Teoría K algebraica

Área temática de las matemáticas

La teoría K algebraica es un área temática de las matemáticas que tiene conexiones con la geometría , la topología , la teoría de anillos y la teoría de números . A los objetos geométricos, algebraicos y aritméticos se les asignan objetos llamados K -grupos. Estos son grupos en el sentido del álgebra abstracta . Contienen información detallada sobre el objeto original, pero son notoriamente difíciles de calcular; por ejemplo, un problema importante pendiente es calcular los K -grupos de los números enteros .

La teoría K fue descubierta a finales de los años 1950 por Alexander Grothendieck en su estudio de la teoría de intersecciones en variedades algebraicas . En el lenguaje moderno, Grothendieck definió solo K _{0 , el grupo} K cero , pero incluso este único grupo tiene muchas aplicaciones, como el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . La teoría de intersecciones sigue siendo una fuerza motivadora en el desarrollo de la teoría K algebraica (superior) a través de sus vínculos con la cohomología motívica y específicamente los grupos de Chow . El tema también incluye temas clásicos de teoría de números como la reciprocidad cuadrática y las incrustaciones de cuerpos numéricos en los números reales y los números complejos , así como preocupaciones más modernas como la construcción de reguladores superiores y valores especiales de funciones L.

Los grupos K inferiores se descubrieron primero, en el sentido de que se encontraron descripciones adecuadas de estos grupos en términos de otras estructuras algebraicas. Por ejemplo, si F es un cuerpo , entonces K ₀ ( F ) es isomorfo a los enteros Z y está estrechamente relacionado con la noción de dimensión del espacio vectorial . Para un anillo conmutativo R , el grupo K ₀ ( R ) está relacionado con el grupo de Picard de R , y cuando R es el anillo de enteros en un cuerpo numérico, esto generaliza la construcción clásica del grupo de clases . El grupo K ₁ ( R ) está estrechamente relacionado con el grupo de unidades R ^× , y si R es un cuerpo, es exactamente el grupo de unidades. Para un cuerpo numérico F , el grupo K ₂ ( F ) está relacionado con la teoría de cuerpos de clases , el símbolo de Hilbert y la resolubilidad de ecuaciones cuadráticas sobre compleciones. Por el contrario, encontrar la definición correcta de los grupos K superiores de anillos fue un logro difícil de Daniel Quillen , y muchos de los hechos básicos sobre los grupos K superiores de variedades algebraicas no se conocieron hasta el trabajo de Robert Thomason .

Historia

La historia de la teoría K fue detallada por Charles Weibel . ^[1]

El grupo GrothendieckK0

En el siglo XIX, Bernhard Riemann y su alumno Gustav Roch demostraron lo que ahora se conoce como el teorema de Riemann-Roch . Si X es una superficie de Riemann , entonces los conjuntos de funciones meromórficas y formas diferenciales meromórficas en X forman espacios vectoriales. Un fibrado lineal en X determina subespacios de estos espacios vectoriales, y si X es proyectivo, entonces estos subespacios son de dimensión finita. El teorema de Riemann-Roch establece que la diferencia de dimensiones entre estos subespacios es igual al grado del fibrado lineal (una medida de torsión) más uno menos el género de X. A mediados del siglo XX, Friedrich Hirzebruch generalizó el teorema de Riemann-Roch a todas las variedades algebraicas. En la formulación de Hirzebruch, el teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch , el teorema se convirtió en una declaración sobre las características de Euler : la característica de Euler de un fibrado vectorial en una variedad algebraica (que es la suma alternada de las dimensiones de sus grupos de cohomología) es igual a la característica de Euler del fibrado trivial más un factor de corrección que proviene de las clases características del fibrado vectorial. Esta es una generalización porque en una superficie proyectiva de Riemann, la característica de Euler de un fibrado lineal es igual a la diferencia en dimensiones mencionada anteriormente, la característica de Euler del fibrado trivial es uno menos el género y la única clase característica no trivial es el grado.

El tema de la teoría K toma su nombre de una construcción de 1957 de Alexander Grothendieck que apareció en el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , su generalización del teorema de Hirzebruch. ^[2] Sea X una variedad algebraica suave. A cada fibrado vectorial en X , Grothendieck asocia un invariante, su clase . El conjunto de todas las clases en X se llamó K ( X ) del alemán Klasse . Por definición, K ( X ) es un cociente del grupo abeliano libre en clases de isomorfismo de fibrados vectoriales en X , y por lo tanto es un grupo abeliano. Si el elemento base correspondiente a un fibrado vectorial V se denota [ V ], entonces para cada secuencia exacta corta de fibrados vectoriales:

${\displaystyle 0\to V'\to V\to V''\to 0,}$

Grothendieck impuso la relación [ V ] = [ V′ ] + [ V″ ] . Estos generadores y relaciones definen K ( X ), e implican que es la forma universal de asignar invariantes a los fibrados vectoriales de una manera compatible con secuencias exactas.

Grothendieck adoptó la perspectiva de que el teorema de Riemann-Roch es una declaración sobre morfismos de variedades, no las variedades mismas. Demostró que hay un homomorfismo de K ( X ) a los grupos de Chow de X que proviene del carácter de Chern y la clase de Todd de X . Además, demostró que un morfismo propio f  : X → Y a una variedad suave Y determina un homomorfismo f _*  : K ( X ) → K ( Y ) llamado pushforward . Esto da dos formas de determinar un elemento en el grupo de Chow de Y a partir de un fibrado vectorial en X : a partir de X , primero se puede calcular el pushforward en la teoría K y luego aplicar el carácter de Chern y la clase de Todd de Y , o primero se puede aplicar el carácter de Chern y la clase de Todd de X y luego calcular el pushforward para los grupos de Chow. El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch dice que estos son iguales. Cuando Y es un punto, un fibrado vectorial es un espacio vectorial, la clase de un espacio vectorial es su dimensión y el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch se especializa en el teorema de Hirzebruch.

El grupo K ( X ) se conoce ahora como K ₀ ( X ). Al reemplazar los fibrados vectoriales por módulos proyectivos, K ₀ también se definió para anillos no conmutativos, donde tuvo aplicaciones para representaciones de grupos . Atiyah y Hirzebruch rápidamente trasladaron la construcción de Grothendieck a la topología y la usaron para definir la K-teoría topológica . ^[3] La K -teoría topológica fue uno de los primeros ejemplos de una extraordinaria teoría de cohomología : asocia a cada espacio topológico X (satisfaciendo algunas restricciones técnicas leves) una secuencia de grupos K _n ( X ) que satisfacen todos los axiomas de Eilenberg-Steenrod excepto el axioma de normalización. Sin embargo, el entorno de las variedades algebraicas es mucho más rígido y las construcciones flexibles utilizadas en topología no estaban disponibles. Si bien el grupo K ₀ parecía satisfacer las propiedades necesarias para ser el comienzo de una teoría de cohomología de variedades algebraicas y de anillos no conmutativos, no había una definición clara del K _n ( X ) superior. Incluso cuando se desarrollaron tales definiciones, los problemas técnicos relacionados con la restricción y el pegado generalmente obligaron a que K _n se definiera solo para anillos, no para variedades.

K0,K1, yK2

Un grupo estrechamente relacionado con K ₁ para los anillos de grupo fue introducido anteriormente por JHC Whitehead . Henri Poincaré había intentado definir los números de Betti de una variedad en términos de una triangulación. Sin embargo, sus métodos tenían una grave laguna: Poincaré no podía demostrar que dos triangulaciones de una variedad siempre arrojaran los mismos números de Betti. Era claramente cierto que los números de Betti no cambiaban al subdividir la triangulación y, por lo tanto, estaba claro que dos triangulaciones cualesquiera que compartieran una subdivisión común tenían los mismos números de Betti. Lo que no se sabía era que dos triangulaciones cualesquiera admitieran una subdivisión común. Esta hipótesis se convirtió en una conjetura conocida como Hauptvermutung (aproximadamente "conjetura principal"). El hecho de que las triangulaciones fueran estables bajo subdivisión llevó a JHC Whitehead a introducir la noción de tipo de homotopía simple . ^[4] Una equivalencia de homotopía simple se define en términos de agregar símplices o celdas a un complejo simplicial o complejo de celdas de tal manera que cada símplice o deformación de celda adicional se retraiga en una subdivisión del espacio antiguo. Parte de la motivación para esta definición es que una subdivisión de una triangulación es equivalente de homotopía simple a la triangulación original y, por lo tanto, dos triangulaciones que comparten una subdivisión común deben ser equivalentes de homotopía simple. Whitehead demostró que la equivalencia de homotopía simple es un invariante más fino que la equivalencia de homotopía al introducir un invariante llamado torsión . La torsión de una equivalencia de homotopía toma valores en un grupo ahora llamado grupo de Whitehead y denotado Wh ( π ), donde π es el grupo fundamental del complejo objetivo. Whitehead encontró ejemplos de torsión no trivial y, por lo tanto, demostró que algunas equivalencias de homotopía no eran simples. Posteriormente se descubrió que el grupo de Whitehead era un cociente de K ₁ ( Z π ), donde Z π es el anillo de grupo integral de π . Más tarde, John Milnor utilizó la torsión de Reidemeister , un invariante relacionado con la torsión de Whitehead, para refutar la Hauptvermutung.

La primera definición adecuada de K ₁ de un anillo fue hecha por Hyman Bass y Stephen Schanuel . ^[5] En la teoría K topológica, K ₁ se define usando fibrados vectoriales en una suspensión del espacio. Todos estos fibrados vectoriales provienen de la construcción de embrague , donde dos fibrados vectoriales triviales en dos mitades de un espacio están pegados a lo largo de una tira común del espacio. Estos datos de pegado se expresan usando el grupo lineal general , pero los elementos de ese grupo que provienen de matrices elementales (matrices correspondientes a operaciones elementales de fila o columna) definen pegados equivalentes. Motivada por esto, la definición de Bass-Schanuel de K ₁ de un anillo R es GL ( R ) / E ( R ) , donde GL ( R ) es el grupo lineal general infinito (la unión de todos los GL _n ( R )) y E ( R ) es el subgrupo de matrices elementales. También proporcionaron una definición de K ₀ de un homomorfismo de anillos y demostraron que K ₀ y K ₁ podían ajustarse juntos en una secuencia exacta similar a la secuencia exacta de homología relativa.

El trabajo en K -teoría de este período culminó en el libro de Bass Algebraic K -theory . ^[6] Además de proporcionar una exposición coherente de los resultados entonces conocidos, Bass mejoró muchos de los enunciados de los teoremas. Cabe destacar en particular que Bass, basándose en su trabajo anterior con Murthy, ^[7] proporcionó la primera prueba de lo que ahora se conoce como el teorema fundamental de la K -teoría algebraica . Se trata de una secuencia exacta de cuatro términos que relaciona K ₀ de un anillo R con K ₁ de R , el anillo polinomial R [ t ] y la localización R [ t , t ⁻¹ ]. Bass reconoció que este teorema proporcionaba una descripción de K ₀ completamente en términos de K ₁ . Al aplicar esta descripción de forma recursiva, produjo K -grupos negativos K _−n ( R ). En un trabajo independiente, Max Karoubi dio otra definición de K -grupos negativos para ciertas categorías y demostró que sus definiciones producían los mismos grupos que las de Bass. ^[8]

El siguiente gran desarrollo en el tema llegó con la definición de K ₂ . Steinberg estudió las extensiones centrales universales de un grupo de Chevalley sobre un cuerpo y dio una presentación explícita de este grupo en términos de generadores y relaciones. ^[9] En el caso del grupo E _n ( k ) de matrices elementales, la extensión central universal ahora se escribe St _n ( k ) y se llama el grupo de Steinberg . En la primavera de 1967, John Milnor definió K ₂ ( R ) como el núcleo del homomorfismo St( R ) → E ( R ) . ^[10] El grupo K ₂ extendió aún más algunas de las secuencias exactas conocidas para K ₁ y K ₀ , y tuvo aplicaciones sorprendentes para la teoría de números. La tesis de 1968 de Hideya Matsumoto ^[11] mostró que para un cuerpo F , K ₂ ( F ) era isomorfo a:

${\displaystyle F^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }F^{\times }/\langle x\otimes (1-x)\colon x\in F\setminus \{0,1\}\rangle .}$

Esta relación también se cumple con el símbolo de Hilbert , que expresa la resolubilidad de ecuaciones cuadráticas sobre cuerpos locales . En particular, John Tate pudo demostrar que K ₂ ( Q ) está estructurada esencialmente en torno a la ley de reciprocidad cuadrática .

Más altoK-grupos

A finales de los años 1960 y principios de los años 1970, se propusieron varias definiciones de la teoría K superior. Swan ^[12] y Gersten ^[13] ambos produjeron definiciones de K _n para todo n , y Gersten demostró que su teoría y la de Swan eran equivalentes, pero no se sabía que las dos teorías satisficieran todas las propiedades esperadas. Nobile y Villamayor también propusieron una definición de grupos K superiores . ^{[14] Karoubi y Villamayor definieron grupos} K de buen comportamiento para todo n , ^[15] pero su equivalente de K ₁ era a veces un cociente propio del K ₁ de Bass–Schanuel . Sus grupos K ahora se llaman KV _n y están relacionados con modificaciones invariantes de homotopía de la teoría K.

Inspirado en parte por el teorema de Matsumoto, Milnor hizo una definición de los grupos K superiores de un campo. ^[16] Se refirió a su definición como "puramente ad hoc ", ^[17] y no parecía generalizarse a todos los anillos ni parecía ser la definición correcta de la teoría K superior de campos. Mucho más tarde, Nesterenko y Suslin ^[18] y Totaro ^[19] descubrieron que la teoría K de Milnor es en realidad una suma directa de la verdadera teoría K del campo. Específicamente, los grupos K tienen una filtración llamada filtración de peso , y la teoría K de Milnor de un campo es la parte con mayor grado de peso de la teoría K. Además, Thomason descubrió que no hay análogo de la teoría K de Milnor para una variedad general. ^[20]

La primera definición de K -teoría superior que fue ampliamente aceptada fue la de Daniel Quillen . ^[21] Como parte del trabajo de Quillen sobre la conjetura de Adams en topología, había construido mapas de los espacios de clasificación BGL ( F _q ) a la fibra de homotopía de ψ ^q − 1 , donde ψ ^q es la q ésima operación de Adams que actúa sobre el espacio de clasificación BU . Este mapa es acíclico, y después de modificar BGL ( F _q ) ligeramente para producir un nuevo espacio BGL ( F _q ) ⁺ , el mapa se convirtió en una equivalencia de homotopía. Esta modificación se llamó construcción plus . Se sabía que las operaciones de Adams estaban relacionadas con las clases de Chern y con la K -teoría desde el trabajo de Grothendieck, y por eso Quillen se vio obligado a definir la K -teoría de R como los grupos de homotopía de BGL ( R ) ⁺ . Esto no sólo recuperó K ₁ y K ₂ , sino que la relación de la teoría K con las operaciones de Adams permitió a Quillen calcular los grupos K de campos finitos.

El espacio de clasificación BGL es conexo, por lo que la definición de Quillen no proporcionó el valor correcto para K ₀ . Además, no proporcionó ningún grupo K negativo. Dado que K ₀ tenía una definición conocida y aceptada, fue posible eludir esta dificultad, pero siguió siendo técnicamente incómoda. Conceptualmente, el problema fue que la definición surgió de GL , que era clásicamente la fuente de K ₁ . Debido a que GL solo conoce sobre fibrados vectoriales pegados, no sobre los fibrados vectoriales en sí, le fue imposible describir K ₀ .

Inspirado por conversaciones con Quillen, Segal pronto introdujo otro enfoque para construir la K -teoría algebraica bajo el nombre de Γ-objetos. ^[22] El enfoque de Segal es un análogo de homotopía de la construcción de K ₀ de Grothendieck . Donde Grothendieck trabajó con clases de isomorfismo de fibrados, Segal trabajó con los fibrados mismos y utilizó isomorfismos de los fibrados como parte de sus datos. Esto da como resultado un espectro cuyos grupos de homotopía son los K -grupos superiores (incluido K ₀ ). Sin embargo, el enfoque de Segal solo pudo imponer relaciones para secuencias exactas divididas, no secuencias exactas generales. En la categoría de módulos proyectivos sobre un anillo, cada secuencia exacta corta se divide, y por lo tanto los Γ-objetos podrían usarse para definir la K -teoría de un anillo. Sin embargo, hay secuencias exactas cortas no divididas en la categoría de fibrados vectoriales sobre una variedad y en la categoría de todos los módulos sobre un anillo, por lo que el enfoque de Segal no se aplicó a todos los casos de interés.

En la primavera de 1972, Quillen encontró otro enfoque para la construcción de la teoría K superior que resultó enormemente exitosa. Esta nueva definición comenzó con una categoría exacta , una categoría que satisface ciertas propiedades formales similares a, pero ligeramente más débiles que, las propiedades satisfechas por una categoría de módulos o fibrados vectoriales. A partir de esto construyó una categoría auxiliar utilizando un nuevo dispositivo llamado su " Q -construcción ". Al igual que los Γ-objetos de Segal, la Q -construcción tiene sus raíces en la definición de Grothendieck de K ₀ . Sin embargo, a diferencia de la definición de Grothendieck, la Q -construcción construye una categoría, no un grupo abeliano, y a diferencia de los Γ-objetos de Segal, la Q -construcción trabaja directamente con secuencias exactas cortas. Si C es una categoría abeliana , entonces QC es una categoría con los mismos objetos que C pero cuyos morfismos se definen en términos de secuencias exactas cortas en C . Los grupos K de la categoría exacta son los grupos de homotopía de Ω BQC , el espacio de bucles de la realización geométrica (tomar el espacio de bucles corrige la indexación). Quillen además demostró su " teorema + = Q " que sus dos definiciones de la teoría K concordaban entre sí. Esto produjo el K _{0 correcto y condujo a demostraciones más simples, pero aún no produjo ningún grupo} K negativo .

Todas las categorías abelianas son categorías exactas, pero no todas las categorías exactas son abelianas. Como Quillen pudo trabajar en esta situación más general, pudo usar categorías exactas como herramientas en sus demostraciones. Esta técnica le permitió demostrar muchos de los teoremas básicos de la teoría K algebraica . Además, fue posible demostrar que las definiciones anteriores de Swan y Gersten eran equivalentes a las de Quillen bajo ciertas condiciones.

La teoría K ahora parecía ser una teoría de homología para anillos y una teoría de cohomología para variedades. Sin embargo, muchos de sus teoremas básicos llevaban la hipótesis de que el anillo o variedad en cuestión era regular. Una de las relaciones básicas esperadas era una larga secuencia exacta (llamada "secuencia de localización") que relacionaba la teoría K de una variedad X y un subconjunto abierto U . Quillen no pudo probar la existencia de la secuencia de localización en su totalidad. Sin embargo, pudo probar su existencia para una teoría relacionada llamada teoría G (o a veces teoría K ′). La teoría G había sido definida al principio del desarrollo del tema por Grothendieck. Grothendieck definió G ₀ ( X ) para una variedad X como el grupo abeliano libre sobre clases de isomorfismo de haces coherentes sobre X , módulo relaciones provenientes de secuencias exactas de haces coherentes. En el marco categórico adoptado por autores posteriores, la teoría K de una variedad es la teoría K de su categoría de fibrados vectoriales, mientras que su teoría G es la teoría K de su categoría de haces coherentes. Quillen no sólo pudo demostrar la existencia de una secuencia de localización exacta para la teoría G , sino que también pudo demostrar que, para un anillo o variedad regular, la teoría K era igual a la teoría G y, por lo tanto, la teoría K de las variedades regulares tenía una secuencia de localización exacta. Dado que esta secuencia era fundamental para muchos de los hechos en el tema, las hipótesis de regularidad impregnaron los primeros trabajos sobre la teoría K superior .

Aplicaciones de las ecuaciones algebraicasK-teoría en topología

La primera aplicación de la K -teoría algebraica a la topología fue la construcción de la torsión de Whitehead de Whitehead. Una construcción estrechamente relacionada fue encontrada por CTC Wall en 1963. ^[23] Wall encontró que un espacio X dominado por un complejo finito tiene una característica de Euler generalizada que toma valores en un cociente de K ₀ ( Z π ), donde π es el grupo fundamental del espacio. Este invariante se llama obstrucción de finitud de Wall porque X es homotópicamente equivalente a un complejo finito si y solo si el invariante se desvanece. Laurent Siebenmann en su tesis encontró un invariante similar al de Wall que da una obstrucción a una variedad abierta que es el interior de una variedad compacta con borde. ^[24] Si dos variedades con borde M y N tienen interiores isomorfos (en TOP, PL o DIFF según corresponda), entonces el isomorfismo entre ellas define un h -cobordismo entre M y N .

La torsión de Whitehead fue finalmente reinterpretada de una manera más directa desde la teoría K. Esta reinterpretación ocurrió a través del estudio de los h -cobordismos . Dos variedades n -dimensionales M y N son h -cobordantes si existe una variedad ( n + 1) -dimensional con borde W cuyo borde es la unión disjunta de M y N y para la cual las inclusiones de M y N en W son equivalencias de homotopía (en las categorías TOP, PL o DIFF). El teorema de h -cobordismo de Stephen Smale ^[25] afirmó que si n ≥ 5 , W es compacto, y M , N y W son simplemente conexos, entonces W es isomorfo al cilindro M × [0, 1] (en TOP, PL o DIFF según corresponda). Este teorema demostró la conjetura de Poincaré para n ≥ 5 .

Si no se supone que M y N estén simplemente conectados, entonces un h -cobordismo no necesita ser un cilindro. El teorema del s -cobordismo, debido independientemente a Mazur, ^[26] Stallings y Barden, ^[27] explica la situación general: Un h -cobordismo es un cilindro si y solo si la torsión de Whitehead de la inclusión M ⊂ W se desvanece. Esto generaliza el teorema del h -cobordismo porque las hipótesis de conectividad simple implican que el grupo de Whitehead relevante es trivial. De hecho, el teorema del s -cobordismo implica que existe una correspondencia biyectiva entre las clases de isomorfismo de los h -cobordismos y los elementos del grupo de Whitehead.

Una pregunta obvia asociada con la existencia de h -cobordismos es su unicidad. La noción natural de equivalencia es isotopía . Jean Cerf demostró que para variedades lisas simplemente conexas M de dimensión al menos 5, la isotopía de los h -cobordismos es la misma que una noción más débil llamada pseudo-isotopía. ^[28] Hatcher y Wagoner estudiaron los componentes del espacio de pseudo-isotopías y lo relacionaron con un cociente de K ₂ ( Z π ). ^[29]

El contexto apropiado para el teorema del s -cobordismo es el espacio de clasificación de h -cobordismos. Si M es una variedad CAT, entonces H ^CAT ( M ) es un espacio que clasifica fibrados de h -cobordismos en M . El teorema del s -cobordismo puede reinterpretarse como la afirmación de que el conjunto de componentes conexos de este espacio es el grupo de Whitehead de π ₁ ( M ). Este espacio contiene estrictamente más información que el grupo de Whitehead; por ejemplo, el componente conexo del cobordismo trivial describe los cilindros posibles en M y en particular es la obstrucción a la unicidad de una homotopía entre una variedad y M × [0, 1] . La consideración de estas cuestiones llevó a Waldhausen a introducir su K -teoría algebraica de espacios. ^{[30] La} K -teoría algebraica de M es un espacio A ( M ) que se define de modo que desempeña esencialmente el mismo papel para grupos K superiores que K ₁ ( Z π ₁ ( M )) desempeña para M . En particular, Waldhausen demostró que hay una función de A ( M ) a un espacio Wh( M ) que generaliza la función K ₁ ( Z π ₁ ( M )) → Wh( π ₁ ( M )) y cuya fibra de homotopía es una teoría de homología.

Para desarrollar completamente la teoría A , Waldhausen realizó avances técnicos significativos en los fundamentos de la teoría K. Waldhausen introdujo las categorías de Waldhausen y, para una categoría de Waldhausen C, introdujo una categoría simplicial S _⋅ C (la S es por Segal) definida en términos de cadenas de cofibraciones en C. ^[31] Esto liberó a los fundamentos de la teoría K de la necesidad de invocar análogos de secuencias exactas.

Topología algebraica y geometría algebraica en ecuaciones algebraicasK-teoría

Quillen sugirió a su estudiante Kenneth Brown que podría ser posible crear una teoría de haces de espectros de la que la teoría K proporcionaría un ejemplo. El haz de espectros de la teoría K asociaría, a cada subconjunto abierto de una variedad, la teoría K de ese subconjunto abierto. Brown desarrolló una teoría de este tipo para su tesis. Simultáneamente, Gersten tuvo la misma idea. En una conferencia en Seattle en el otoño de 1972, juntos descubrieron una secuencia espectral que converge desde la cohomología del haz de , el haz de K _n -grupos en X , al grupo K del espacio total. Esto ahora se llama la secuencia espectral de Brown-Gersten. ^[32] ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}}$

Spencer Bloch , influenciado por el trabajo de Gersten sobre haces de grupos K , demostró que en una superficie regular, el grupo de cohomología es isomorfo al grupo de Chow CH ² ( X ) de ciclos de codimensión 2 en X . ^[33] Inspirado por esto, Gersten conjeturó que para un anillo local regular R con campo de fracciones F , K _n ( R ) se inyecta en K _n ( F ) para todo n . Pronto Quillen demostró que esto es cierto cuando R contiene un campo, ^[34] y usando esto demostró que ${\displaystyle H^{2}(X,{\mathcal {K}}_{2})}$

${\displaystyle H^{p}(X,{\mathcal {K}}_{p})\cong \operatorname {CH} ^{p}(X)}$

para todo p . Esto se conoce como la fórmula de Bloch . Si bien se han logrado avances en la conjetura de Gersten desde entonces, el caso general sigue abierto.

Lichtenbaum conjeturó que los valores especiales de la función zeta de un cuerpo de números podrían expresarse en términos de los K -grupos del anillo de números enteros del cuerpo. Se sabía que estos valores especiales estaban relacionados con la cohomología étale del anillo de números enteros. Por lo tanto, Quillen generalizó la conjetura de Lichtenbaum, prediciendo la existencia de una secuencia espectral como la secuencia espectral de Atiyah–Hirzebruch en la K -teoría topológica . ^[35] La secuencia espectral propuesta por Quillen comenzaría a partir de la cohomología étale de un anillo R y, en grados suficientemente altos y después de completarse en un primo l invertible en R , lindaría con la completitud l -ádica de la K -teoría de R . En el caso estudiado por Lichtenbaum, la secuencia espectral degeneraría, produciendo la conjetura de Lichtenbaum.

La necesidad de localizar en un primo l sugirió a Browder que debería haber una variante de la K -teoría con coeficientes finitos. ^[36] Introdujo los grupos de la K -teoría K _n ( R ; Z / l Z ) que eran espacios vectoriales Z / l Z , y encontró un análogo del elemento Bott en la K -teoría topológica. Soule utilizó esta teoría para construir " clases de Chern de étale ", un análogo de las clases de Chern topológicas que llevaban elementos de la K -teoría algebraica a clases en cohomología de étale . ^[37] A diferencia de la K -teoría algebraica, la cohomología de étale es altamente computable, por lo que las clases de Chern de étale proporcionaban una herramienta eficaz para detectar la existencia de elementos en la K -teoría. William G. Dwyer y Eric Friedlander inventaron entonces un análogo de la K -teoría para la topología de étale llamada K -teoría de étale . ^[38] Para variedades definidas sobre los números complejos, la K -teoría étale es isomorfa a la K -teoría topológica. Además, la K -teoría étale admitía una secuencia espectral similar a la conjeturada por Quillen. Thomason demostró alrededor de 1980 que después de invertir el elemento Bott, la K -teoría algebraica con coeficientes finitos se volvía isomorfa a la K -teoría étale. ^[39]

A lo largo de la década de 1970 y principios de la de 1980, la teoría K sobre variedades singulares aún carecía de fundamentos adecuados. Si bien se creía que la teoría K de Quillen proporcionaba los grupos correctos, no se sabía que estos grupos tuvieran todas las propiedades previstas. Para ello, la teoría K algebraica tuvo que ser reformulada. Esto lo hizo Thomason en una extensa monografía que atribuyó a su difunto amigo Thomas Trobaugh, quien dijo que le dio una idea clave en un sueño. ^[40] Thomason combinó la construcción de la teoría K de Waldhausen con los fundamentos de la teoría de intersecciones descrita en el volumen seis del Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie de Grothendieck . Allí, K ₀ se describió en términos de complejos de haces sobre variedades algebraicas. Thomason descubrió que si se trabajaba con una categoría derivada de haces, existía una descripción sencilla de cuándo un complejo de haces podía extenderse desde un subconjunto abierto de una variedad a la variedad completa. Al aplicar la construcción de la teoría K de Waldhausen a las categorías derivadas, Thomason pudo demostrar que la teoría K algebraica tenía todas las propiedades esperadas de una teoría de cohomología.

En 1976, R. Keith Dennis descubrió una técnica completamente novedosa para calcular la teoría K basada en la homología de Hochschild . ^[41] Esto se basó en la existencia del mapa de trazas de Dennis, un homomorfismo de la teoría K a la homología de Hochschild. Si bien el mapa de trazas de Dennis parecía ser exitoso para los cálculos de la teoría K con coeficientes finitos, fue menos exitoso para los cálculos racionales. Goodwillie, motivado por su "cálculo de funtores", conjeturó la existencia de una teoría intermedia entre la teoría K y la homología de Hochschild. Llamó a esta teoría homología de Hochschild topológica porque su anillo fundamental debería ser el espectro de la esfera (considerado como un anillo cuyas operaciones se definen solo hasta la homotopía). A mediados de la década de 1980, Bokstedt dio una definición de homología de Hochschild topológica que satisfacía casi todas las propiedades conjeturales de Goodwillie, y esto hizo posible cálculos posteriores de grupos K. ^[42] La versión de Bokstedt del mapa de trazas de Dennis era una transformación de espectros K → THH . Esta transformación factorizada a través de los puntos fijos de una acción circular sobre THH , lo que sugería una relación con la homología cíclica . En el curso de la prueba de un análogo de la conjetura de Novikov en la teoría K algebraica , Bokstedt, Hsiang y Madsen introdujeron la homología cíclica topológica , que tenía la misma relación con la homología de Hochschild topológica que la homología cíclica con la homología de Hochschild . ^[43] El mapa de trazas de Dennis para la homología de Hochschild topológica factoriza a través de la homología cíclica topológica, proporcionando una herramienta aún más detallada para los cálculos. En 1996, Dundas, Goodwillie y McCarthy demostraron que la homología cíclica topológica tiene en un sentido preciso la misma estructura local que la teoría K algebraica , de modo que si es posible un cálculo en la teoría K o en la homología cíclica topológica, entonces siguen muchos otros cálculos "cercanos". ^[44]

Más bajoK-grupos

Los grupos K inferiores se descubrieron primero y se les dieron varias descripciones ad hoc que siguen siendo útiles. En todo el texto, sea A un anillo .

K0

El funtor K ₀ lleva un anillo A al grupo de Grothendieck del conjunto de clases de isomorfismo de sus módulos proyectivos finitamente generados , considerado como un monoide bajo suma directa. Cualquier homomorfismo de anillo A → B da una función K ₀ ( A ) → K ₀ ( B ) al asignar (la clase de) un A -módulo proyectivo M a M ⊗ _A B , haciendo de K ₀ un funtor covariante.

Si el anillo A es conmutativo, podemos definir un subgrupo de K ₀ ( A ) como el conjunto

${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)=\bigcap \limits _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideal of }}A}\mathrm {Ker} \dim _{\mathfrak {p}},}$

dónde :

${\displaystyle \dim _{\mathfrak {p}}:K_{0}\left(A\right)\to \mathbf {Z} }$

es el mapa que envía cada (clase de un) módulo proyectivo A finitamente generado M al rango del módulo libre (este módulo es de hecho libre, ya que cualquier módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo local es libre). Este subgrupo se conoce como la K-teoría cero reducida de A . ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{0}\left(A\right)}$

Si B es un anillo sin un elemento identidad , podemos extender la definición de K ₀ de la siguiente manera. Sea A = B ⊕ Z la extensión de B a un anillo con la unidad obtenida al adjuntar un elemento identidad (0,1). Existe una secuencia exacta corta B → A → Z y definimos K ₀ ( B ) como el núcleo de la función correspondiente K ₀ ( A ) → K ₀ ( Z ) = Z . ^[45]

Ejemplos

• Los módulos (proyectivos) sobre un cuerpo k son espacios vectoriales y K ₀ ( k ) es isomorfo a Z , por dimensión .
• Los módulos proyectivos finitamente generados sobre un anillo local A son libres y por lo tanto en este caso una vez más K ₀ ( A ) es isomorfo a Z , por rango . ^[46]
• Para un dominio de Dedekind A , K ₀ ( A ) = Pic( A ) ⊕ Z , donde Pic( A ) es el grupo de Picard de A , ^[47]

Una variante algebro-geométrica de esta construcción se aplica a la categoría de variedades algebraicas ; asocia con una variedad algebraica dada X el K -grupo de Grothendieck de la categoría de haces localmente libres (o haces coherentes) sobre X. Dado un espacio topológico compacto X , la K -teoría topológica K ^top ( X ) de fibrados vectoriales (reales) sobre X coincide con K ₀ del anillo de funciones continuas de valores reales sobre X. ^[48 ]

RelativoK₀

Sea I un ideal de A y definamos el "doble" como un subanillo del producto cartesiano A × A : ^[49]

${\displaystyle D(A,I)=\{(x,y)\in A\times A:x-y\in I\}\ .}$

El grupo K relativo se define en términos del "doble" ^[50]

${\displaystyle K_{0}(A,I)=\ker \left({K_{0}(D(A,I))\rightarrow K_{0}(A)}\right)\ .}$

donde el mapa se induce por proyección a lo largo del primer factor.

El relativo K ₀ ( A , I ) es isomorfo a K ₀ ( I ), considerando a I como un anillo sin identidad. La independencia de A es un análogo del teorema de escisión en homología. ^[45]

K₀como un anillo

Si A es un anillo conmutativo, entonces el producto tensorial de módulos proyectivos es nuevamente proyectivo, y por lo tanto el producto tensorial induce una multiplicación que convierte a K ₀ en un anillo conmutativo con la clase [ A ] como identidad. ^[46] El producto exterior induce de manera similar una estructura de anillo λ . El grupo de Picard se incrusta como un subgrupo del grupo de unidades K ₀ ( A ) ^∗ . ^[51]

K1

Hyman Bass proporcionó esta definición, que generaliza el grupo de unidades de un anillo: K ₁ ( A ) es la abelianización del grupo lineal general infinito :

${\displaystyle K_{1}(A)=\operatorname {GL} (A)^{\mbox{ab}}=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$

Aquí

${\displaystyle \operatorname {GL} (A)=\operatorname {colim} \operatorname {GL} (n,A)}$

es el límite directo de GL( n ), que se incrusta en GL( n  + 1) como la matriz de bloque superior izquierda , y es su subgrupo conmutador . Defina una matriz elemental como una que es la suma de una matriz identidad y un único elemento fuera de la diagonal (este es un subconjunto de las matrices elementales utilizadas en álgebra lineal ). Entonces el lema de Whitehead establece que el grupo E ( A ) generado por matrices elementales es igual al subgrupo conmutador [GL( A ), GL( A )]. De hecho, el grupo GL( A )/E( A ) fue definido y estudiado por primera vez por Whitehead, ^[52] y se llama el grupo de Whitehead del anillo A . ${\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]}$

RelativoK₁

El grupo K relativo se define en términos del "doble" ^[53]

${\displaystyle K_{1}(A,I)=\ker \left({K_{1}(D(A,I))\rightarrow K_{1}(A)}\right)\ .}$

Existe una secuencia exacta natural ^[54]

${\displaystyle K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\rightarrow K_{1}(A/I)\rightarrow K_{0}(A,I)\rightarrow K_{0}(A)\rightarrow K_{0}(A/I)\ .}$

Anillos y campos conmutativos

Para un anillo conmutativo A , se puede definir un determinante det: GL( A ) → A* al grupo de unidades de A , que se anula en E( A ) y, por lo tanto, desciende a una función det: K ₁ ( A ) → A* . Como E( A ) ◅ SL( A ), también se puede definir el grupo especial de Whitehead S K ₁ ( A ) := SL( A )/E( A ). Esta función se divide mediante la función A* → GL(1, A ) → K ₁ ( A ) (unidad en la esquina superior izquierda), y, por lo tanto, es sobreyectiva, y tiene como núcleo al grupo especial de Whitehead, lo que produce la secuencia exacta corta dividida :

${\displaystyle 1\to SK_{1}(A)\to K_{1}(A)\to A^{*}\to 1,}$

que es un cociente de la secuencia exacta corta dividida usual que define el grupo lineal especial , a saber

${\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{*}\to 1.}$

El determinante se divide al incluir el grupo de unidades A* = GL ₁ ( A ) en el grupo lineal general GL (A) , por lo que K ₁ ( A ) se divide como la suma directa del grupo de unidades y el grupo especial de Whitehead: K ₁ ( A ) ≅ A* ⊕ SK ₁ ( A ).

Cuando A es un dominio euclidiano (por ejemplo, un campo o los números enteros) S K ₁ ( A ) se anula, y la función determinante es un isomorfismo de K ₁ ( A ) a A ^∗ . ^[55] Esto es falso en general para los PID, lo que proporciona una de las raras características matemáticas de los dominios euclidianos que no se generalizan a todos los PID. Un PID explícito tal que SK ₁ es distinto de cero fue dado por Ischebeck en 1980 y por Grayson en 1981. ^[56] Si A es un dominio de Dedekind cuyo campo cociente es un campo de números algebraicos (una extensión finita de los racionales), entonces Milnor (1971, corolario 16.3) muestra que S K ₁ ( A ) se anula. ^[57]

La desaparición de SK ₁ puede interpretarse como que K ₁ es generado por la imagen de GL ₁ en GL. Cuando esto falla, uno puede preguntarse si K ₁ es generado por la imagen de GL ₂ . Para un dominio de Dedekind, este es el caso: de hecho, K ₁ es generado por las imágenes de GL ₁ y SL ₂ en GL. ^[56] El subgrupo de SK ₁ generado por SL ₂ puede estudiarse mediante símbolos de Mennicke . Para dominios de Dedekind con todos los cocientes por ideales maximales finitos, SK ₁ es un grupo de torsión. ^[58]

Para un anillo no conmutativo, el determinante no se puede definir en general, pero la función GL( A ) → K ₁ ( A ) es una generalización del determinante.

Álgebras centrales simples

En el caso de un álgebra central simple A sobre un cuerpo F , la norma reducida proporciona una generalización del determinante dando una función K ₁ ( A ) → F ^∗ y S K ₁ ( A ) puede definirse como el núcleo. El teorema de Wang establece que si A tiene grado primo entonces S K ₁ ( A ) es trivial, ^[59] y esto puede extenderse a grado libre de cuadrados. ^[60] Wang también demostró que S K ₁ ( A ) es trivial para cualquier álgebra central simple sobre un cuerpo de números, ^[61] pero Platonov ha dado ejemplos de álgebras de grado primo al cuadrado para las cuales S K ₁ ( A ) no es trivial. ^[60]

K2

John Milnor encontró la definición correcta de K ₂ : es el centro del grupo de Steinberg St( A ) de A .

También se puede definir como el núcleo del mapa.

${\displaystyle \varphi \colon \operatorname {St} (A)\to \mathrm {GL} (A),}$

o como el multiplicador de Schur del grupo de matrices elementales .

Para un campo, K ₂ está determinado por los símbolos de Steinberg : esto conduce al teorema de Matsumoto.

Se puede calcular que K ₂ es cero para cualquier campo finito. ^{[62] [63]} El cálculo de K ₂ ( Q ) es complicado: Tate demostró ^{[63] [64]}

${\displaystyle K_{2}(\mathbf {Q} )=(\mathbf {Z} /4)^{*}\times \prod _{p{\text{ odd prime}}}(\mathbf {Z} /p)^{*}\ }$

y observó que la prueba seguía la primera prueba de Gauss de la Ley de Reciprocidad Cuadrática . ^{[65] [66]}

Para campos locales no arquimedianos, el grupo K ₂ ( F ) es la suma directa de un grupo cíclico finito de orden m , digamos, y un grupo divisible K ₂ ( F ) ^m . ^[67]

Tenemos K ₂ ( Z ) = Z /2, ^[68] y en general K ₂ es finito para el anillo de números enteros de un cuerpo de números. ^[69]

Además tenemos K ₂ ( Z / n ) = Z /2 si n es divisible por 4, y en caso contrario cero. ^[70]

Teorema de Matsumoto

El teorema de Matsumoto ^[71] establece que para un campo k , el segundo grupo K está dado por ^{[72] [73]}

${\displaystyle K_{2}(k)=k^{\times }\otimes _{\mathbf {Z} }k^{\times }/\langle a\otimes (1-a)\mid a\not =0,1\rangle .}$

El teorema original de Matsumoto es aún más general: para cualquier sistema de raíces , da una presentación para la teoría K inestable. Esta presentación es diferente de la que se da aquí solo para sistemas de raíces simplécticos. Para sistemas de raíces no simplécticos, el segundo grupo K inestable con respecto al sistema de raíces es exactamente el grupo K estable para GL( A ). Los segundos grupos K inestables (en este contexto) se definen tomando el núcleo de la extensión central universal del grupo de Chevalley de tipo universal para un sistema de raíces dado. Esta construcción produce el núcleo de la extensión de Steinberg para los sistemas de raíces A _n ( n  > 1) y, en el límite, segundos grupos K estables.

Secuencias largas y exactas

Si A es un dominio de Dedekind con un cuerpo de fracciones F entonces existe una secuencia exacta larga

${\displaystyle K_{2}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{1}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{1}A\rightarrow K_{1}F\rightarrow \oplus _{\mathbf {p} }K_{0}A/{\mathbf {p} }\rightarrow K_{0}A\rightarrow K_{0}F\rightarrow 0\ }$

donde p se extiende sobre todos los ideales primos de A. ^[74 ]

También existe una extensión de la secuencia exacta para K ₁ y K ₀ relativos : ^[75]

${\displaystyle K_{2}(A)\rightarrow K_{2}(A/I)\rightarrow K_{1}(A,I)\rightarrow K_{1}(A)\cdots \ .}$

Emparejamiento

Existe un emparejamiento en K ₁ con valores en K ₂ . Dadas las matrices conmutativas X e Y sobre A , tomemos los elementos x e y en el grupo de Steinberg con X , Y como imágenes. El conmutador es un elemento de K ₂ . ^[76] La función no siempre es sobreyectiva. ^[77] ${\displaystyle xyx^{-1}y^{-1}}$

MilnorK-teoría

La expresión anterior para K ₂ de un campo k llevó a Milnor a la siguiente definición de grupos K "superiores" por

${\displaystyle K_{*}^{M}(k):=T^{*}(k^{\times })/(a\otimes (1-a)),}$

así como partes graduadas de un cociente del álgebra tensorial del grupo multiplicativo k ^× por el ideal bilateral , generado por el

${\displaystyle \left\{a\otimes (1-a):\ a\neq 0,1\right\}.}$

Para n = 0,1,2 estos coinciden con los siguientes, pero para n ≧ 3 difieren en general. ^[78] Por ejemplo, tenemos K^M
_y( F _q ) = 0 para n ≧ 2 pero K _n F _q es distinto de cero para n impar (ver más abajo).

El producto tensorial en el álgebra tensorial induce un producto que forma un anillo graduado que es graduado-conmutativo . ^[79] ${\displaystyle K_{m}\times K_{n}\rightarrow K_{m+n}}$ ${\displaystyle K_{*}^{M}(F)}$

Las imágenes de los elementos en se denominan símbolos , denotados . Para el entero m invertible en k hay una función ${\displaystyle a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}}$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)}$ ${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$

${\displaystyle \partial :k^{*}\rightarrow H^{1}(k,\mu _{m})}$

donde denota el grupo de raíces m -ésimas de la unidad en alguna extensión separable de k . Esto se extiende a ${\displaystyle \mu _{m}}$

${\displaystyle \partial ^{n}:k^{*}\times \cdots \times k^{*}\rightarrow H^{n}\left({k,\mu _{m}^{\otimes n}}\right)\ }$

que satisface las relaciones definitorias del grupo K de Milnor. Por lo tanto, puede considerarse como un mapa en , llamado mapa de símbolos de Galois . ^[80] ${\displaystyle \partial ^{n}}$ ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)}$

La relación entre la cohomología étale (o de Galois ) del campo y la K-teoría de Milnor módulo 2 es la conjetura de Milnor , demostrada por Vladimir Voevodsky . ^[81] La afirmación análoga para los primos impares es la conjetura de Bloch-Kato , demostrada por Voevodsky, Rost y otros.

Más altoK-teoría

Las definiciones aceptadas de los grupos K superiores fueron dadas por Quillen (1973), después de unos pocos años durante los cuales se sugirieron varias definiciones incompatibles. El objeto del programa era encontrar definiciones de K ( R ) y K ( R , I ) en términos de espacios de clasificación de modo que R ⇒ K ( R ) y ( R , I ) ⇒ K ( R , I ) sean funtores en una categoría de homotopía de espacios y la secuencia exacta larga para los grupos K relativos surja como la secuencia de homotopía exacta larga de una fibración K ( R , I ) →  K ( R ) →  K ( R / I ). ^[82]

Quillen dio dos construcciones, la "construcción plus" y la " construcción Q ", esta última posteriormente modificada de diferentes maneras. ^[83] Las dos construcciones producen los mismos grupos K. ^[84]

La construcción +

Quillen dio una posible definición de la K -teoría algebraica superior de anillos.

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}),}$

Aquí π _n es un grupo de homotopía , GL( R ) es el límite directo de los grupos lineales generales sobre R para el tamaño de la matriz que tiende a infinito, B es la construcción del espacio de clasificación de la teoría de homotopía y ^{+ es la} construcción plus de Quillen . Originalmente encontró esta idea mientras estudiaba la cohomología de grupos de ^[85] y notó que algunos de sus cálculos estaban relacionados con . ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {F} _{q})}$ ${\displaystyle K_{1}(\mathbb {F} _{q})}$

Esta definición sólo es válida para n  > 0, por lo que a menudo se define la K -teoría algebraica superior mediante

${\displaystyle K_{n}(R)=\pi _{n}(B\operatorname {GL} (R)^{+}\times K_{0}(R))}$

Dado que BGL ( R ) ⁺ está conectado por trayectoria y K ₀ ( R ) es discreto, esta definición no difiere en grados superiores y también es válida para n  = 0.

ElQ-construcción

La construcción Q da los mismos resultados que la construcción +, pero se aplica en situaciones más generales. Además, la definición es más directa en el sentido de que los grupos K , definidos mediante la construcción Q , son funcionales por definición. Este hecho no es automático en la construcción plus.

Supóngase que es una categoría exacta ; asociada a una nueva categoría se definen objetos de los cuales son aquellos de y los morfismos de M ′ a M ″ son clases de isomorfismo de diagramas ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle QP}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle M'\longleftarrow N\longrightarrow M'',}$

donde la primera flecha es un epimorfismo admisible y la segunda flecha es un monomorfismo admisible . Nótese que los morfismos en son análogos a las definiciones de morfismos en la categoría de motivos , donde los morfismos se dan como correspondencias tales que ${\displaystyle QP}$ ${\displaystyle Z\subset X\times Y}$

${\displaystyle X\leftarrow Z\rightarrow Y}$

es un diagrama donde la flecha de la izquierda es una función de recubrimiento (por lo tanto, sobreyectiva) y la flecha de la derecha es inyectiva. Esta categoría se puede convertir en un espacio topológico utilizando la construcción del espacio de clasificación , que se define como la realización geométrica del nervio de . Entonces, el i-ésimo K -grupo de la categoría exacta se define como ${\displaystyle BQP}$ ${\displaystyle QP}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle K_{i}(P)=\pi _{i+1}(\mathrm {BQ} P,0)}$

con un objeto cero fijo . Nótese que el espacio de clasificación de un grupoide mueve los grupos de homotopía un grado hacia arriba, de ahí el cambio en grados para ser de un espacio. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle B{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i+1}}$

Esta definición coincide con la definición anterior de K ₀ ( P ). Si P es la categoría de R -módulos proyectivos finitamente generados , esta definición concuerda con la definición BGL ⁺ anterior de K _n ( R ) para todo n . De manera más general, para un esquema X , los K -grupos superiores de X se definen como los K -grupos de (la categoría exacta de) haces coherentes localmente libres en X .

También se utiliza la siguiente variante de esto: en lugar de módulos proyectivos finitamente generados (= localmente libres), tome módulos finitamente generados. Los K -grupos resultantes generalmente se escriben G _n ( R ). Cuando R es un anillo regular noetheriano , entonces la teoría G y K coinciden. De hecho, la dimensión global de los anillos regulares es finita, es decir, cualquier módulo finitamente generado tiene una resolución proyectiva finita P _* → M , y un argumento simple muestra que la función canónica K ₀ (R) → G ₀ (R) es un isomorfismo , con [ M ]=Σ ± [ P _n ]. Este isomorfismo se extiende también a los K -grupos superiores .

ElS-construcción

Una tercera construcción de los grupos de la teoría K es la construcción S , debida a Waldhausen . ^[86] Se aplica a categorías con cofibraciones (también llamadas categorías de Waldhausen ). Este es un concepto más general que las categorías exactas.

Ejemplos

Si bien la teoría K algebraica de Quillen ha proporcionado una comprensión profunda de varios aspectos de la geometría y la topología algebraicas, los grupos K han demostrado ser particularmente difíciles de calcular, excepto en unos pocos casos aislados pero interesantes. (Véase también: Grupos K de un cuerpo ).

AlgebraicoK-grupos de campos finitos

El primero y uno de los cálculos más importantes de los K -grupos algebraicos superiores de un anillo fueron realizados por el propio Quillen para el caso de cuerpos finitos :

Si F _q es el campo finito con q elementos, entonces:

• K ₀ ( F _q ) = Z ,
• K _{2 i} ( F _q ) = 0 para i ≥1,
• K _{2 i –1} ( F _q ) = Z /( q ⁱ  − 1) Z para i  ≥ 1. 

Rick Jardine  (1993) reprendió el cálculo de Quillen utilizando métodos diferentes.

AlgebraicoK-grupos de anillos de números enteros

Quillen demostró que si A es el anillo de los números enteros algebraicos en un cuerpo de números algebraicos F (una extensión finita de los racionales), entonces los K-grupos algebraicos de A se generan de manera finita. Armand Borel utilizó esto para calcular K _i ( A ) y K _i ( F ) módulo torsión. Por ejemplo, para los números enteros Z , Borel demostró que (módulo torsión)

• K _i ( Z )/tors.=0 para i positivo a menos que i=4k+1 con k positivo
• K _{4 k +1} ( Z )/tors.= Z para k positivo .

Recientemente se han determinado los subgrupos de torsión de K _{2 i +1} ( Z ) y los órdenes de los grupos finitos K _{4 k +2} ( Z ), pero si estos últimos grupos son cíclicos y si los grupos K _{4 k} ( Z ) se anulan depende de la conjetura de Vandiver sobre los grupos de clases de los números enteros ciclotómicos. Véase la conjetura de Quillen–Lichtenbaum para más detalles.

Solicitudes y preguntas abiertas

Los grupos K algebraicos se utilizan en conjeturas sobre valores especiales de funciones L y en la formulación de una conjetura principal no conmutativa de la teoría de Iwasawa y en la construcción de reguladores superiores . ^[69]

La conjetura de Parshin se refiere a los K -grupos algebraicos superiores para variedades suaves sobre cuerpos finitos, y establece que en este caso los grupos se desvanecen hasta la torsión.

Otra conjetura fundamental debida a Hyman Bass ( la conjetura de Bass ) dice que todos los grupos G _n ( A ) son finitamente generados cuando A es una Z -álgebra finitamente generada . (Los grupos G _n ( A ) son los K -grupos de la categoría de A -módulos finitamente generados) ^[87]

Véase también

• Teoría K aditiva
• Fórmula de Bloch
• Teorema fundamental de la teoría K algebraica
• Teoremas básicos de la teoría K algebraica
• Teoría K
• Teoría K de una categoría
• Grupo K de un campo
• Espectro de la teoría K
• Conjetura del corrimiento al rojo
• Teoría K topológica
• Rigidez ( teoría K )

Notas

1. Weibel 1999
2. Grothendieck 1957, Borel–Serre 1958
3. Atiyah-Hirzebruch 1961
4. Whitehead 1939, Whitehead 1941, Whitehead 1950
5. Bajo–Schanuel 1962
6. Bajo 1968
7. Bass-Murthy 1967
8. Caroubi 1968
9. Steinberg 1962
10. Milnor 1971
11. Matsumoto 1969
12. Cisne 1968
13. Gersten 1969
14. Nobile–Villamayor 1968
15. Karoubi–Villamayor 1971
16. Milnor 1970
17. Milnor 1970, pág. 319
18. Nesterenko-Suslin 1990
19. Totaro 1992
20. Thomason 1992
21. Quillen 1971
22. Segal 1974
23. Muro 1965
24. Siebenmann 1965
25. Smale 1962
26. Mazur 1963
27. Barden 1963
28. Cerf 1970
29. Hatcher y Wagoner 1973
30. Waldhausen 1978
31. Waldhausen 1985
32. Brown-Gersten 1973
33. Bloch 1974
34. Quillen 1973
35. Quillen 1975
36. Browder 1976
37. Soulé 1979
38. Dwyer-Friedlander 1982
39. Thomason 1985
40. Thomason y Trobaugh 1990
41. Dennis 1976
42. Bokstedt 1986
43. Bokstedt-Hsiang-Madsen 1993
44. Dundas–Goodwillie–McCarthy 2012
45. Rosenberg (1994) pág. 30
46. Milnor (1971) pág. 5
47. Milnor (1971) pág. 14
48. Karoubi, Max (2008), K-Theory: an Introduction , Clásicos en matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-79889-7, véase el teorema I.6.18
49. Rosenberg (1994) 1.5.1, pág. 27
50. Rosenberg (1994) 1.5.3, pág. 27
51. Milnor (1971) pág. 15
52. JHC Whitehead, Tipos de homotopía simples Amer. J. Math., 72 (1950) págs. 1–57
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55. Rosenberg (1994) Teorema 2.3.2, p.74
56. Rosenberg (1994) pág. 75
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58. Rosenberg (1994) pág. 78
59. Gille y Szamuely (2006) p.47
60. Gille y Szamuely (2006) p.48
61. Wang, Shianghaw (1950), "Sobre el grupo conmutador de un álgebra simple", Am. J. Math. , 72 (2): 323–334, doi :10.2307/2372036, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372036, Zbl  0040.30302
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64. Milnor (1971) pág. 101
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66. Gras (2003) pág. 205
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68. Milnor (1971) pág. 81
69. Lemmermeyer (2000) pág. 385
70. Silvester (1981) pág. 228
71. Hideya Matsumoto
72. Matsumoto, Hideya (1969), "Sur les sous-groupes arithmétiques des groupes semi-simples déployés", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4 (en francés), 2 (2): 1–62, doi : 10.24033 /asens.1174 , ISSN  0012-9593, SEÑOR  0240214, Zbl  0261.20025
73. Rosenberg (1994) Teorema 4.3.15, p.214
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75. Rosenberg (1994) pág. 200
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77. Milnor (1971) pág. 69
78. (Weibel 2005), cf. Lema 1.8
79. Gille y Szamuely (2006) p.184
80. Gille y Szamuely (2006) p.108
81. Voevodsky, Vladimir (2003), "Cohomología motívica con coeficientes Z /2", Institut des Hautes Études Scientifiques. Publicaciones Mathématiques , 98 (1): 59–104, doi :10.1007/s10240-003-0010-6, ISSN  0073-8301, SEÑOR  2031199
82. Rosenberg (1994) págs. 245-246
83. Rosenberg (1994) pág. 246
84. Rosenberg (1994) pág. 289
85. "ag.geometría algebraica - La motivación de Quillen para la teoría K algebraica superior", MathOverflow , consultado el 26 de marzo de 2021
86. Waldhausen, Friedhelm (1985), "Teoría K algebraica de espacios", Teoría K algebraica de espacios , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1126, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 318–419, doi :10.1007/BFb0074449, ISBN 978-3-540-15235-4, Sr.  0802796Véase también la Lección IV y las referencias en (Friedlander y Weibel 1999)
87. (Friedlander y Weibel 1999), Conferencia VI

Referencias

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• Quillen, Daniel (1975), "Higher algebraic K-theory", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Vancouver, BC, 1974), Vol. 1 , Montreal, Quebec: Canad. Math. Congress, págs. 171–176, MR  0422392(Construcción Q de Quillen)
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Lectura adicional

• Lluís-Puebla, Emilio; Loday, Jean-Louis; Gillet, Henri; Soulé, Christophe; Snaith, Victor (1992), Teoría K algebraica superior: una descripción general , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1491, Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-55007-5, Zbl0746.19001 ​
• Magurn, Bruce A. (2009), Una introducción algebraica a la teoría K , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 87 (edición de bolsillo corregida), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-10658-0
• Srinivas, V. (2008), Teoría K algebraica , Modern Birkhäuser Classics (reimpresión en rústica de la segunda edición de 1996), Boston, MA: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0, Zbl1125.19300 ​
• Weibel, C., El libro K: Una introducción a la teoría K algebraica

Referencias pedagógicas

• Teoría K algebraica superior: una visión general
• Rosenberg, Jonathan (1994), Teoría K algebraica y sus aplicaciones, Textos de posgrado en matemáticas , vol. 147, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-4314-4, ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290, Zbl  0801.19001. Fe de erratas
• Weibel, Charles (2013), El libro K: una introducción a la teoría K algebraica, Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 145, AMS

Referencias históricas

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• Waldhausen, F., Teoría K algebraica de espacios , en Topología algebraica y geométrica (New Brunswick, NJ, 1983) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1126 (1985), 318–419.
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• Whitehead, JHC (1950), "Tipos de homotopía simples", Amer. J. Math. , 72 (1): 1–57, doi :10.2307/2372133, JSTOR  2372133
• Whitehead, JHC (1939), "Espacios simpliciales, núcleos y grupos m", Proc. London Math. Soc. , 45 : 243–327, doi :10.1112/plms/s2-45.1.243

Enlaces externos

• Archivo de preimpresiones de la teoría K