Acción grupal de mentiras

En geometría diferencial , una acción de grupo de Lie es una acción de grupo adaptada a la configuración suave: es un grupo de Lie , es una variedad suave y el mapa de acción es diferenciable . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$

Definición

Sea una acción de grupo (izquierda) de un grupo de Lie sobre una variedad suave ; se denomina acción de grupo de Lie (o acción suave) si la función es diferenciable. De manera equivalente, una acción de grupo de Lie de sobre consiste en un homomorfismo de grupo de Lie . Una variedad suave dotada de una acción de grupo de Lie también se denomina -variedad . ${\displaystyle \sigma :G\times M\to M,(g,x)\mapsto g\cdot x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\to \mathrm {Diff} (M)}$ ${\displaystyle G}$

Propiedades

El hecho de que el mapa de acción sea suave tiene un par de consecuencias inmediatas: ${\displaystyle \sigma }$

• Los estabilizadores de la acción del grupo están cerrados, por lo tanto son subgrupos de Lie. ${\displaystyle G_{x}\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$
• Las órbitas de la acción del grupo son subvariedades inmersas . ${\displaystyle G\cdot x\subseteq M}$

Olvidando la estructura suave, una acción de grupo de Lie es un caso particular de una acción de grupo continua .

Ejemplos

Para cada grupo de Lie , las siguientes son acciones del grupo de Lie: ${\displaystyle G}$

• la acción trivial de sobre cualquier variedad; ${\displaystyle G}$
• la acción de sobre sí mismo por multiplicación izquierda, multiplicación derecha o conjugación ; ${\displaystyle G}$
• la acción de cualquier subgrupo de Lie por multiplicación por la izquierda, multiplicación por la derecha o conjugación; ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$

• la acción adjunta de sobre su álgebra de Lie . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Otros ejemplos de acciones del grupo Lie incluyen:

• la acción de sobre dada por el flujo de cualquier campo vectorial completo ; ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$
• las acciones del grupo lineal general y de sus subgrupos de Lie sobre la multiplicación de matrices; ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle G\subseteq \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• de manera más general, cualquier representación de un grupo de Lie en un espacio vectorial;
• cualquier acción de grupo hamiltoniano en una variedad simpléctica ;
• la acción transitiva subyacente a cualquier espacio homogéneo ;
• de manera más general, la acción grupal subyacente a cualquier conjunto principal .

Acción del álgebra de Lie infinitesimal

Siguiendo el espíritu de la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie , las acciones del grupo de Lie también pueden estudiarse desde el punto de vista infinitesimal. De hecho, cualquier acción del grupo de Lie induce una acción infinitesimal del álgebra de Lie sobre , es decir, un homomorfismo del álgebra de Lie . Intuitivamente, esto se obtiene diferenciando en la identidad el homomorfismo del grupo de Lie e interpretando el conjunto de campos vectoriales como el álgebra de Lie del grupo de Lie (de dimensión infinita) . ${\displaystyle \sigma :G\times M\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle G\to \mathrm {Diff} (M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {Diff} (M)}$

Más precisamente, fijando cualquier , el mapa de órbita es diferenciable y se puede calcular su diferencial en la identidad . Si , entonces su imagen bajo es un vector tangente en , y variando se obtiene un campo vectorial en . El signo menos de este campo vectorial, denotado por , también se denomina campo vectorial fundamental asociado con (el signo menos asegura que es un homomorfismo del álgebra de Lie). ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \sigma _{x}:G\to M,g\mapsto g\cdot x}$ ${\displaystyle e\in G}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} _{e}\sigma _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M),X\mapsto X^{\#}}$

Por el contrario, por el teorema de Lie-Palais , cualquier acción infinitesimal abstracta de un álgebra de Lie (de dimensión finita) sobre una variedad compacta puede integrarse a una acción de grupo de Lie. ^[1]

Propiedades

Una acción de álgebra de Lie infinitesimal es inyectiva si y solo si la acción del grupo de Lie global correspondiente es libre. Esto se deduce del hecho de que el núcleo de es el álgebra de Lie del estabilizador . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {d} _{e}\sigma _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to T_{x}M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x}\subseteq {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G_{x}\subseteq G}$

Por otra parte, en general no es sobreyectiva. Por ejemplo, sea un fibrado principal : la imagen de la acción infinitesimal es en realidad igual al subfibrado vertical . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {X}}(M)}$ ${\displaystyle \pi :P\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T^{\pi }P\subset TP}$

Acciones apropiadas

Una clase importante (y común) de acciones de grupo de Lie es la de las propias . De hecho, tal condición topológica implica que

• Los estabilizadores son compactos. ${\displaystyle G_{x}\subseteq G}$
• Las órbitas son subvariedades incrustadas ${\displaystyle G\cdot x\subseteq M}$
• El espacio orbital es Hausdorff ${\displaystyle M/G}$

En general, si un grupo de Lie es compacto, cualquier acción suave es automáticamente propia. Un ejemplo de acción propia de un grupo de Lie no necesariamente compacto lo da la acción de un subgrupo de Lie en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle G}$

Estructura del espacio orbital

Dada una acción de grupo de Lie de sobre , el espacio de órbitas no admite en general una estructura de variedad. Sin embargo, si la acción es libre y propia, entonces tiene una estructura suave única tal que la proyección es una inmersión (de hecho, es un fibrado principal). ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle M\to M/G}$ ${\displaystyle M\to M/G}$ ${\displaystyle G}$

El hecho de que sea Hausdorff depende únicamente de la propiedad de la acción (como se ha comentado anteriormente); el resto de la afirmación requiere libertad y es una consecuencia del teorema de la porción . Si la condición de "acción libre" (es decir, "tener cero estabilizadores") se relaja a "tener estabilizadores finitos", se convierte en cambio en un orbifold (o pila de cocientes ). ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle M/G}$

Cohomología equivariante

Una aplicación de este principio es la construcción de Borel a partir de la topología algebraica . Suponiendo que es compacto, denotemos el fibrado universal , que podemos suponer que es una variedad puesto que es compacto, y actúemos sobre diagonalmente. La acción es libre puesto que lo es sobre el primer factor y es propia puesto que es compacto; por tanto, se puede formar la variedad cociente y definir la cohomología equivariante de M como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle EG\times M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{G}=(EG\times M)/G}$

${\displaystyle H_{G}^{*}(M)=H_{\text{dr}}^{*}(M_{G})}$,

donde el lado derecho denota la cohomología de De Rham de la variedad . ${\displaystyle M_{G}}$

Véase también

• Acción grupal hamiltoniana
• Forma diferencial equivariante
• Representación de isotropía

Notas

1. Palais, Richard S. (1957). "Una formulación global de la teoría de Lie de los grupos de transformación". Memorias de la American Mathematical Society (22): 0. doi :10.1090/memo/0022. ISSN  0065-9266.
2. Lee, John M. (2012). Introducción a las variedades suaves (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-9982-5.OCLC 808682771  .

Referencias

• Michele Audin, Acciones toroidales en variedades simplécticas , Birkhauser, 2004
• John Lee, Introducción a las variedades suaves , capítulo 9, ISBN 978-1-4419-9981-8 
• Frank Warner, Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , capítulo 3, ISBN 978-0-387-90894-6