hipercobertura

En matemáticas , y en particular en la teoría de la homotopía , una hipercobertura (o hipercobertura) es un objeto simple que generaliza el nervio de Čech de una cubierta . Para el nervio de Čech de una cubierta abierta , se puede demostrar que si el espacio es compacto y si cada intersección de conjuntos abiertos en la cubierta es contráctil, entonces se pueden contraer estos conjuntos y obtener un conjunto simplicial que es débilmente equivalente a un conjunto natural. forma. Para la topología étale y otros sitios, estas condiciones fallan. La idea de una hipercobertura es, en lugar de trabajar únicamente con las intersecciones plegables de los conjuntos de la cubierta abierta dada , permitir que las intersecciones por pares de los conjuntos queden cubiertas por una cubierta abierta y permitir que las intersecciones triples de esta cubierta para ser cubierto por otra cubierta abierta , y así sucesivamente, de forma iterativa. Las hipercoberturas tienen un papel central en la homotopía étale y otras áreas donde la teoría de la homotopía se aplica a la geometría algebraica , como la teoría de la homotopía motívica . ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}={\mathcal {U}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{2}}$

Definicion formal

La definición original dada para la cohomología étale por Jean-Louis Verdier en SGA4 , Expose V, Sec. 7, Thm. 7.4.1, para calcular la cohomología de gavilla en topologías arbitrarias de Grothendieck. Para el sitio étale la definición es la siguiente:

Sea un esquema y consideremos la categoría de esquemas étale terminados . Una hiperportada es un objeto semisimple de esta categoría, tal que es una portada étale y tal que es una portada étale para cada . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$ ${\displaystyle U_{0}\to X}$ ${\displaystyle U_{n+1}\to \left(\left(\operatorname {\mathbf {cosk} } _{n}:=\operatorname {cosk} _{n}\circ \operatorname {tr} _{n}\right)U_{\bullet }\right)_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

Aquí está el límite del diagrama que tiene una copia para cada cara dimensional del simplex estándar (para ), un morfismo para cada inclusión de caras y el mapa de aumento al final. Los morfismos vienen dados por los mapas de límites del objeto semisimplicial . ${\displaystyle U_{n+1}\to \left(\operatorname {\mathbf {cosk} } _{n}U_{\bullet }\right)_{n+1}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle U_{0}\to X}$ ${\displaystyle U_{\bullet }}$

Propiedades

El teorema de hipercobertura de Verdier establece que la cohomología de la gavilla abeliana de una gavilla étale se puede calcular como un colimit de las cohomologías de la cocadena sobre todas las hipercoberturas.

Para un esquema localmente noetheriano , la categoría de homotopía simplicial de módulo de hipercoberturas es cofiltrado y, por lo tanto, proporciona un proobjeto en la categoría de homotopía de conjuntos simpliciales. La realización geométrica de esto es el tipo de homotopía de Artin-Mazur . Una generalización de E. Friedlander que utiliza hipercoberturas bisimpliciales de esquemas simpliciales se denomina tipo topológico étale. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle HR(X)}$

Referencias

• Artín, Michael; Mazur, Barry (1969). Homotopía de Etale . Saltador.
• Friedlander, Eric (1982). Étale homotopía de esquemas simpliciales . Anales de Estudios de Matemáticas, PUP.
• Apuntes de conferencias de G. Quick "Conferencia 2 sobre homotopía de Étale".
• Hypercover en el n Lab