Existe una conexión natural entre la física de partículas y la teoría de la representación , como lo señaló por primera vez en la década de 1930 Eugene Wigner [1] . Vincula las propiedades de las partículas elementales con la estructura de los grupos de Lie y las álgebras de Lie . Según esta conexión, los diferentes estados cuánticos de una partícula elemental dan lugar a una representación irreducible del grupo de Poincaré . Además, las propiedades de las diversas partículas, incluidos sus espectros , pueden relacionarse con representaciones de las álgebras de Lie, correspondientes a "simetrías aproximadas" del universo.
En mecánica cuántica , cualquier estado particular de una partícula se representa como un vector en un espacio de Hilbert . Para ayudar a entender qué tipos de partículas pueden existir, es importante clasificar las posibilidades de permitidas por las simetrías y sus propiedades. Sea un espacio de Hilbert que describe un sistema cuántico particular y sea un grupo de simetrías del sistema cuántico. En un sistema cuántico relativista, por ejemplo, podría ser el grupo de Poincaré , mientras que para el átomo de hidrógeno, podría ser el grupo de rotación SO(3) . El estado de la partícula se caracteriza con mayor precisión por el espacio de Hilbert proyectivo asociado , también llamado espacio de rayos , ya que dos vectores que difieren en un factor escalar distinto de cero corresponden al mismo estado cuántico físico representado por un rayo en el espacio de Hilbert, que es una clase de equivalencia en y, bajo el mapa de proyección natural , un elemento de .
Por definición de una simetría de un sistema cuántico, hay una acción de grupo sobre . Para cada , hay una transformación correspondiente de . Más específicamente, si es alguna simetría del sistema (por ejemplo, rotación sobre el eje x de 12°), entonces la transformación correspondiente de es una función en el espacio de rayos. Por ejemplo, al rotar una partícula estacionaria (momento cero) de espín 5 sobre su centro, es una rotación en el espacio 3D (un elemento de ), mientras que es un operador cuyo dominio y rango son cada uno el espacio de posibles estados cuánticos de esta partícula, en este ejemplo el espacio proyectivo asociado con un espacio de Hilbert complejo de 11 dimensiones .
Cada función conserva, por definición de simetría, el producto de rayos en inducido por el producto interno en ; según el teorema de Wigner , esta transformación de proviene de una transformación unitaria o antiunitaria de . Nótese, sin embargo, que el asociado a un dado no es único, sino solo único hasta un factor de fase . La composición de los operadores debería, por lo tanto, reflejar la ley de composición en , pero solo hasta un factor de fase:
donde dependerá de y . Por lo tanto, el mapa que envía a es una representación unitaria proyectiva de , o posiblemente una mezcla de unitaria y antiunitaria, si está desconectada. En la práctica, los operadores antiunitarios siempre están asociados con la simetría de inversión temporal .
Es importante físicamente que en general no tiene que ser una representación ordinaria de ; puede que no sea posible elegir los factores de fase en la definición de para eliminar los factores de fase en su ley de composición. Un electrón, por ejemplo, es una partícula de espín-medio; su espacio de Hilbert consiste en funciones de onda en con valores en un espacio de espinor bidimensional. La acción de sobre el espacio de espinor es solo proyectiva: no proviene de una representación ordinaria de . Sin embargo, hay una representación ordinaria asociada de la cubierta universal de sobre el espacio de espinor. [2]
Para muchas clases interesantes de grupos , el teorema de Bargmann nos dice que cada representación unitaria proyectiva de proviene de una representación ordinaria de la cubierta universal de . En realidad, si es de dimensión finita, entonces independientemente del grupo , cada representación unitaria proyectiva de proviene de una representación unitaria ordinaria de . [3] Si es de dimensión infinita, entonces para obtener la conclusión deseada, se deben hacer algunas suposiciones algebraicas sobre (ver más abajo). En este contexto, el resultado es un teorema de Bargmann . [4] Afortunadamente, en el caso crucial del grupo de Poincaré, se aplica el teorema de Bargmann. [5] (Véase la clasificación de Wigner de las representaciones de la cubierta universal del grupo de Poincaré).
El requisito al que se hace referencia anteriormente es que el álgebra de Lie no admite una extensión central unidimensional no trivial. Este es el caso si y solo si el segundo grupo de cohomología de es trivial. En este caso, todavía puede ser cierto que el grupo admite una extensión central por un grupo discreto . Pero las extensiones de por grupos discretos son recubrimientos de . Por ejemplo, el recubrimiento universal está relacionado con a través del cociente con el subgrupo central siendo el centro de sí mismo, isomorfo al grupo fundamental del grupo cubierto.
Así, en casos favorables, el sistema cuántico llevará una representación unitaria de la cobertura universal del grupo de simetría . Esto es deseable porque es mucho más fácil trabajar con él que con el espacio no vectorial . Si las representaciones de se pueden clasificar, se dispone de mucha más información sobre las posibilidades y propiedades de .
Un ejemplo en el que el teorema de Bargmann no se aplica proviene de una partícula cuántica que se mueve en . El grupo de simetrías traslacionales del espacio de fase asociado, , es el grupo conmutativo . En la imagen mecánica cuántica habitual, la simetría no se implementa mediante una representación unitaria de . Después de todo, en el entorno cuántico, las traslaciones en el espacio de posición y las traslaciones en el espacio de momento no conmutan. Esta falta de conmutación refleja la falta de conmutación de los operadores de posición y momento (que son los generadores infinitesimales de las traslaciones en el espacio de momento y el espacio de posición, respectivamente). Sin embargo, las traslaciones en el espacio de posición y las traslaciones en el espacio de momento sí conmutan hasta un factor de fase. Por lo tanto, tenemos una representación proyectiva bien definida de , pero no proviene de una representación ordinaria de , aunque simplemente está conexo.
En este caso, para obtener una representación ordinaria, hay que pasar al grupo de Heisenberg , que es una extensión central unidimensional no trivial de .
El grupo de traslaciones y transformaciones de Lorentz forma el grupo de Poincaré , y este grupo debería ser una simetría de un sistema cuántico relativista (despreciando los efectos de la relatividad general , o en otras palabras, en un espacio-tiempo plano ). Las representaciones del grupo de Poincaré se caracterizan en muchos casos por una masa no negativa y un espín semientero (véase la clasificación de Wigner ); esto puede considerarse como la razón por la que las partículas tienen espín cuantizado. (Nótese que de hecho hay otras representaciones posibles, como taquiones , infrapartículas , etc., que en algunos casos no tienen espín cuantizado o masa fija).
Si bien las simetrías del espacio-tiempo en el grupo de Poincaré son particularmente fáciles de visualizar y creer, también existen otros tipos de simetrías, llamadas simetrías internas . Un ejemplo es el color SU(3) , una simetría exacta que corresponde al intercambio continuo de los tres colores de los quarks .
Muchas (pero no todas) simetrías o simetrías aproximadas forman grupos de Lie . En lugar de estudiar la teoría de representación de estos grupos de Lie, a menudo es preferible estudiar la teoría de representación estrechamente relacionada de las álgebras de Lie correspondientes, que suelen ser más sencillas de calcular.
Ahora bien, las representaciones del álgebra de Lie corresponden a representaciones de la cobertura universal del grupo original. [6] En el caso de dimensión finita —y en el caso de dimensión infinita, siempre que se aplique el teorema de Bargmann— las representaciones proyectivas irreducibles del grupo original corresponden a representaciones unitarias ordinarias de la cobertura universal. En esos casos, resulta apropiado realizar cálculos a nivel del álgebra de Lie. Este es el caso, en particular, del estudio de las representaciones proyectivas irreducibles del grupo de rotación SO(3). Estas se corresponden biunívocamente con las representaciones ordinarias de la cobertura universal SU(2) de SO(3) . Las representaciones de SU(2) se corresponden entonces biunívocamente con las representaciones de su álgebra de Lie su(2), que es isomorfa al álgebra de Lie so(3) de SO(3).
Así pues, para resumir, las representaciones proyectivas irreducibles de SO(3) se corresponden biunívocamente con las representaciones ordinarias irreducibles de su álgebra de Lie so(3). La representación bidimensional "spin 1/2" del álgebra de Lie so(3), por ejemplo, no corresponde a una representación ordinaria (univaluada) del grupo SO(3). (Este hecho es el origen de afirmaciones en el sentido de que "si rotas la función de onda de un electrón 360 grados, obtienes el negativo de la función de onda original"). Sin embargo, la representación spin 1/2 sí da lugar a una representación proyectiva bien definida de SO(3), que es todo lo que se requiere físicamente.
Aunque se cree que las simetrías anteriores son exactas, otras simetrías son sólo aproximadas.
Como ejemplo de lo que significa una simetría aproximada, supongamos que un experimentador viviera dentro de un ferroimán infinito , con magnetización en una dirección particular. El experimentador en esta situación encontraría no uno sino dos tipos distintos de electrones: uno con espín en la dirección de la magnetización, con una energía ligeramente menor (y, en consecuencia, una masa menor), y otro con espín antialineado, con una masa mayor. Nuestra simetría rotacional SO(3) habitual , que normalmente conecta el electrón de espín hacia arriba con el electrón de espín hacia abajo, se ha convertido en este caso hipotético solo en una simetría aproximada , que relaciona diferentes tipos de partículas entre sí.
En general, una simetría aproximada surge cuando hay interacciones muy fuertes que obedecen a esa simetría, junto con interacciones más débiles que no lo hacen. En el ejemplo del electrón anterior, los dos "tipos" de electrones se comportan de manera idéntica bajo las fuerzas fuerte y débil , pero de manera diferente bajo la fuerza electromagnética .
Un ejemplo del mundo real es la simetría de isospín , un grupo SU(2) que corresponde a la similitud entre los quarks up y down . Se trata de una simetría aproximada: si bien los quarks up y down son idénticos en su interacción bajo la fuerza fuerte , tienen masas diferentes y diferentes interacciones electrodébiles. Matemáticamente, existe un espacio vectorial bidimensional abstracto.
y las leyes de la física son aproximadamente invariantes al aplicar una transformación unitaria de determinante 1 a este espacio: [7]
Por ejemplo, convertiría todos los quarks up del universo en quarks down y viceversa. Algunos ejemplos ayudan a aclarar los posibles efectos de estas transformaciones:
En general, las partículas forman multipletes de isospín , que corresponden a representaciones irreducibles del álgebra de Lie SU(2) . Las partículas en un multiplete de isospín tienen masas muy similares pero no idénticas, porque los quarks up y down son muy similares pero no idénticos.
La simetría de isospín se puede generalizar a la simetría de sabor , un grupo SU(3) correspondiente a la similitud entre los quarks up , down y strange quarks . [7] Esta es, nuevamente, una simetría aproximada, violada por las diferencias de masa de los quarks y las interacciones electrodébiles; de hecho, es una aproximación más pobre que el isospín, debido a la masa notablemente mayor del quark strange.
Sin embargo, las partículas pueden dividirse claramente en grupos que forman representaciones irreducibles del álgebra de Lie SU(3) , como lo señaló por primera vez Murray Gell-Mann e independientemente Yuval Ne'eman .
