En matemáticas , la conjetura de Kummer-Vandiver , o conjetura de Vandiver , establece que un primo p no divide el número de clase h K del subcampo real máximo del p -ésimo campo ciclotómico . La conjetura fue formulada por primera vez por Ernst Kummer el 28 de diciembre de 1849 y el 24 de abril de 1853 en cartas a Leopold Kronecker , reimpresa en (Kummer 1975, páginas 84, 93, 123-124) y redescubierta de forma independiente alrededor de 1920 por Philipp Furtwängler y Harry Vandiver ( 1946, pág.576),
En 2011, no hay pruebas particularmente sólidas a favor o en contra de la conjetura y no está claro si es verdadera o falsa, aunque es probable que los contraejemplos sean muy raros.
El número de clase h del campo ciclotómico es un producto de dos números enteros h 1 y h 2 , llamados primer y segundo factor del número de clase, donde h 2 es el número de clase del subcampo real máximo del p -ésimo campo ciclotómico. . El primer factor h 1 se comprende bien y se puede calcular fácilmente en términos de números de Bernoulli y suele ser bastante grande. El segundo factor h 2 no se comprende bien y es difícil de calcular explícitamente, y en los casos en que se ha calculado suele ser pequeño.
Kummer demostró que si un primo p no divide al número de clase h , entonces el último teorema de Fermat es válido para el exponente p .
La conjetura de Kummer-Vandiver establece que p no divide al segundo factor h 2 . Kummer demostró que si p divide al segundo factor, entonces también divide al primer factor. En particular, la conjetura de Kummer-Vandiver es válida para los números primos regulares (aquellos para los cuales p no divide al primer factor).
Kummer verificó la conjetura de Kummer-Vandiver para p menor que 200, y Vandiver la extendió a p menor que 600. Joe Buhler, Richard Crandall y Reijo Ernvall et al. (2001) lo verificaron para p < 12 millones. Buhler y Harvey (2011) ampliaron esto a primos menores de 163 millones, y Hart, Harvey y Ong (2017) lo ampliaron a primos menores de 2 31 .
Washington (1996, p. 158) describe un argumento de probabilidad informal, basado en suposiciones bastante dudosas sobre la equidistribución de los números de clase mod p , sugiriendo que el número de primos menores que x que son excepciones a la conjetura de Kummer-Vandiver podría crecer como ( 1/2)log log x . Esto crece extremadamente lentamente y sugiere que los cálculos por computadora no proporcionan mucha evidencia para la conjetura de Vandiver: por ejemplo, el argumento de la probabilidad (combinado con los cálculos para números primos pequeños) sugiere que solo se debe esperar alrededor de 1 contraejemplo en los primeros 10 100 números primos. , lo que sugiere que es poco probable que se encuentre algún contraejemplo mediante búsquedas adicionales de fuerza bruta, incluso si hay un número infinito de excepciones.
Schoof (2003) dio cálculos conjeturales de los números de clase de campos ciclotómicos reales para números primos hasta 10000, lo que sugiere fuertemente que los números de clase no están distribuidos aleatoriamente mod p . Suelen ser bastante pequeños y, a menudo, son solo 1. Por ejemplo, suponiendo la hipótesis de Riemann generalizada , el número de clase del campo ciclotómico real para el primo p es 1 para p <163 y divisible por 4 para p =163. Esto sugiere que el argumento informal de probabilidad de Washington contra la conjetura puede ser engañoso.
Mihăilescu (2010) ofreció una versión refinada del argumento heurístico de Washington, sugiriendo que la conjetura de Kummer-Vandiver probablemente sea cierta.
Kurihara (1992) demostró que la conjetura es equivalente a una afirmación de la teoría K algebraica de los números enteros, es decir, que K n ( Z ) = 0 siempre que n sea múltiplo de 4. De hecho, a partir de la conjetura de Kummer-Vandiver y la el teorema del isomorfismo del residuo de norma sigue un cálculo conjetural completo de los K -grupos para todos los valores de n ; consulte la conjetura de Quillen-Lichtenbaum para obtener más detalles.
