Teorema de la monadicidad de Beck

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , el teorema de monadicidad de Beck da un criterio que caracteriza a los functores monádicos , introducido por Jonathan Mock Beck  (2003) alrededor de 1964. A menudo se expresa en forma dual para los comonadas . A veces se le llama teorema de tripleabilidad de Beck debido al término antiguo triple para una mónada.

El teorema de la monadicidad de Beck afirma que un functor

${\displaystyle U:C\to D}$

es monádico si y sólo si ^[1]

1. U tiene un adjunto izquierdo ;
2. U refleja isomorfismos (si U ( f ) es un isomorfismo, entonces también lo es f ); y
3. C tiene coecualizadores de pares paralelos divididos en U (esos pares paralelos de morfismos en C , que U envía a pares que tienen un coecualizador dividido en D ), y U conserva esos coecualizadores.

Existen varias variaciones del teorema de Beck: si U tiene un adjunto izquierdo, cualquiera de las siguientes condiciones garantiza que U sea monádico:

• U refleja isomorfismos y C tiene coecualizadores de pares reflexivos (aquellos con un inverso derecho común) y U conserva esos coecualizadores. (Esto da como resultado el crudo teorema de la monadicidad).
• Cada diagrama en C que U envía a una secuencia de coecualizador dividida en D es en sí misma una secuencia de coecualizador en C. En otras palabras, U crea (conserva y refleja) secuencias de coecualizador divididas en U.

Otra variación del teorema de Beck caracteriza a los funtores estrictamente monádicos: aquellos para los cuales el funtor de comparación es un isomorfismo en lugar de simplemente una equivalencia de categorías . Para esta versión, las definiciones de lo que significa crear coecualizadores cambian ligeramente: el coecualizador tiene que ser único en lugar de simplemente único hasta el isomorfismo.

El teorema de Beck es particularmente importante en su relación con la teoría de la descendencia , que juega un papel en la teoría de gavillas y pilas , así como en el enfoque de Alexander Grothendieck sobre la geometría algebraica . La mayoría de los casos de descenso fielmente plano de estructuras algebraicas (por ejemplo, los de FGA y SGA1 ) son casos especiales del teorema de Beck. El teorema ofrece una descripción categórica exacta del proceso de "descenso" en este nivel. En 1970, Jean Bénabou y Jacques Roubaud demostraron que el enfoque de Grothendieck a través de categorías fibradas y datos de descendencia era equivalente (bajo algunas condiciones) al enfoque de comonada. En un trabajo posterior, Pierre Deligne aplicó el teorema de Beck a la teoría de categorías de Tannak , simplificando enormemente los desarrollos básicos.

Ejemplos

• El funtor olvidadizo de espacios topológicos a conjuntos no es monádico ya que no refleja isomorfismos: las biyecciones continuas entre espacios topológicos (no compactos o no de Hausdorff) no tienen por qué ser homeomorfismos.
• Negrepontis (1971, §1) muestra que el funtor de álgebras C* conmutativas a conjuntos que envían dicho álgebra A a la unidad bola , es decir, el conjunto , es monádico. Negrepontis también deduce la dualidad de Gelfand , es decir, de esto se puede deducir la equivalencia de categorías entre la categoría opuesta de espacios compactos de Hausdorff y las álgebras C* conmutativas. ${\displaystyle \{a\in A,\|a\|\leq 1\}}$
• El functor powerset de Set ^op a Set es monádico, donde Set es la categoría de conjuntos. De manera más general, el teorema de Beck se puede utilizar para demostrar que el funtor de conjunto de potencias de Top ^a T es monádico para cualquier topos T, que a su vez se utiliza para demostrar que el topos T tiene colimits finitos.
• El funtor olvidadizo de semigrupos a conjuntos es monádico. Este funtor no preserva coecualizadores arbitrarios, lo que muestra que es necesaria alguna restricción sobre los coecualizadores en el teorema de Beck si se quieren tener condiciones que sean necesarias y suficientes.
• Si B es un anillo conmutativo fielmente plano sobre el anillo conmutativo A , entonces el funtor T de módulos A a módulos B tomando M a B ⊗ _A M es comonádico. Esto se desprende del dual del teorema de Beck, ya que la condición de que B sea plano implica que T conserva límites, mientras que la condición de que B sea fielmente plano implica que T refleja isomorfismos. Una coalgebra sobre T resulta ser esencialmente un módulo B con datos de descenso, por lo que el hecho de que T sea comonádico es equivalente al teorema principal del descenso fielmente plano, que dice que los módulos B con descenso son equivalentes a los módulos A. ^[2]

enlaces externos

• teorema de la monadicidad en el laboratorio n
• descenso monádico en el n Lab

Referencias

1. Pedicchio y Tholen 2004, pag. 228
2. Deligne 1990, §4.2

• Balmer, Paul (2012), "Descenso en categorías trianguladas", Mathematische Annalen , 353 (1): 109–125, doi :10.1007/s00208-011-0674-z, MR  2910783, S2CID  121964355
• Barr, M.; Wells, C. (2013) [1985], Triples, topos y teorías , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 278, Springer, ISBN 9781489900234pdf
• Beck, Jonathan Mock (2003) [1967], "Triples, algebras and cohomology" (PDF) , Reimpresiones en teoría y aplicaciones de categorías , tesis doctoral de la Universidad de Columbia, 2 : 1–59, MR  1987896
• Benabou, Jean ; Roubaud, Jacques (12 de enero de 1970), "Monades et descente", CR Acad. Ciencia. París , 270 (A): 96–98
• Leinster, Tom (2013), "Codensidad y la mónada ultrafiltro", Teoría y aplicaciones de categorías , 28 : 332–370, arXiv : 1209.3606 , Bibcode : 2012arXiv1209.3606L
• Negrepontis, Joan W. (1971), "Dualidad en el análisis desde el punto de vista de las ternas", Journal of Algebra , 19 (2): 228–253, doi : 10.1016/0021-8693(71)90105-0 , ISSN  0021-8693, SEÑOR  0280571
• Pavlović, Duško (1991), "Interpolación categórica: descenso y condición de Beck-Chevalley sin imágenes directas", en Carboni, A.; Pedicchio, MC; Rosolini, G. (eds.), Teoría de categorías , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1488, Springer, págs. 306–325, doi :10.1007/BFb0084229, ISBN 978-3-540-54706-8
• Deligne, Pierre (1990), Catégories Tannakiennes, Grothendieck Festschrift, vol. II , Progreso en Matemáticas, vol. 87, Birkhäuser, págs. 111-195
• Grothendieck, A. (1962), "Fondements de la géométrie algébrique", [Extraits du Séminaire Bourbaki, 1957—1962] , París: Secrétariat Math., MR  0146040
• Grothendieck, A.; Raynaud, M. (1971), Revêtements Etales et Groupe Fondamental , Lecture Notes in Mathematics, vol. 224, Springer, arXiv : math.AG/0206203 , doi : 10.1007/BFb0058656, ISBN 978-3-540-36910-3
• Borceux, Francis (1994), Teoría básica de categorías, Manual de álgebra categórica, vol. 1, Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 978-0-521-44178-0(3 volúmenes).
• Fantechi, Bárbara; Göttsche, Lothar; Illusion, Luc; Kleiman, Steven L.; Nitsure, Nitin; Vistoli, Angelo (2005), Geometría algebraica fundamental: explicación de la FGA de Grothendieck, monografías y estudios matemáticos, vol. 123, Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-4245-4, señor  2222646
• Pedicchio, María Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004), Fundamentos categóricos. Temas especiales de orden, topología, álgebra y teoría de gavillas , Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol. 97, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-83414-7, Zbl  1034.18001