Descenso fielmente plano

Técnica de geometría algebraica

El descenso fielmente plano es una técnica de geometría algebraica que permite extraer conclusiones sobre objetos en el objetivo de un morfismo fielmente plano . Estos morfismos, que son planos y sobreyectivos, son comunes; un ejemplo proviene de una cubierta abierta.

En la práctica, desde un punto de vista afín, esta técnica permite probar alguna afirmación sobre un anillo o esquema después de un cambio de base fielmente plano.

El descenso fielmente plano "vanilla" es generalmente falso; en cambio, el descenso fielmente plano es válido bajo algunas condiciones de finitud (por ejemplo, cuasi-compacto o localmente de presentación finita).

Un descenso fielmente plano es un caso especial del teorema de monadicidad de Beck . ^[1]

Idea

Dado un homomorfismo de anillo fielmente plano , la descendencia fielmente plana es, aproximadamente, la afirmación de que dar un módulo o un álgebra sobre A es dar un módulo o un álgebra sobre junto con el llamado dato (o datos) de descendencia. Es decir, se pueden descender los objetos (o incluso las afirmaciones) sobre a siempre que se proporcionen algunos datos adicionales. ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Por ejemplo, dados algunos elementos que generan el ideal unitario de A , es fielmente plano sobre . Geométricamente, es una cubierta abierta de y por lo tanto descender un módulo de a significaría pegar módulos en para obtener un módulo en A ; el dato descendente en este caso equivale al dato de pegado; es decir, cómo se identifican en las superposiciones . ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}$ ${\displaystyle B=\prod _{i}A[f_{i}^{-1}]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B)=\bigcup _{i=1}^{r}\operatorname {Spec} (A[f_{i}^{-1}])}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle A[f_{i}^{-1}]}$ ${\displaystyle M_{i},M_{j}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A[f_{i}^{-1},f_{j}^{-1}])}$

Caso afín

Sea un homomorfismo de anillo fielmente plano . Dado un -módulo , obtenemos el -módulo y como es fielmente plano, tenemos la inclusión . Además, tenemos el isomorfismo de -módulos que se induce por el isomorfismo y que satisface la condición de cociclo: ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N=M\otimes _{A}B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle M\hookrightarrow M\otimes _{A}B}$ ${\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}$ ${\displaystyle B^{\otimes 2}}$ ${\displaystyle B^{\otimes 2}\simeq B^{\otimes 2},x\otimes y\mapsto y\otimes x}$

${\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}}$

donde se dan como: ^[2] ${\displaystyle \varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}}$

${\displaystyle \varphi ^{0}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{1}(b)\varphi (n\otimes c)}$

${\displaystyle \varphi ^{1}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{2}(b)\varphi (n\otimes c)}$

${\displaystyle \varphi ^{2}(n\otimes b\otimes c)=\varphi (n\otimes b)\otimes c}$

con . Nótese que los isomorfismos están determinados únicamente por y no involucran ${\displaystyle \rho ^{i}(x)(y_{0}\otimes \cdots \otimes y_{r})=y_{0}\cdots y_{i-1}\otimes x\otimes y_{i}\cdots y_{r}}$ ${\displaystyle \varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M.}$

Ahora bien, la forma más básica de descenso fielmente plano dice que la construcción anterior se puede revertir; es decir, dado un módulo y un isomorfismo de módulo tal que , un submódulo invariante: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B^{\otimes 2}}$ ${\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}$ ${\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}}$

${\displaystyle M=\{n\in N|\varphi (n\otimes 1)=n\otimes 1\}\subset N}$

es tal que . ^[3] ${\displaystyle M\otimes B=N}$

Aquí está la definición precisa del dato de descendencia. Dado un homomorfismo de anillo , escribimos: ${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle d^{i}:B^{\otimes n}\to B^{\otimes {n+1}}}$

para el mapa dado al insertar en el i -ésimo lugar; es decir, se da como , como , etc. También escribimos para tensor sobre cuando se da la estructura del módulo por . ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle d^{0}}$ ${\displaystyle B^{\otimes n}\simeq A\otimes _{A}B^{\otimes n}\to B\otimes _{A}B^{\otimes n}=B^{\otimes {n+1}}}$ ${\displaystyle d^{1}}$ ${\displaystyle B^{\otimes n}\simeq B\otimes A\otimes B^{\otimes n-1}\to B^{\otimes {n+1}}}$ ${\displaystyle -\otimes _{d^{i}}B^{\otimes {n+1}}}$ ${\displaystyle B^{\otimes n}}$ ${\displaystyle B^{\otimes {n+1}}}$ ${\displaystyle d^{i}}$

Dato de descenso  —  Dado un homomorfismo de anillo , un dato de descenso en un módulo N en es un isomorfismo de -módulo ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\otimes 2}}$

${\displaystyle \varphi :N\otimes _{d^{1}}B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}}$

que satisface la condición de cociclo: ^[4] es lo mismo que la composición . ${\displaystyle \varphi \otimes _{d^{1}}B^{\otimes 3}}$ ${\displaystyle \varphi \otimes _{d^{0}}B^{\otimes 3}\circ \varphi \otimes _{d^{2}}B^{\otimes 3}}$

Ahora, dado un módulo con un dato de descenso , definamos que es el núcleo de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d^{0}-\varphi \circ d^{1}:N\to N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}}$.

Considere el mapa natural

${\displaystyle M\otimes B\to N,\,x\otimes a\mapsto xa}$.

El punto clave es que este mapa es un isomorfismo si es fielmente plano. ^[5] Esto se ve considerando lo siguiente: ${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle {\begin{array}{lccclcl}0&\to &M\otimes _{A}B&\to &\quad N\otimes _{A}B&{\xrightarrow {d^{0}-\varphi \circ d^{1}}}&N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}\otimes _{A}B\\&&\downarrow &&\varphi \circ d^{1}\downarrow &&\quad \downarrow \varphi \otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\circ d^{2}\\0&\to &N&\to &\quad N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}&{\xrightarrow {d^{0}-d^{1}}}&N\otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\\\end{array}}}$

donde la fila superior es exacta por la planitud de B sobre A y la fila inferior es el complejo de Amitsur , que es exacto por un teorema de Grothendieck. La condición de cociclo asegura que el diagrama anterior sea conmutativo . Dado que el segundo y el tercer mapa vertical son isomorfismos, también lo es el primero.

Lo anterior se puede resumir simplemente de la siguiente manera:

Teorema  —  Dado un homomorfismo de anillo fielmente plano , el funtor ${\displaystyle A\to B}$

${\displaystyle M\mapsto (M\otimes _{A}B,\varphi )}$

de la categoría de módulos A a la categoría de pares constituidos por un módulo B N y un dato de descendencia sobre él hay una equivalencia. ${\displaystyle (N,\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$

Descenso de Zariski

La descendencia Zariski se refiere simplemente al hecho de que se puede obtener un haz cuasi coherente al pegarlos en una cubierta (Zariski-)abierta. Es un caso especial de una descendencia fielmente plana, pero se utiliza con frecuencia para reducir el problema de la descendencia al caso afín.

En detalle, denotemos la categoría de haces cuasi-coherentes en un esquema X . Entonces la descendencia de Zariski establece que, dados haces cuasi-coherentes en subconjuntos abiertos con isomorfismos y tales que (1) y (2) en , entonces existe un único haz cuasi-coherente en X tal que de manera compatible (es decir, se restringe a ). ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh(X)}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\subset X}$ ${\displaystyle X=\bigcup U_{i}}$ ${\displaystyle \varphi _{ij}:F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\sim }{\to }}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$ ${\displaystyle \varphi _{ii}=\operatorname {id} }$ ${\displaystyle \varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F|_{U_{i}}\simeq F_{i}}$ ${\displaystyle F|_{U_{j}}\simeq F_{j}}$ ${\displaystyle F|_{U_{i}\cap U_{j}}\simeq F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\varphi _{ij}}{\underset {\sim }{\to }}}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$

En un lenguaje sofisticado, la descendencia de Zariski establece que, con respecto a la topología de Zariski, es una pila ; es decir, una categoría equipada con el funtor la categoría de esquemas (relativos) que tiene una teoría de descendencia efectiva. Aquí, denotemos la categoría que consiste en pares que consisten en un subconjunto (Zariski)-abierto U y un haz cuasi-coherente en él y el funtor olvidadizo . ${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle p:{\mathcal {C}}\to }$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}$ ${\displaystyle (U,F)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (U,F)\mapsto U}$

Descenso para haces cuasi coherentes

Hay una declaración sucinta del resultado principal en esta área: (el preapilamiento de haces cuasi-coherentes sobre un esquema S significa que, para cualquier S -esquema X , cada punto X del preapilamiento es un haz cuasi-coherente sobre X ).

Teorema  :  El preapilamiento de haces cuasi-coherentes sobre un esquema base S es una pila con respecto a la topología fpqc . ^[7]

La prueba utiliza la descendencia de Zariski y la descendencia fielmente plana en el caso afín.

En este caso no se puede eliminar el concepto de “cuasi-compacto”. ^[8]

Ejemplo: un espacio vectorial

Sea F una extensión finita del campo de Galois de un campo k . Entonces, para cada espacio vectorial V sobre F ,

${\displaystyle V\otimes _{k}F\simeq \prod _{\sigma }V,\,v\otimes a\mapsto \sigma (a)v}$

donde el producto recorre los elementos del grupo de Galois de . ${\displaystyle F/k}$

Descensos específicos

descenso fpqc

Descendencia de Étale

Una descendencia étale es consecuencia de una descendencia fiel.

Descendiente de Galois

Véase también

• Complejo Amitsur
• Esquema de Hilbert
• Sistema de cuotas

Notas

1. Deligne, Pierre (1990), Catégories Tannakiennes, Grothendieck Festschrift, vol. II , Progreso en Matemáticas, vol. 87, Birkhäuser, págs. 111-195
2. Waterhouse 1979, § 17.1.
3. Waterhouse 1979, § 17.2.
4. Vistoli 2008, § 4.2.1. NB: en la referencia, el índice comienza con 1 en lugar de 0.
5. SGA I, Exposición VIII, Punto 1.6.
6. Hartshorne 1977, Cap. II, Ejercicio 1.22.; NB: dado que "cuasi-coherente" es una propiedad local, al pegar haces cuasi-coherentes se obtiene uno cuasi-coherente.
7. Fantechi, Barbara (2005). Geometría algebraica fundamental: explicación de la geometría algebraica fundamental de Grothendieck. American Mathematical Soc., pág. 82. ISBN 9780821842454. Recuperado el 3 de marzo de 2018 .
8. Benoist, Olivier. "Contraejemplo de un descenso fielmente plano".{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

Referencias

• SGA 1 , Exposé VIII – esta es la referencia principal (pero depende de un resultado de Giraud (1964), que reemplazó (en forma mucho más general) al inédito Exposé VII de SGA1)
• Deligne, P. (2007), "Catégories tannakiennes", The Grothendieck Festschrift, Volumen II , Modern Birkhäuser Classics, págs. 111-195, doi :10.1007/978-0-8176-4575-5_3, ISBN 978-0-8176-4567-0
• Giraud, Jean (1964), "Méthode de la descent", Mémoires de la Société Mathématique de France , 2 : 1–150, doi : 10.24033/msmf.2 , SEÑOR  0190142
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Street, Ross (2004), "Aspectos categóricos y combinatorios de la teoría de la descendencia", Applied Categorical Structures , 12 (5–6): 537–576, arXiv : math/0303175 , doi :10.1023/B:APCS.0000049317.24861.36(una discusión detallada de una categoría 2)
• Vistoli, Angelo (2 de septiembre de 2008). "Notas sobre topologías de Grothendieck, categorías fibrosas y teoría de la descendencia" (PDF) .
• Waterhouse, William (1979), Introducción a los esquemas de grupos afines , Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-6217-6, ISBN 978-0-387-90421-4, Sr.  0547117