categoría Waldhausen

En matemáticas , una categoría de Waldhausen es una categoría C equipada con algunos datos adicionales, lo que permite construir el espectro de la teoría K de C mediante la llamada construcción S. Lleva el nombre de Friedhelm Waldhausen , quien introdujo esta noción (bajo el término categoría con cofibraciones y equivalencias débiles ) para extender los métodos de la teoría K algebraica a categorías no necesariamente de origen algebraico, por ejemplo la categoría de espacios topológicos .

Definición

Sea C una categoría, co( C ) y nosotros ( C ) dos clases de morfismos en C , llamados cofibraciones y equivalencias débiles respectivamente. La tripleta ( C , co( C ), we( C )) se llama categoría de Waldhausen si satisface los siguientes axiomas, motivados por las propiedades similares para las nociones de cofibraciones y equivalencias de homotopía débil de espacios topológicos:

• C tiene un objeto cero , denotado por 0;
• los isomorfismos están incluidos tanto en co( C ) como en we( C );
• co( C ) y we( C ) están cerrados bajo composición;
• para cada objeto A ∈ C el mapa único 0 → A es una cofibración, es decir, es un elemento de co( C );
• co( C ) y we( C ) son compatibles con las expulsiones en cierto sentido.

Por ejemplo, si es una cofibración y es cualquier mapa, entonces debe existir un pushout y el mapa natural debería ser una cofibración: ${\displaystyle \scriptstyle A\,\rightarrowtail \,B}$ ${\displaystyle \scriptstyle A\,\to \,C}$ ${\displaystyle \scriptstyle B\,\cup _{A}\,C}$ ${\displaystyle \scriptstyle C\,\rightarrowtail \,B\,\cup _{A}\,C}$

Relaciones con otras nociones

En la teoría K algebraica y la teoría de la homotopía existen varias nociones de categorías equipadas con algunas clases específicas de morfismos. Si C tiene una estructura de una categoría exacta , entonces al definir we( C ) como isomorfismos, co( C ) como monomorfismos admisibles, se obtiene una estructura de una categoría de Waldhausen en C. Ambos tipos de estructura pueden usarse para definir la teoría K de C , usando la construcción Q para una estructura exacta y la construcción S para una estructura de Waldhausen. Un hecho importante es que los espacios resultantes de la teoría K son equivalentes en homotopía.

Si C es una categoría de modelo con un objeto cero, entonces a la subcategoría completa de objetos cofibrantes en C se le puede dar una estructura de Waldhausen.

Construcción en S

La construcción S de Waldhausen produce a partir de una categoría C de Waldhausen una secuencia de complejos Kan , que forma un espectro . Denotemos el espacio de bucle de la realización geométrica de . Entonces el grupo ${\displaystyle S_{n}(C)}$ ${\displaystyle K(C)}$ ${\displaystyle |S_{*}(C)|}$ ${\displaystyle S_{*}(C)}$

${\displaystyle \pi _{n}K(C)=\pi _{n+1}|S_{*}(C)|}$

es el n -ésimo grupo K de C . Por tanto, proporciona una forma de definir grupos K superiores . Otro enfoque para la teoría K superior es la construcción Q de Quillen .

La construcción se debe a Friedhelm Waldhausen .

biWaldhausen categorias

Una categoría C está equipada con bifibraciones si tiene cofibraciones y su categoría opuesta C ^OP también las tiene. En ese caso, denotamos las fibraciones de COP ^OP por quot( C ). En ese caso, C es una categoría biWaldhausen si C tiene bifibraciones y equivalencias débiles tales que tanto ( C , co( C ), we) como ( CO ^OP , quot( C ), we ^OP ) son categorías de Waldhausen.

Las categorías de Waldhausen y biWaldhausen están vinculadas con la teoría K algebraica . Allí, muchas categorías interesantes son categorías cómplices de biWaldhausen. Por ejemplo: la categoría de complejos de cadena acotada en una categoría exacta . La categoría de functores cuando es así. Y dado un diagrama , entonces es una buena categoría cómplice de biWaldhausen cuando lo es. ${\displaystyle \scriptstyle C^{b}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle S_{n}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Ar} (\Delta ^{n})\,\to \,{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle I}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}^{I}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {C}}}$

Referencias

• Waldhausen, Friedhelm (1985), "Teoría K algebraica de espacios", Topología algebraica y geométrica (New Brunswick, Nueva Jersey, 1983 (PDF) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1126, Berlín: Springer, págs. 318–419, doi :10.1007/BFb0074449, ISBN 978-3-540-15235-4, señor  0802796
• C. Weibel, The K-book, una introducción a la teoría K algebraica - http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Kbook.html
• G. Garkusha, Sistemas de categorías de diagramas y teoría K - https://arxiv.org/abs/math/0401062
• Sagave, S. (2004). "Sobre la teoría K algebraica de categorías de modelos". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 190 (1–3): 329–340. doi :10.1016/j.jpaa.2003.11.002.
• Lurie, Jacob , Teoría K superior de categorías ∞ (Conferencia 16) (PDF)

Ver también

• Espacio Segal completo

enlaces externos

• "Construcción S Waldhausen". nLaboratorio .