El concepto de supergrupo es una generalización del de grupo . En otras palabras, cada supergrupo tiene una estructura de grupo natural, pero puede haber más de una forma de estructurar un grupo dado como supergrupo. Un supergrupo es como un grupo de Lie en el sentido de que existe una noción bien definida de función suave definida en ellos. Sin embargo, las funciones pueden tener partes pares e impares. Además, un supergrupo tiene un superálgebra de Lie que desempeña un papel similar al de un álgebra de Lie para los grupos de Lie en el sentido de que determinan la mayor parte de la teoría de la representación y que es el punto de partida para la clasificación.
Más formalmente, un supergrupo de Lie es una supervariedad G junto con un morfismo de multiplicación , un morfismo de inversión y un morfismo unitario que convierte a G en un objeto de grupo en la categoría de supervariedades. Esto significa que, formulados como diagramas conmutativos, los axiomas habituales de asociatividad e inversión de un grupo siguen siendo válidos. Dado que toda variedad es una supervariedad, un supergrupo de Lie generaliza la noción de grupo de Lie .
Existen muchos supergrupos posibles. Los de mayor interés en física teórica son los que extienden el grupo de Poincaré o el grupo conforme . De particular interés son los grupos ortosimplécticos Osp( M | N ) [1] y los grupos superunitarios SU( M | N ).
Un enfoque algebraico equivalente parte de la observación de que una supervariedad está determinada por su anillo de funciones superconmutativas suaves, y que un morfismo de supervariedades se corresponde uno a uno con un homomorfismo algebraico entre sus funciones en la dirección opuesta, es decir, que la categoría de supervariedades es opuesta a la categoría de álgebras de funciones conmutativas graduadas suaves. Invirtiendo todas las flechas en los diagramas conmutativos que definen un supergrupo de Lie, se muestra que las funciones sobre el supergrupo tienen la estructura de un álgebra de Hopf Z 2 -graduada . Del mismo modo, las representaciones de esta álgebra de Hopf resultan ser Z 2 -graduadas comodulos . Esta álgebra de Hopf proporciona las propiedades globales del supergrupo.
Existe otra álgebra de Hopf relacionada que es dual de la álgebra de Hopf anterior. Puede identificarse con el álgebra de Hopf de operadores diferenciales graduados en el origen. Solo proporciona las propiedades locales de las simetrías, es decir, solo proporciona información sobre las transformaciones de supersimetría infinitesimal. Las representaciones de esta álgebra de Hopf son módulos . Al igual que en el caso no graduado, esta álgebra de Hopf puede describirse de manera puramente algebraica como el álgebra envolvente universal de la superálgebra de Lie .
De manera similar, se puede definir un supergrupo algebraico afín como un objeto de grupo en la categoría de variedades afines superalgebraicas . Un supergrupo algebraico afín tiene una relación uno a uno similar con su álgebra de Hopf de superpolinomios. Utilizando el lenguaje de los esquemas , que combina el punto de vista geométrico y algebraico, se pueden definir esquemas de supergrupos algebraicos que incluyan variedades superabelianas .
El grupo de Super-Poincaré es el grupo de isometrías del superespacio (específicamente, el superespacio de Minkowski con supercargas , donde a menudo se toma como 1). Se trata con mayor frecuencia a nivel de álgebra y se genera mediante el álgebra de Super-Poincaré .
El grupo superconforme es el grupo de simetrías conformes del superespacio, generado por el álgebra superconforme.
