Módulo proyectivo

Suma directa de un módulo libre (matemáticas)

En matemáticas , particularmente en álgebra , la clase de módulos proyectivos amplía la clase de módulos libres (es decir, módulos con vectores base ) sobre un anillo , manteniendo algunas de las propiedades principales de los módulos libres. A continuación aparecen varias caracterizaciones equivalentes de estos módulos.

Todo módulo libre es un módulo proyectivo, pero la recíproca no se cumple en algunos anillos, como los anillos de Dedekind que no son dominios de ideales principales . Sin embargo, todo módulo proyectivo es un módulo libre si el anillo es un dominio de ideales principales como los enteros o un anillo polinómico (multivariado) sobre un cuerpo (este es el teorema de Quillen-Suslin ).

Los módulos proyectivos se introdujeron por primera vez en 1956 en el influyente libro Álgebra homológica de Henri Cartan y Samuel Eilenberg .

Definiciones

Propiedad de elevación

La definición teórica de categoría habitual se da en términos de la propiedad de elevación que se traslada de los módulos libres a los proyectivos: un módulo P es proyectivo si y solo si para cada homomorfismo de módulo sobreyectivo f  : N ↠ M y cada homomorfismo de módulo g  : P → M , existe un homomorfismo de módulo h  : P → N tal que f h = g . (No requerimos que el homomorfismo de elevación h sea único; esta no es una propiedad universal ).  

La ventaja de esta definición de "proyectivo" es que puede llevarse a cabo en categorías más generales que las categorías de módulos : no necesitamos una noción de "objeto libre". También puede dualizarse , dando lugar a módulos inyectivos . La propiedad de elevación también puede reformularse como todo morfismo de a factores a través de todo epimorfismo a ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ . Así, por definición, los módulos proyectivos son precisamente los objetos proyectivos en la categoría de R -módulos .

Secuencias exactas divididas

Un módulo P es proyectivo si y sólo si cada secuencia corta exacta de módulos de la forma

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow P\rightarrow 0}$

es una sucesión exacta dividida . Es decir, para cada homomorfismo de módulo sobreyectivo f  : B ↠ P existe una función de sección , es decir, un homomorfismo de módulo h  : P → B tal que f  h = id _P  . En ese caso, h ( P ) es un sumando directo de B , h es un isomorfismo de P a h ( P ) , y h  f es una proyección sobre el sumando h ( P ) . De manera equivalente,

${\displaystyle B=\operatorname {Im} (h)\oplus \operatorname {Ker} (f)\ \ {\text{ where }}\operatorname {Ker} (f)\cong A\ {\text{ and }}\operatorname {Im} (h)\cong P.}$

Sumas directas de módulos libres

Un módulo P es proyectivo si y sólo si existe otro módulo Q tal que la suma directa de P y Q es un módulo libre.

Exactitud

Un R -módulo P es proyectivo si y solo si el funtor covariante Hom( P , -): R - Mod → Ab es un funtor exacto , donde R - Mod es la categoría de los R -módulos izquierdos y Ab es la categoría de los grupos abelianos . Cuando el anillo R es conmutativo , Ab se reemplaza ventajosamente por R - Mod en la caracterización precedente. Este funtor es siempre exacto por la izquierda , pero, cuando P es proyectivo, también es exacto por la derecha. Esto significa que P es proyectivo si y solo si este funtor preserva epimorfismos (homomorfismos sobreyectivos), o si preserva colimites finitos .

Doble base

Un módulo P es proyectivo si y sólo si existe un conjunto y un conjunto tales que para cada x en P , f _i ( x ) sólo es distinto de cero para un número finito de i , y . ${\displaystyle \{a_{i}\in P\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle \{f_{i}\in \mathrm {Hom} (P,R)\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle x=\sum f_{i}(x)a_{i}}$

Ejemplos y propiedades elementales

Las siguientes propiedades de los módulos proyectivos se deducen rápidamente de cualquiera de las definiciones (equivalentes) anteriores de módulos proyectivos:

• Las sumas directas y los sumandos directos de módulos proyectivos son proyectivos.
• Si e = e ² es un idempotente en el anillo R , entonces Re es un módulo proyectivo por la izquierda sobre R .

Sea el producto directo de dos anillos y que es un anillo para las operaciones por componentes. Sea y Entonces y son idempotentes, y pertenecen al centro de Los ideales bilaterales y son módulos proyectivos, ya que su suma directa (como R -módulos) es igual al R -módulo libre R . Sin embargo, si y no son triviales, entonces no son libres como módulos sobre . Por ejemplo es proyectivo pero no libre sobre . ${\displaystyle R=R_{1}\times R_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2},}$ ${\displaystyle e_{1}=(1,0)}$ ${\displaystyle e_{2}=(0,1).}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle Re_{1}}$ ${\displaystyle Re_{2}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$

Relación con otras propiedades de la teoría de módulos

La relación de los módulos proyectivos con los módulos libres y planos se resume en el siguiente diagrama de propiedades de los módulos:

Las implicaciones de izquierda a derecha son verdaderas para cualquier anillo, aunque algunos autores definen módulos libres de torsión solo para un dominio . Las implicaciones de derecha a izquierda son verdaderas para los anillos que las etiquetan. Puede haber otros anillos para los que sean verdaderas. Por ejemplo, la implicación etiquetada como " anillo local o PID" también es verdadera para anillos polinómicos (multivariados) sobre un cuerpo : este es el teorema de Quillen-Suslin .

Módulos proyectivos vs. módulos libres

Todo módulo libre es proyectivo. Lo contrario es cierto en los siguientes casos:

• Si R es un campo o un campo sesgado : cualquier módulo es libre en este caso.
• si el anillo R es un dominio ideal principal . Por ejemplo, esto se aplica a R = Z (los enteros ), por lo que un grupo abeliano es proyectivo si y solo si es un grupo abeliano libre . La razón es que cualquier submódulo de un módulo libre sobre un dominio ideal principal es libre.
• si el anillo R es un anillo local . Este hecho es la base de la intuición de "localmente libre = proyectivo". Este hecho es fácil de demostrar para módulos proyectivos finitamente generados . En general, se debe a Kaplansky (1958); véase el teorema de Kaplansky sobre módulos proyectivos .

En general, los módulos proyectivos no necesitan ser libres:

• Sobre un producto directo de anillos R × S donde R y S son anillos distintos de cero , tanto R × 0 como 0 × S son módulos proyectivos no libres.
• Sobre un dominio de Dedekind un ideal no principal es siempre un módulo proyectivo que no es un módulo libre.
• Sobre un anillo de matrices M _n ( R ), el módulo natural R ⁿ es proyectivo pero no es libre cuando n > 1.
• En un anillo semisimple , cada módulo es proyectivo, pero un ideal propio izquierdo (o derecho) distinto de cero no es un módulo libre. Por lo tanto, los únicos anillos semisimples para los cuales todos los proyectivos son libres son los anillos de división .

La diferencia entre módulos libres y proyectivos se mide, en cierto sentido, por el grupo de la teoría K algebraica K ₀ ( R ); véase más abajo.

Módulos proyectivos vs. módulos planos

Todo módulo proyectivo es plano . ^[1] La inversa en general no es cierta: el grupo abeliano Q es un módulo Z que es plano, pero no proyectivo. ^[2]

Por el contrario, un módulo plano finitamente relacionado es proyectivo. ^[3]

Govorov (1965) y Lazard (1969) demostraron que un módulo M es plano si y sólo si es un límite directo de módulos libres finitamente generados .

En general, la relación precisa entre planitud y proyectividad fue establecida por Raynaud y Gruson (1971) (ver también Drinfeld (2006) y Braunling, Groechenig y Wolfson (2016)) quienes demostraron que un módulo M es proyectivo si y solo si satisface las siguientes condiciones:

• M es plana,
• M es una suma directa de módulos generados contablemente ,
• M satisface una cierta condición de tipo Mittag-Leffler .

Esta caracterización se puede utilizar para mostrar que si es un mapa fielmente plano de anillos conmutativos y es un -módulo, entonces es proyectivo si y solo si es proyectivo. ^[4] En otras palabras, la propiedad de ser proyectivo satisface la descendencia fielmente plana . ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}S}$

La categoría de módulos proyectivos

Los submódulos de módulos proyectivos no necesitan ser proyectivos; un anillo R para el cual cada submódulo de un módulo proyectivo izquierdo es proyectivo se llama hereditario izquierdo .

Los cocientes de módulos proyectivos tampoco necesitan ser proyectivos, por ejemplo Z / n es un cociente de Z , pero no libre de torsión , por lo tanto no es plano y, por lo tanto, no es proyectivo.

La categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo es una categoría exacta . (Véase también K-teoría algebraica ).

Resoluciones proyectivas

Dado un módulo, M , una resolución proyectiva de M es una secuencia exacta infinita de módulos

⋅⋅⋅ → P _n → ⋅⋅⋅ → P ₂ → P ₁ → P ₀ → M → 0,

con todas las P _i  s proyectivas. Cada módulo posee una resolución proyectiva. De hecho, existe una resolución libre (resolución por módulos libres). La secuencia exacta de módulos proyectivos a veces puede abreviarse como P ( M ) → M → 0 o P _• → M → 0 . Un ejemplo clásico de una resolución proyectiva lo da el complejo de Koszul de una secuencia regular , que es una resolución libre del ideal generado por la secuencia.

La longitud de una resolución finita es el índice n tal que P _n es distinto de cero y P _i = 0 para i mayor que n . Si M admite una resolución proyectiva finita, la longitud mínima entre todas las resoluciones proyectivas finitas de M se llama su dimensión proyectiva y se denota pd( M ). Si M no admite una resolución proyectiva finita, entonces por convención se dice que la dimensión proyectiva es infinita. Como ejemplo, considere un módulo M tal que pd( M ) = 0 . En esta situación, la exactitud de la secuencia 0 → P ₀ → M → 0 indica que la flecha en el centro es un isomorfismo y, por lo tanto, M en sí es proyectiva.

Módulos proyectivos sobre anillos conmutativos

Los módulos proyectivos sobre anillos conmutativos tienen propiedades interesantes.

La localización de un módulo proyectivo es un módulo proyectivo sobre el anillo localizado. Un módulo proyectivo sobre un anillo local es libre. Por lo tanto, un módulo proyectivo es localmente libre (en el sentido de que su localización en cada ideal primo es libre sobre la localización correspondiente del anillo).

Lo inverso es cierto para módulos finitamente generados sobre anillos noetherianos : un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano conmutativo es localmente libre si y sólo si es proyectivo.

Sin embargo, hay ejemplos de módulos finitamente generados sobre un anillo no noetheriano que son localmente libres y no proyectivos. Por ejemplo, un anillo booleano tiene todas sus localizaciones isomorfas a F ₂ , el cuerpo de dos elementos, por lo que cualquier módulo sobre un anillo booleano es localmente libre, pero hay algunos módulos no proyectivos sobre anillos booleanos. Un ejemplo es R / I donde R es un producto directo de un número contable de copias de F ₂ e I es la suma directa de un número contable de copias de F ₂ dentro de R . El R -módulo R / I es localmente libre ya que R es booleano (y también se genera finitamente como un R -módulo, con un conjunto generador de tamaño 1), pero R / I no es proyectivo porque I no es un ideal principal. (Si un módulo cociente R / I , para cualquier anillo conmutativo R e ideal I , es un R -módulo proyectivo, entonces I es principal).

Sin embargo, es cierto que para módulos M presentados finitamente sobre un anillo conmutativo R (en particular si M es un módulo R generado finitamente y R es noetheriano), los siguientes son equivalentes. ^[5]

1. ${\displaystyle M}$es plano
2. ${\displaystyle M}$es proyectivo.
3. ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$es libre como módulo para cada ideal máximo de R . ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
4. ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$es libre como -módulo para cada ideal primo de R . ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
5. Existe generación del ideal unitario tal que es libre como -módulo para cada i . ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}\in R}$ ${\displaystyle M[f_{i}^{-1}]}$ ${\displaystyle R[f_{i}^{-1}]}$
6. ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$es un haz localmente libre en (donde es el haz asociado a M .) ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}}$

Además, si R es un dominio integral noetheriano , entonces, por el lema de Nakayama , estas condiciones son equivalentes a

• La dimensión del espacio vectorial - es la misma para todos los ideales primos de R, donde es el campo de residuos en . ^[6] Es decir, M tiene rango constante (como se define a continuación). ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Sea A un anillo conmutativo. Si B es un A - álgebra (posiblemente no conmutativa) que es un A -módulo proyectivo finitamente generado que contiene a A como subanillo , entonces A es un factor directo de B. ^[7 ]

Rango

Sea P un módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo conmutativo R y X el espectro de R. El rango de P en un ideal primo en X es el rango del módulo libre . Es una función localmente constante en X. En particular, si X es conexo (es decir, si R no tiene otros idempotentes que 0 y 1), entonces P tiene rango constante. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle P_{\mathfrak {p}}}$

Paquetes de vectores y módulos gratuitos locales

Una motivación básica de la teoría es que los módulos proyectivos (al menos sobre ciertos anillos conmutativos) son análogos de los fibrados vectoriales . Esto se puede precisar para el anillo de funciones continuas de valor real en un espacio de Hausdorff compacto , así como para el anillo de funciones suaves en una variedad suave (véase el teorema de Serre-Swan que dice que un módulo proyectivo finitamente generado sobre el espacio de funciones suaves en una variedad compacta es el espacio de secciones suaves de un fibrado vectorial suave ).

Los fibrados vectoriales son localmente libres . Si existe alguna noción de "localización" que pueda trasladarse a los módulos, como la localización habitual de un anillo , se pueden definir módulos localmente libres, y los módulos proyectivos suelen coincidir con los módulos localmente libres.

Módulos proyectivos sobre un anillo polinomial

El teorema de Quillen-Suslin , que resuelve el problema de Serre, es otro resultado profundo : si K es un cuerpo, o más generalmente un dominio ideal principal , y R = K [ X ₁ ,..., X _n ] es un anillo polinomial sobre K , entonces todo módulo proyectivo sobre R es libre. Este problema fue planteado por primera vez por Serre con K como cuerpo (y los módulos siendo finitamente generados). Bass lo resolvió para módulos no finitamente generados, ^[8] y Quillen y Suslin trataron independientemente y simultáneamente el caso de módulos finitamente generados.

Puesto que todo módulo proyectivo sobre un dominio ideal principal es libre, uno podría plantearse esta pregunta: si R es un anillo conmutativo tal que todo módulo proyectivo R (finitamente generado) es libre, entonces ¿todo módulo proyectivo R [ X ] (finitamente generado) es libre? La respuesta es no . Un contraejemplo ocurre con R igual al anillo local de la curva y ² = x ³ en el origen. Por lo tanto, el teorema de Quillen-Suslin nunca podría demostrarse mediante una simple inducción sobre el número de variables.

Véase también

• Cobertura proyectiva
• Lema de Schanuel
• Teorema de cancelación de graves
• Teoría de la representación modular

Notas

1. Hazewinkel; et al. (2004). "Corolario 5.4.5". Álgebras, anillos y módulos, parte 1. pág. 131.
2. Hazewinkel y col. (2004). "Observación después del corolario 5.4.5". Álgebras, anillos y módulos, parte 1, págs. 131-132.
3. Cohn 2003, Corolario 4.6.4 harvnb error: no target: CITEREFCohn2003 (help)
4. "Sección 10.95 (05A4): Propiedades descendentes de módulos: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 3 de noviembre de 2022 .
5. Ejercicios 4.11 y 4.12 y Corolario 6.6 de David Eisenbud, Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica , GTM 150, Springer-Verlag, 1995. También, Milne 1980
6. Es decir, es el campo de residuos del anillo local . ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$
7. Bourbaki, Algèbre conmutativo 1989, capítulo II, §5, ejercicio 4 harvnb error: no target: CITEREFBourbaki,_Algèbre_commutative1989 (help)
8. Bass, Hyman (1963). "Los grandes módulos proyectivos son gratuitos". Illinois Journal of Mathematics . 7 (1). Duke University Press. Corolario 4.5. doi : 10.1215/ijm/1255637479 .

Referencias

• William A. Adkins; Steven H. Weintraub (1992). Álgebra: un enfoque a través de la teoría de módulos. Springer. Sec 3.5. ISBN 978-1-4612-0923-2.
• Iain T. Adamson (1972). Anillos y módulos elementales . Textos matemáticos universitarios. Oliver y Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Nicolas Bourbaki , Álgebra conmutativa, cap. II, §5
• Braunling, Oliver; Groechenig, Michael; Wolfson, Jesse (2016), "Objetos de Tate en categorías exactas", Mosc. Math. J. , 16 (3), arXiv : 1402.4969v4 , doi :10.17323/1609-4514-2016-16-3-433-504, MR  3510209, S2CID  118374422
• Paul M. Cohn (2003). Álgebra adicional y aplicaciones . Springer. ISBN 1-85233-667-6.
• Drinfeld, Vladimir (2006), "Fibrados vectoriales de dimensión infinita en geometría algebraica: una introducción", en Pavel Etingof; Vladimir Retakh; IM Singer (eds.), La unidad de las matemáticas , Birkhäuser Boston, págs. 263–304, arXiv : math/0309155v4 , doi :10.1007/0-8176-4467-9_7, ISBN 978-0-8176-4076-7, Sr.  2181808
• Govorov, VE (1965), "Sobre módulos planos (rusos)", Siberian Math. J. , 6 : 300–304
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Álgebras, anillos y módulos . Ciencia Springer . ISBN 978-1-4020-2690-4.
• Kaplansky, Irving (1958), "Módulos proyectivos", Ann. of Math. , 2, 68 (2): 372–377, doi :10.2307/1970252, hdl : 10338.dmlcz/101124 , JSTOR  1970252, MR  0100017
• Lang, Serge (1993). Álgebra (3.ª ed.). Addison–Wesley . ISBN 0-201-55540-9.
• Lazard, D. (1969), "Autour de la platitude", Bulletin de la Société Mathématique de France , 97 : 81–128, doi : 10.24033/bsmf.1675
• Milne, James (1980). Étale cohomología . Universidad de Princeton. Prensa. ISBN 0-691-08238-3.
• Donald S. Passman (2004) Un curso en teoría de anillos , especialmente el capítulo 2 Módulos proyectivos, págs. 13-22, AMS Chelsea, ISBN 0-8218-3680-3 . 
• Raynaud, Michel; Gruson, Laurent (1971), "Critères de platitude et de projectivité. Techniques de "platification" d'un module", Invent. Matemáticas. , 13 : 1–89, Bibcode :1971InMat..13....1R, doi :10.1007/BF01390094, MR  0308104, S2CID  117528099
• Paulo Ribenboim (1969) Anillos y módulos , §1.6 Módulos proyectivos, pp 19–24, Interscience Publishers .
• Charles Weibel , El libro K: Una introducción a la teoría K algebraica

Lectura adicional

• https://mathoverflow.net/questions/272018/faithfully-flat-descent-of-projectivity-for-non-commutative-rings