En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , la frase grupo de tipo Lie suele referirse a grupos finitos que están estrechamente relacionados con el grupo de puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductivo con valores en un campo finito . El grupo de frases de tipo Lie no tiene una definición precisa ampliamente aceptada, [1] pero la importante colección de grupos finitos simples de tipo Lie sí tiene una definición precisa y constituyen la mayoría de los grupos en la clasificación de grupos finitos simples. .
El nombre "grupos de tipo Lie" se debe a la estrecha relación con los (infinitos) grupos de Lie , ya que un grupo de Lie compacto puede verse como los puntos racionales de un grupo algebraico lineal reductivo sobre el cuerpo de números reales . Dieudonné (1971) y Carter (1989) son referencias estándar para grupos de tipo Lie.
Una aproximación inicial a esta cuestión fue la definición y el estudio detallado de los llamados grupos clásicos sobre campos finitos y otros por Jordan (1870). Estos grupos fueron estudiados por LE Dickson y Jean Dieudonné . Emil Artin investigó las órdenes de tales grupos con el fin de clasificar los casos de coincidencia.
Un grupo clásico es, en términos generales, un grupo especial lineal , ortogonal , simpléctico o unitario . Hay varias variaciones menores de estos, dadas al tomar subgrupos derivados o cocientes centrales , dando estos últimos grupos lineales proyectivos . Se pueden construir sobre cuerpos finitos (o cualquier otro cuerpo) de manera muy similar a cómo se construyen sobre números reales. Corresponden a las series An , Bn , Cn , Dn , 2 An , 2 Dn de los grupos Chevalley y Steinberg.
Los grupos de Chevalley pueden considerarse como grupos de Lie sobre campos finitos. La teoría fue aclarada por la teoría de grupos algebraicos y el trabajo de Chevalley (1955) sobre álgebras de Lie, mediante el cual se aisló el concepto de grupo de Chevalley . Chevalley construyó una base de Chevalley (una especie de forma integral pero sobre campos finitos) para todas las álgebras de Lie simples y complejas (o más bien de sus álgebras envolventes universales ), que puede usarse para definir los grupos algebraicos correspondientes sobre los números enteros. En particular, podría tomar sus puntos con valores en cualquier campo finito. Para las álgebras de Lie An , Bn , Cn , Dn esto dio grupos clásicos bien conocidos, pero su construcción también dio grupos asociados a las excepcionales álgebras de Lie E 6 , E 7 , E 8 , F 4 y G 2 . Los del tipo G 2 (a veces llamados grupos de Dickson ) ya habían sido construidos por Dickson (1905), y los del tipo E 6 por Dickson (1901).
La construcción de Chevalley no proporcionó todos los grupos clásicos conocidos: omitió los grupos unitarios y los grupos ortogonales no divididos . Steinberg (1959) encontró una modificación de la construcción de Chevalley que dio a estos grupos y dos nuevas familias 3 D 4 , 2 E 6 , la segunda de las cuales fue descubierta aproximadamente al mismo tiempo desde un punto de vista diferente por Tit (1958). Esta construcción generaliza la construcción habitual del grupo unitario a partir del grupo lineal general.
El grupo unitario surge de la siguiente manera: el grupo lineal general sobre los números complejos tiene un automorfismo de diagrama dado al invertir el diagrama de Dynkin An (que corresponde a tomar la transpuesta inversa), y un automorfismo de campo dado al tomar conjugación compleja , que conmutan. El grupo unitario es el grupo de puntos fijos del producto de estos dos automorfismos.
De la misma manera, muchos grupos de Chevalley tienen automorfismos de diagrama inducidos por automorfismos de sus diagramas de Dynkin , y automorfismos de campo inducidos por automorfismos de un campo finito. De manera análoga al caso unitario, Steinberg construyó familias de grupos tomando puntos fijos de un producto de un diagrama y un automorfismo de campo.
Estos dieron:
Los grupos de tipo 3 D 4 no tienen analogía con los reales, ya que los números complejos no tienen automorfismo de orden 3. [ se necesita aclaración ] Las simetrías del diagrama D 4 también dan lugar a la trialidad .
Suzuki (1960) encontró una nueva serie infinita de grupos que a primera vista parecían no tener relación con los grupos algebraicos conocidos. Ree (1960, 1961) sabía que el grupo algebraico B 2 tenía un automorfismo "extra" en la característica 2 cuyo cuadrado era el automorfismo de Frobenius . Encontró que si un campo finito de característica 2 también tiene un automorfismo cuyo cuadrado era el mapa de Frobenius, entonces un análogo de la construcción de Steinberg dio los grupos de Suzuki. Los campos con tal automorfismo son los de orden 2 2 n +1 , y los grupos correspondientes son los grupos de Suzuki
(Estrictamente hablando, el grupo Suz(2) no se cuenta como un grupo Suzuki ya que no es simple: es el grupo Frobenius de orden 20.) Ree pudo encontrar dos nuevas familias similares
y
de grupos simples utilizando el hecho de que F 4 y G 2 tienen automorfismos adicionales en las características 2 y 3. (En términos generales, en la característica p se permite ignorar la flecha en los enlaces de multiplicidad p en el diagrama de Dynkin al tomar automorfismos del diagrama. ) El grupo más pequeño 2 F 4 (2) del tipo 2 F 4 no es simple, pero tiene un subgrupo simple de índice 2, llamado grupo Tit (llamado así por el matemático Jacques Tit ). El grupo más pequeño 2 G 2 (3) del tipo 2 G 2 no es simple, pero tiene un subgrupo normal simple de índice 3, isomorfo a A 1 (8). En la clasificación de grupos finitos simples , los grupos de Ree
son aquellos cuya estructura es más difícil de precisar explícitamente. Estos grupos también desempeñaron un papel en el descubrimiento del primer grupo esporádico moderno. Tienen centralizadores de involución de la forma Z /2 Z × PSL(2, q ) para q = 3 n , y al investigar grupos con un centralizador de involución de la forma similar Z /2 Z × PSL(2, 5) Janko encontró el grupo esporádico J 1 .
Los grupos de Suzuki son los únicos grupos simples finitos no abelianos con orden no divisible por 3. Tienen orden 2 2(2 n +1) (2 2(2 n +1) + 1)(2 (2 n +1) − 1).
Los grupos finitos de tipo Lie estuvieron entre los primeros grupos considerados en matemáticas, después de los grupos cíclicos , simétricos y alternos , con los grupos lineales especiales proyectivos sobre campos finitos primos, PSL(2, p ) construidos por Évariste Galois en la década de 1830. La exploración sistemática de grupos finitos de tipo Lie comenzó con el teorema de Camille Jordan de que el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, q ) es simple para q ≠ 2, 3. Este teorema se generaliza a grupos proyectivos de dimensiones superiores y proporciona una importante familia infinita PSL ( n , q ) de grupos simples finitos . Leonard Dickson estudió otros grupos clásicos a principios del siglo XX. En la década de 1950, Claude Chevalley se dio cuenta de que después de una reformulación adecuada, muchos teoremas sobre grupos de Lie semisimples admiten análogos para grupos algebraicos en un campo arbitrario k , lo que llevó a la construcción de lo que ahora se llama grupos de Chevalley . Además, como en el caso de los grupos de Lie simples y compactos, los grupos correspondientes resultaron ser casi tan simples como grupos abstractos ( teorema de simplicidad de Tit ). Aunque desde el siglo XIX se sabía que existen otros grupos finitos simples (por ejemplo, los grupos de Mathieu ), gradualmente se formó la creencia de que casi todos los grupos finitos simples pueden explicarse mediante extensiones apropiadas de la construcción de Chevalley, junto con grupos cíclicos y alternos. Además, las excepciones, los grupos esporádicos , comparten muchas propiedades con los grupos finitos de tipo Lie y, en particular, pueden construirse y caracterizarse en función de su geometría en el sentido de Tetas.
La creencia se ha convertido ahora en un teorema: la clasificación de grupos finitos simples . La inspección de la lista de grupos simples finitos muestra que los grupos de tipo Lie sobre un campo finito incluyen todos los grupos simples finitos distintos de los grupos cíclicos, los grupos alternos, el grupo de Tetas y los 26 grupos simples esporádicos .
En general el grupo finito asociado a un endomorfismo de un grupo algebraico simple simplemente conexo es la extensión central universal de un grupo simple, por lo que es perfecto y tiene multiplicador de Schur trivial . Sin embargo, algunos de los grupos más pequeños de las familias anteriores no son perfectos o tienen un multiplicador de Schur mayor de lo "esperado".
Los casos en los que el grupo no es perfecto incluyen
Algunos casos en los que el grupo es perfecto pero tiene un multiplicador de Schur mayor de lo esperado incluyen:
Existe un número desconcertante de isomorfismos "accidentales" entre varios grupos pequeños de tipo Lie (y grupos alternos). Por ejemplo, los grupos SL(2, 4), PSL(2, 5) y el grupo alterno en 5 puntos son todos isomorfos.
Para obtener una lista completa de estas excepciones, consulte la lista de grupos finitos simples . Muchas de estas propiedades especiales están relacionadas con ciertos grupos simples esporádicos.
Los grupos alternos a veces se comportan como si fueran grupos de tipo Lie sobre el campo con un solo elemento . Algunos de los pequeños grupos alternos también tienen propiedades excepcionales. Los grupos alternos suelen tener un grupo de automorfismo externo de orden 2, pero el grupo alterno en 6 puntos tiene un grupo de automorfismo externo de orden 4 . Los grupos alternos suelen tener un multiplicador de Schur de orden 2, pero los de 6 o 7 puntos tienen un multiplicador de Schur de orden 6 .
No existe una notación estándar para los grupos finitos de tipo Lie, y la literatura contiene docenas de sistemas de notación incompatibles y confusos para ellos.