Álgebra de mentira simple

En álgebra, un álgebra de Lie simple es un álgebra de Lie que no es abeliana y no contiene ideales propios distintos de cero . La clasificación de álgebras de Lie realmente simples es uno de los mayores logros de Wilhelm Killing y Élie Cartan .

Una suma directa de álgebras de Lie simples se llama álgebra de Lie semisimple .

Un grupo de Lie simple es un grupo de Lie conectado cuyo álgebra de Lie es simple.

Álgebras de mentira simples complejas

Un álgebra de Lie compleja simple de dimensión finita es isomorfa a cualquiera de las siguientes: , , ( álgebras de Lie clásicas ) o una de las cinco álgebras de Lie excepcionales . ^[1] ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$

A cada álgebra de Lie semisimple compleja de dimensión finita , existe un diagrama correspondiente (llamado diagrama de Dynkin ) donde los nodos denotan las raíces simples, los nodos están unidos (o no unidos) por un número de líneas dependiendo de los ángulos entre las raíces simples. raíces y las flechas se ponen para indicar si las raíces son más largas o más cortas. ^[2] El diagrama de Dynkin es conexo si y sólo si es simple. Todos los posibles diagramas de Dynkin conectados son los siguientes: ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

donde n es el número de nodos (las raíces simples). La correspondencia de los diagramas y las álgebras de Lie simples complejas es la siguiente: ^[2]

( _Un ) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {sl}}_{n+1}\mathbb {C} }$

( _Bn ) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n+1}\mathbb {C} }$

(C _norte ) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {sp}}_{2n}\mathbb {C} }$

(D _norte ) ${\displaystyle \quad {\mathfrak {so}}_{2n}\mathbb {C} }$

El resto, álgebras de Lie excepcionales .

Álgebras de mentira realmente simples

Si es un álgebra de Lie simple real de dimensión finita, su complejización es (1) simple o (2) un producto de un álgebra de Lie compleja simple y su conjugado . Por ejemplo, la complejidad del pensamiento como un álgebra de Lie real es . Por lo tanto, un álgebra de Lie simple real se puede clasificar mediante la clasificación de álgebras de Lie simples complejas y alguna información adicional. Esto se puede hacer mediante diagramas de Satake que generalizan los diagramas de Dynkin . Consulte también Tabla de grupos de Lie # Álgebras de Lie reales para obtener una lista parcial de álgebras de Lie simples reales. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} \times {\overline {{\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C} }}}$

Notas

1. Fulton y Harris 1991, teorema 9.26.
2. Fulton y Harris 1991, § 21.1.
3. Fulton y Harris 1991, § 21.2.

Ver también

• Grupo de mentira simple
• avión vogel

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.
• Jacobson, Nathan, Álgebras de Lie , Republicación del original de 1962. Dover Publications, Inc., Nueva York, 1979. ISBN 0-486-63832-4 ; El capítulo X considera una clasificación de álgebras de Lie simples sobre un campo de característica cero. 

• "Álgebra de mentiras, semisimple", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Álgebra de mentira simple en el n Lab