramente, cualquier espacio totalmente separado está totalmente desconectado, pero la inversa no se cumple. Por ejemplo, tomemos dos copias de los números racionales, e identifiquémoslas en cada punto excepto cero. El espacio resultante, con latopología de cociente, está totalmente desconectado. Sin embargo, al considerar las dos copias de cero, se ve que el espacio no está totalmente separado. De hecho, ni siquiera esHausdorff, y la condición de estar totalmente separado es estrictamente más fuerte que la condición de ser Hausdorff.

Ejemplos

Un ejemplo de un espacio no conectado es un plano del que se ha eliminado una línea infinita. Otros ejemplos de espacios desconectados (es decir, espacios que no están conectados) incluyen el plano al que se le ha eliminado un anillo , así como la unión de dos discos cerrados disjuntos , donde todos los ejemplos de este párrafo tienen la topología de subespacio inducida por el espacio euclidiano bidimensional.

Conectividad de caminos

Este subespacio de está conexo por trayectorias, porque se puede dibujar una trayectoria entre dos puntos cualesquiera en el espacio.

AEl espacio conexo por caminos es una noción más fuerte de conectividad, que requiere la estructura de un camino. Un camino desde un puntoa otro puntoen unespacio topológicoes una función continuadesde elintervalo unitariohastacony. El componente de ruta dees unaclase de equivalenciadebajo larelación de equivalenciaque haceequivalente asi hay una ruta desdea.Se dice que el espacio estáconexo por ruta(oconexo por rutao-conexo) si hay exactamente un componente de ruta. Para espacios no vacíos, esto es equivalente a la afirmación de que hay una ruta que une dos puntos cualesquiera en. Nuevamente, muchos autores excluyen el espacio vacío.

Todo espacio conexo por trayectorias es conexo. La inversa no siempre es cierta: ejemplos de espacios conexos que no son conexos por trayectorias incluyen la línea larga extendida y la curva sinusoidal del topólogo .

Los subconjuntos de la recta real son conexos si y solo si son conexos por trayectorias; estos subconjuntos son los intervalos y rayos de . Además, los subconjuntos abiertos de o son conexos si y solo si son conexos por trayectorias. Además, la conexidad y la conexidad por trayectorias son las mismas para espacios topológicos finitos .

Conectividad de arco

Se dice que un espacio está conexo por arco o conexo por arco si dos puntos topológicamente distinguibles pueden unirse mediante un arco , que es una incrustación . Un componente de arco de es un subconjunto conexo por arco máximo de ; o equivalentemente una clase de equivalencia de la relación de equivalencia de si dos puntos pueden unirse mediante un arco o mediante un camino cuyos puntos son topológicamente indistinguibles.

Todo espacio de Hausdorff conexo por trayectorias también es conexo por arcos; de manera más general, esto es cierto para un espacio de Hausdorff , que es un espacio en el que cada imagen de una trayectoria es cerrada. Un ejemplo de un espacio conexo por trayectorias pero no por arcos lo da la línea con dos orígenes ; sus dos copias pueden estar conectadas por una trayectoria pero no por un arco.

La intuición para espacios conexos por trayectorias no se transfiere fácilmente a espacios conexos por arcos. Sea la línea con dos orígenes . Los siguientes son hechos cuyos análogos son válidos para espacios conexos por trayectorias, pero no son válidos para espacios conexos por arcos:

Conectividad local

Se dice que un espacio topológico es localmente conexo en un punto si cada entorno de contiene un entorno abierto conexo. Es localmente conexo si tiene una base de conjuntos conexos. Se puede demostrar que un espacio es localmente conexo si y solo si cada componente de cada conjunto abierto de es abierto.

De manera similar, se dice que un espacio topológico eslocalmente conexo por caminos si tiene una base de conjuntos conexos por caminos. Un subconjunto abierto de un espacio localmente conexo por caminos es conexo si y solo si es conexo por caminos. Esto generaliza la afirmación anterior sobrey, cada uno de los cuales es localmente conexo por caminos. De manera más general, cualquiervariedad topológicaes localmente conexa por caminos.

La curva sinusoidal del topólogo está conectada, pero no está conectada localmente.

Localmente conexo no implica conexo, ni localmente conexo por trayectorias implica conexo por trayectorias. Un ejemplo simple de un espacio localmente conexo (y localmente conexo por trayectorias) que no es conexo (ni conexo por trayectorias) es la unión de dos intervalos separados en , como .

Un ejemplo clásico de un espacio conexo que no está conexo localmente es la llamada curva sinusoidal del topólogo , definida como , con la topología euclidiana inducida por la inclusión en .

Operaciones de conjuntos

Ejemplos de uniones e intersecciones de conjuntos conexos

La intersección de conjuntos conexos no es necesariamente conexa.

La unión de conjuntos conexos no es necesariamente conexa, como se puede ver al considerar .

Cada elipse es un conjunto conexo, pero la unión no es conexa, ya que puede dividirse en dos conjuntos abiertos disjuntos y .

Esto significa que, si la unión es desconectada, entonces la colección puede ser dividida en dos subcolecciones, de modo que las uniones de las subcolecciones sean disjuntas y abiertas en (ver imagen). Esto implica que en varios casos, una unión de conjuntos conexos es necesariamente conexa. En particular:

  1. Si la intersección común de todos los conjuntos no está vacía ( ), entonces obviamente no se pueden dividir en conjuntos con uniones disjuntas . Por lo tanto, la unión de conjuntos conexos con intersección no vacía es conexa.
  2. Si la intersección de cada par de conjuntos no está vacía ( ), entonces tampoco se pueden dividir en colecciones con uniones disjuntas, por lo que su unión debe estar conectada.
  3. Si los conjuntos se pueden ordenar como una "cadena enlazada", es decir, indexados por índices enteros y , entonces nuevamente su unión debe estar conectada.
  4. Si los conjuntos son disjuntos por pares y el espacio cociente es conexo, entonces X debe ser conexo. De lo contrario, si es una separación de X entonces es una separación del espacio cociente (ya que son disjuntos y abiertos en el espacio cociente). [6]

La diferencia de conjuntos conexos no es necesariamente conexa. Sin embargo, si y su diferencia es desconexa (y por lo tanto puede escribirse como una unión de dos conjuntos abiertos y ), entonces la unión de con cada uno de dichos componentes es conexa (es decir, es conexa para todos los ).

Prueba [7]

Por contradicción, supongamos que no es conexo. Por lo tanto, puede escribirse como la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos, por ejemplo . Como es conexo, debe estar completamente contenido en uno de estos componentes, digamos , y por lo tanto está contenido en . Ahora sabemos que: Los dos conjuntos en la última unión son disjuntos y abiertos en , por lo que hay una separación de , lo que contradice el hecho de que es conexo.

Dos conjuntos conexos cuya diferencia no es conexa

Teoremas

Gráficos

Los grafos tienen subconjuntos conexos por caminos, es decir, aquellos subconjuntos para los cuales cada par de puntos tiene un camino de aristas que los une. Pero no siempre es posible encontrar una topología en el conjunto de puntos que induzca los mismos conjuntos conexos. El grafo de 5 ciclos (y cualquier grafo de ciclos con impares) es un ejemplo de ello.

En consecuencia, se puede formular una noción de conectividad independientemente de la topología de un espacio. Es decir, existe una categoría de espacios conectivos que consisten en conjuntos con colecciones de subconjuntos conexos que satisfacen axiomas de conectividad; sus morfismos son aquellas funciones que asignan conjuntos conexos a conjuntos conexos (Muscat y Buhagiar 2006). Los espacios topológicos y los grafos son casos especiales de espacios conectivos; de hecho, los espacios conectivos finitos son precisamente los grafos finitos.

Sin embargo, cada grafo puede convertirse canónicamente en un espacio topológico, tratando los vértices como puntos y las aristas como copias del intervalo unitario (véase teoría de grafos topológicos#Los grafos como espacios topológicos ). Entonces se puede demostrar que el grafo es conexo (en el sentido teórico de grafos) si y solo si es conexo como espacio topológico.

Formas más fuertes de conexión

Existen formas más fuertes de conectividad para los espacios topológicos , por ejemplo:

En general, cualquier espacio conexo por trayectorias debe ser conexo, pero existen espacios conexos que no lo son. El espacio peine eliminado proporciona un ejemplo de ello, al igual que la curva sinusoidal del topólogo mencionada anteriormente .

Véase también

Referencias

  1. ^ Wilder, RL (1978). "Evolución del concepto topológico de "conectado"". American Mathematical Monthly . 85 (9): 720–726. doi :10.2307/2321676. JSTOR  2321676.
  2. ^ "Topología general - Componentes del conjunto de números racionales".
  3. ^ Stephen Willard (1970). Topología general . Dover. pág. 191. ISBN. 0-486-43479-6.
  4. ^ George F. Simmons (1968). Introducción a la topología y al análisis moderno . McGraw Hill Book Company. pág. 144. ISBN 0-89874-551-9.
  5. ^ Charles Weibel , El libro K: Una introducción a la teoría K algebraica
  6. ^ Brandsma, Henno (13 de febrero de 2013). "¿Cómo demostrar este resultado que involucra los mapas de cocientes y la conectividad?". Stack Exchange .
  7. ^ Marek (13 de febrero de 2013). "¿Cómo demostrar este resultado sobre la conectividad?". Stack Exchange .

Lectura adicional