teorema de Wigner

Teorema en la formulación matemática de la mecánica cuántica.

EP Wigner (1902-1995), ForMemRS , demostró por primera vez el teorema que lleva su nombre. Fue un paso clave hacia el esquema moderno de clasificación de tipos de partículas, según el cual los tipos de partículas se caracterizan en parte por la representación del grupo de Lorentz bajo la cual se transforma. El grupo de Lorentz es un grupo de simetría de toda teoría cuántica de campos relativista . Los primeros trabajos de Wigner sentaron las bases para lo que muchos físicos llegaron a llamar la enfermedad de la teoría de grupos ^[1] en la mecánica cuántica, o como lo expresa Hermann Weyl (corresponsable) en su The Theory of Groups and Quantum Mechanics (prefacio a la 2ª ed. ), "Se rumorea que la plaga del grupo está siendo eliminada gradualmente de la mecánica cuántica. Esto ciertamente no es cierto..."

El teorema de Wigner , demostrado por Eugene Wigner en 1931, ^[2] es una piedra angular de la formulación matemática de la mecánica cuántica . El teorema especifica cómo se representan las simetrías físicas como rotaciones , traslaciones y transformaciones CPT en el espacio de estados de Hilbert .

Los estados físicos en una teoría cuántica se representan mediante vectores unitarios en el espacio de Hilbert hasta un factor de fase, es decir, mediante la línea o rayo complejo que abarca el vector. Además, según la regla de Born , el valor absoluto del producto interno del vector unitario con un vector propio unitario , o equivalentemente el coseno al cuadrado del ángulo entre las líneas que abarcan los vectores, corresponde a la probabilidad de transición. El espacio de rayos , en matemáticas conocido como espacio proyectivo de Hilbert , es el espacio de todos los vectores unitarios en el espacio de Hilbert hasta la relación de equivalencia de diferir por un factor de fase. Según el teorema de Wigner, cualquier transformación del espacio de rayos que conserve el valor absoluto de los productos internos puede representarse mediante una transformación unitaria o antiunitaria del espacio de Hilbert, que es única hasta un factor de fase. Como consecuencia, la representación de un grupo de simetría en el espacio de rayos puede elevarse a una representación proyectiva o, a veces, incluso a una representación ordinaria en el espacio de Hilbert.

Rayos y espacio de rayos.

Es un postulado de la mecánica cuántica que los vectores de estado en el espacio de Hilbert complejo separable que son múltiplos escalares distintos de cero entre sí representan el mismo estado puro , es decir, los vectores y , con , representan el mismo estado. ^[3] Multiplicando los vectores de estado por el factor de fase , se obtiene un conjunto de vectores llamado rayo ^{[4] [5]} ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Psi \in H\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \lambda \Psi }$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

${\displaystyle {\underline {\Psi }}=\left\{e^{i\alpha }\Psi :\alpha \in \mathbb {R} \right\}.}$

Dos vectores distintos de cero definen el mismo rayo, si y sólo si difieren en algún número complejo distinto de cero: . Alternativamente, podemos considerar un rayo como un conjunto de vectores con norma 1, un rayo unitario , al cruzar la línea con la esfera unitaria ^[6] ${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}}$ ${\displaystyle \Psi _{1}=\lambda \Psi _{2}}$ ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$ ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$

${\displaystyle SH=\{\Phi \in H\mid \|\Phi \|^{2}=1\}}$.

Entonces, dos vectores unitarios definen el mismo rayo unitario si difieren en un factor de fase: . Ésta es la imagen más habitual en física. El conjunto de rayos está en correspondencia uno a uno con el conjunto de rayos unitarios y podemos identificarlos. También existe una correspondencia uno a uno entre los estados físicos puros y los rayos (unitarios) dada por ${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}}$ ${\displaystyle {\underline {\Psi _{1}}}={\underline {\Psi _{2}}}}$ ${\displaystyle \Psi _{1}=e^{i\alpha }\Psi _{2}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$

${\displaystyle \rho =P_{\Phi }={\frac {|\Phi \rangle \langle \Phi |}{\langle \Phi |\Phi \rangle }}}$

¿Dónde está la proyección ortogonal sobre la recta ? En cualquier interpretación, si o entonces es un representante de . ^{[nota 1]} ${\displaystyle P_{\Phi }}$ ${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$ ${\displaystyle \Phi \in {\underline {\Psi }}}$ ${\displaystyle P_{\Phi }=P_{\Psi }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$

El espacio de todos los rayos es un espacio proyectivo de Hilbert llamado espacio de rayos . ^[7] Se puede definir de varias maneras. Se puede definir una relación de equivalencia por ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle H\setminus \{0\}}$

${\displaystyle \Psi \sim \Phi \Leftrightarrow \Psi =\lambda \Phi ,\quad \lambda \in \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

y definir el espacio de rayos como el conjunto cociente

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=(H\setminus \{0\})/{\sim }}$.

Alternativamente, para una relación de equivalencia en la esfera , el espacio de rayos unitario es una encarnación del espacio de rayos definido (sin hacer distinción notacional con el espacio de rayos) como el conjunto de clases de equivalencia. ${\displaystyle SH}$

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=SH/\sim }$.

Una tercera definición equivalente de espacio de rayos es como espacio de rayos de estado puro , es decir, como matrices de densidad que son proyecciones ortogonales de rango 1 ^{[ se necesita aclaración ]}

${\displaystyle \mathbf {P} (H)=\{P\in B(H)\mid P^{2}=P=P^{\dagger },\mathbb {tr} (P)=1\}}$.

Si es n -dimensional, es decir , entonces es isomorfo al espacio proyectivo complejo . Por ejemplo ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{n}:=H}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{n})}$

${\displaystyle \lambda _{1}|+\rangle +\lambda _{2}|-\rangle ,\quad (\lambda _{1},\lambda _{2})\in \mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}}$

generar puntos en la esfera de Bloch ; isomorfa a la esfera de Riemann . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$

El espacio de rayos (es decir, el espacio proyectivo ) no es un espacio vectorial sino más bien un conjunto de líneas vectoriales (subespacios vectoriales de dimensión uno) en un espacio vectorial de dimensión n + 1 . Por ejemplo, por cada dos vectores y razón de números complejos (es decir, elemento de ) hay un rayo bien definido . Como tal, para rayos distintos (es decir, líneas linealmente independientes) hay una línea proyectiva de rayos de la forma en : todas las líneas complejas unidimensionales en el plano complejo bidimensional abarcado por y . Sin embargo, a diferencia de los espacios vectoriales, un conjunto generador independiente no es suficiente para definir las coordenadas (ver: marco proyectivo ). ${\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2}\in H_{2}}$ ${\displaystyle (\lambda _{1}:\lambda _{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}}$ ${\displaystyle {\underline {\Psi }}_{1},{\underline {\Psi }}_{2}}$ ${\displaystyle {\underline {\lambda _{1}\Psi _{1}+\lambda _{2}\Psi _{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H_{2})}$ ${\displaystyle \Psi _{1}}$ ${\displaystyle \Psi _{2}}$

La estructura del espacio de Hilbert define una estructura adicional en el espacio de rayos. Definir la correlación de rayos (o producto de rayos ) ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}={\frac {\left|\left\langle \Psi ,\Phi \right\rangle \right|}{\|\Phi \|\|\Psi \|}}={\sqrt {\mathrm {tr} (P_{\Psi }P_{\Phi })}},}$

donde es el producto interno del espacio de Hilbert , y son representantes de y . Tenga en cuenta que el lado derecho es independiente de la elección de los representantes. El significado físico de esta definición es que según la regla de Born , otro postulado de la mecánica cuántica, las probabilidades de transición entre estados normalizados y en el espacio de Hilbert están dadas por ${\displaystyle \langle \,,\,\rangle }$ ${\displaystyle \Psi ,\Phi }$ ${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$ ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle P(\Psi \rightarrow \Phi )=|\langle \Psi ,\Phi \rangle |^{2}=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}}$

es decir, podemos definir la regla de Born sobre el espacio de rayos por.

${\displaystyle P({\underline {\Psi }}\to {\underline {\Phi }}):=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}.}$

Geométricamente, podemos definir un ángulo con entre las líneas y por . Entonces resulta que el ángulo satisface la desigualdad del triángulo y define una estructura métrica en el espacio de rayos que proviene de una métrica de Riemann, la métrica del estudio de Fubini . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi /2}$ ${\displaystyle {\underline {\Phi }}}$ ${\displaystyle {\underline {\Psi }}}$ ${\displaystyle \cos(\theta )=({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }})}$

Transformaciones de simetría

En términos generales, una transformación de simetría es un cambio en el que "no pasa nada" ^[8] o un "cambio en nuestro punto de vista" ^[9] que no cambia los resultados de posibles experimentos. Por ejemplo, trasladar un sistema a un entorno homogéneo no debería tener ningún efecto cualitativo en los resultados de los experimentos realizados en el sistema. Lo mismo ocurre con la rotación de un sistema en un entorno isotrópico . Esto se vuelve aún más claro cuando se consideran las transformaciones pasivas matemáticamente equivalentes , es decir, simplemente cambios de coordenadas y dejar que el sistema sea. Normalmente, los espacios de Hilbert de dominio y rango son los mismos. Una excepción sería (en una teoría no relativista) el espacio de Hilbert de estados electrónicos que está sujeto a una transformación de conjugación de carga . En este caso, los estados de los electrones se asignan al espacio de Hilbert de estados de positrones y viceversa. Sin embargo, esto significa que la simetría actúa sobre la suma directa de los espacios de Hilbert.

Una transformación de un sistema físico es una transformación de estados y, por tanto, matemáticamente una transformación, no del espacio de Hilbert, sino de su espacio de rayos. Por tanto, en mecánica cuántica, una transformación de un sistema físico da lugar a una transformación de rayos biyectivos . ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T:\mathbf {P} (H)&\to \mathbf {P} (H)\\{\underline {\Psi }}&\mapsto T{\underline {\Psi }}.\\\end{aligned}}}$

Dado que la composición de dos transformaciones físicas y la inversión de una transformación física también son transformaciones físicas, el conjunto de todas las transformaciones de rayos así obtenidas es un grupo que actúa sobre . Sin embargo, no todas las biyecciones de son permisibles como transformaciones de simetría. Las transformaciones físicas deben preservar el gobierno de Born. ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$

Para una transformación física, se deben preservar las probabilidades de transición en los sistemas transformados y no transformados:

${\displaystyle P({\underline {\Psi }}\rightarrow {\underline {\Phi }})=\left({\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}\right)^{2}=\left(T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}\right)^{2}=P\left(T\Psi \rightarrow T\Phi \right)}$

Una transformación de rayos biyectivos se llama transformación de simetría sif ^[10] : . Una interpretación geométrica es que una transformación de simetría es una isometría del espacio de rayos. ${\displaystyle \mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle T{\underline {\Psi }}\cdot T{\underline {\Phi }}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }},\quad \forall {\underline {\Psi }},{\underline {\Phi }}\in \mathbf {P} (H)}$

Algunos datos sobre transformaciones de simetría que se pueden verificar usando la definición:

• El producto de dos transformaciones de simetría, es decir, dos transformaciones de simetría aplicadas sucesivamente, es una transformación de simetría.
• Cualquier transformación de simetría tiene una inversa.
• La transformación de identidad es una transformación de simetría.
• La multiplicación de transformaciones de simetría es asociativa.

El conjunto de transformaciones de simetría forma así un grupo , el grupo de simetría del sistema. Algunos subgrupos importantes que aparecen con frecuencia en el grupo de simetría de un sistema son realizaciones de

• El grupo simétrico con sus subgrupos. Esto es importante en el intercambio de etiquetas de partículas.
• El grupo Poincaré . Codifica las simetrías fundamentales del espacio-tiempo [ NB: una simetría se define anteriormente como un mapa en el espacio de rayos que describe un sistema dado; la noción de simetría del espacio-tiempo no ha sido definida y no está clara ].
• Grupos de simetría interna como SU(2) y SU(3) . Describen las llamadas simetrías internas , como el isospín y la carga de color, propias de los sistemas mecánicos cuánticos.

Estos grupos también se denominan grupos de simetría del sistema.

Declaración del teorema de Wigner

Preliminares

Se necesitan algunas definiciones preliminares para enunciar el teorema. Una transformación entre espacios de Hilbert es unitaria si es biyectiva y ${\displaystyle U:H\to K}$

${\displaystyle \langle U\Psi ,U\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle .}$

Si entonces se reduce a un operador unitario cuyo inverso es igual a su adjunto . ${\displaystyle H=K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{-1}=U^{\dagger }}$

Asimismo, una transformación es antiunitaria si es biyectiva y ${\displaystyle A:H\to K}$

${\displaystyle \langle A\Psi ,A\Phi \rangle =\langle \Psi ,\Phi \rangle ^{*}=\langle \Phi ,\Psi \rangle .}$

Dada una transformación unitaria entre espacios de Hilbert, defina ${\displaystyle U:H\to K}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{U}:\mathbf {P} (H)&\to \mathbf {P} (K)\\{\underline {\Psi }}&\mapsto {\underline {U\Psi }}\\\end{aligned}}}$

Esta es una transformación de simetría ya que

$${\displaystyle T_{U}{\underline {\Psi }}\cdot T_{U}{\underline {\Phi }}={\frac {\left|\langle U\Psi ,U\Phi \rangle \right|}{\|U\Psi \|\|U\Phi \|}}={\frac {\left|\langle \Psi ,\Phi \rangle \right|}{\|\Psi \|\|\Phi \|}}={\underline {\Psi }}\cdot {\underline {\Phi }}.}$$

De la misma manera, una transformación antiunitaria entre el espacio de Hilbert induce una transformación de simetría. Se dice que una transformación entre espacios de Hilbert es compatible con la transformación entre espacios de rayos si o de manera equivalente ${\displaystyle U:H\to K}$ ${\displaystyle T:\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (K)}$ ${\displaystyle T=T_{U}}$

${\displaystyle U\Psi \in T{\underline {\Psi }}}$

para todos . ^[11] ${\displaystyle \Psi \in H\setminus \{0\}}$

Declaración

El teorema de Wigner establece lo contrario de lo anterior: ^[12]

Teorema de Wigner (1931)  :  si y son espacios de Hilbert y si ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle T:\mathbf {P} (H)\to \mathbf {P} (K)}$$

es una transformación de simetría, entonces existe una transformación unitaria o antiunitaria que es compatible con . Si , es unitario o antiunitario. Si (y y consisten en un solo punto), todas las transformaciones unitarias y todas las transformaciones antiunitarias son compatibles con . Si y son ambos compatibles con entonces para algunos ${\displaystyle V:H\to K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \dim(H)\geq 2}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \dim(H)=1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (H)}$ ${\displaystyle \mathbf {P} (K)}$ ${\displaystyle U:H\to K}$ ${\displaystyle A:H\to K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V_{1}=e^{i\alpha }V_{2}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

Se pueden encontrar pruebas de ello en Wigner (1931, 1959), Bargmann (1964) y Weinberg (2002). Las transformaciones antiunitarias son menos prominentes en física. Todos ellos están relacionados con una inversión de la dirección del flujo del tiempo. ^[13]

Observación 1 : La importancia de la parte de unicidad del teorema es que especifica el grado de unicidad de la representación . Por ejemplo, uno podría verse tentado a creer que ${\displaystyle H}$

${\displaystyle V\Psi =Ue^{i\alpha (\Psi )}\Psi ,\alpha (\Psi )\in \mathbb {R} ,\Psi \in H\quad ({\text{wrong unless }}\alpha (\Psi ){\text{ is const.}})}$

sería admisible, con para pero este no es el caso según el teorema. ^{[nb 2] [14]} De hecho, tal no sería aditivo. ${\displaystyle \alpha (\Psi )\neq \alpha (\Phi )}$ ${\displaystyle \langle \Psi ,\Phi \rangle =0}$ ${\displaystyle V}$

Observación 2 : La topología determina si debe estar representado por un operador unitario o antiunitario. Si , la segunda cohomología tiene un generador único tal que para una línea proyectiva compleja (equivalentemente para cada) , uno tiene . Dado que es un homeomorfismo, también genera y entonces tenemos . Si es unitario, entonces mientras que si es antilineal, entonces . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} H)=\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {P} K)\geq 1}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {P} H)}$ ${\displaystyle c_{\mathbb {P} H}}$ ${\displaystyle L\subset \mathbb {P} H}$ ${\displaystyle c_{\mathbb {P} H}\cap [L]=\deg _{L}(c_{\mathbb {P} H}|_{L})=1}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{*}c_{\mathbb {P} K}}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {P} H)}$ ${\displaystyle T^{*}c_{\mathbb {P} K}=\pm c_{\mathbb {P} H}}$ ${\displaystyle U:H\to K}$ ${\displaystyle T_{U}^{*}c_{\mathbb {P} K}=c_{\mathbb {P} H}}$ ${\displaystyle A:H\to K}$ ${\displaystyle T_{A}^{*}c_{\mathbb {P} K}=-c_{\mathbb {P} H}}$

Observación 3 : El teorema de Wigner está estrechamente relacionado con el teorema fundamental de la geometría proyectiva ^[15]

Representaciones y representaciones proyectivas

Si G es un grupo de simetría (en este último sentido de estar incluido como un subgrupo del grupo de simetría del sistema que actúa en el espacio de rayos), y si f , g , h ∈ G con fg = h , entonces

${\displaystyle T(f)T(g)=T(h),}$

donde las T son transformaciones de rayos. De la parte de unicidad del teorema de Wigner, se tiene para los representantes compatibles U ,

${\displaystyle U(f)U(g)=\omega (f,g)U(fg)=e^{i\xi (f,g)}U(fg),}$

donde ω ( f , g ) es un factor de fase. ^{[nota 3]}

La función ω se llama 2 -cociclo o multiplicador de Schur . Un mapa U : G → GL( V ) que satisface la relación anterior para algún espacio vectorial V se llama representación proyectiva o representación de rayos . Si ω ( f , g ) = 1 , entonces se llama representación .

Cabe señalar que la terminología difiere entre matemáticas y física. En el artículo vinculado, el término representación proyectiva tiene un significado ligeramente diferente, pero el término tal como se presenta aquí entra como ingrediente y las matemáticas per se son, por supuesto, las mismas. Si la realización del grupo de simetría, g → T ( g ) , se da en términos de acción en el espacio de rayos unitarios S = PH , entonces es una representación proyectiva G → PGL( H ) en el sentido matemático, mientras que su representante en el espacio de Hilbert es una representación proyectiva G → GL( H ) en el sentido físico.

Aplicando la última relación (varias veces) al producto fgh y apelando a la conocida asociatividad de la multiplicación de operadores sobre H , se encuentra

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (f,g)\omega (fg,h)&=\omega (g,h)\omega (f,gh),\\\xi (f,g)+\xi (fg,h)&=\xi (g,h)+\xi (f,gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ).\end{aligned}}}$

También satisfacen

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\xi (g,e)&=\xi (e,g)=0\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\\\omega \left(g,g^{-1}\right)&=\omega (g^{-1},g),\\\xi \left(g,g^{-1}\right)&=\xi (g^{-1},g).\\\end{aligned}}}$

Tras la redefinición de las fases,

${\displaystyle U(g)\mapsto {\hat {U}}(g)=\eta (g)U(g)=e^{i\zeta (g)}U(g),}$

lo cual está permitido por el último teorema, se encuentra ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\omega }}(g,h)&=\omega (g,h)\eta (g)\eta (h)\eta (gh)^{-1},\\{\hat {\xi }}(g,h)&=\xi (g,h)+\zeta (g)+\zeta (h)-\zeta (gh)\quad (\operatorname {mod} 2\pi ),\end{aligned}}}$

donde las cantidades sombreadas están definidas por

${\displaystyle {\hat {U}}(f){\hat {U}}(g)={\hat {\omega }}(f,g){\hat {U}}(fg)=e^{i{\hat {\xi }}(f,g)}{\hat {U}}(fg).}$

Utilidad de la libertad de fase.

Los siguientes teoremas bastante técnicos y muchos más se pueden encontrar, con demostraciones accesibles, en Bargmann (1954).

La libertad de elección de fases se puede utilizar para simplificar los factores de fase. Para algunos grupos, la fase puede eliminarse por completo.

Teorema  :  si G es semisimple y simplemente conexo, entonces ω ( g , h ) = 1 es posible. ^[18]

En el caso del grupo de Lorentz y su subgrupo, el grupo de rotación SO(3) , las fases pueden, para representaciones proyectivas, elegirse de modo que ω ( g , h ) = ± 1 . Para sus respectivos grupos de cobertura universal , SL(2,C) y Spin(3) , según el teorema es posible tener ω ( g , h ) = 1 , es decir, son representaciones propias.

El estudio de la redefinición de fases implica la cohomología de grupo . Se dice que dos funciones relacionadas como las versiones con y sin sombrero de ω anteriores son cohomólogas . Pertenecen a la misma segunda clase de cohomología , es decir , están representados por el mismo elemento en H ² ( G ) , el segundo grupo de cohomología de G. Si un elemento de H ² ( G ) contiene la función trivial ω = 0 , entonces se dice que es trivial . ^[17] El tema también se puede estudiar a nivel de álgebras de Lie y cohomología del álgebra de Lie . ^{[19] [20]}

Suponiendo que la representación proyectiva g → T ( g ) es débilmente continua, se pueden enunciar dos teoremas relevantes. Una consecuencia inmediata de la continuidad (débil) es que el componente de identidad está representado por operadores unitarios. ^{[nota 4]}

Teorema: (Wigner 1939)  -  La libertad de fase se puede utilizar de manera que en alguna vecindad de la identidad el mapa g → U ( g ) sea fuertemente continuo. ^[21]

Teorema (Bargmann)  :  en una vecindad suficientemente pequeña de e, la elección ω ( g ₁ , g ₂ ) ≡ 1 es posible para grupos de Lie semisimples (como SO ( n ) , SO (3,1) y grupos lineales afines, (en particular el grupo de Poincaré). Más precisamente, este es exactamente el caso cuando el segundo grupo de cohomología H ² ( g , R ) del álgebra de Lie g de G es trivial. ^[21]

Modificaciones y generalizaciones

El teorema de Wigner se aplica a los automorfismos en el espacio de estados puros de Hilbert. Los teoremas de Kadison ^[22] y Simon ^[23] se aplican al espacio de estados mixtos (operadores positivos de clase de traza) y utilizan nociones de simetría ligeramente diferentes. ^{[24] [25]}

Ver también

• Física de partículas y teoría de la representación.

Observaciones

1. Aquí se ignora la posibilidad de reglas de superselección . Puede darse el caso de que un sistema no pueda prepararse en estados específicos. Por ejemplo, generalmente se cree que la superposición de estados con diferentes espines es imposible. Asimismo, se consideran imposibles los estados que sean superposiciones de estados con diferente carga. Las complicaciones menores debidas a esos problemas se tratan en Bogoliubov, Logunov y Todorov (1975).
2. Hay una excepción a esto. Si está vigente una regla de superselección, entonces la fase puede depender de en qué sector del elemento reside, ver Weinberg 2002, p. 53 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Psi }$
3. Nuevamente hay una excepción. Si una regla de superselección está en vigor, entonces la fase puede depender de en qué sector de H h reside sobre el cual actúan los operadores, ver Weinberg 2002, p. 53
4. Esto se hace plausible de la siguiente manera. En una vecindad abierta en las proximidades de la identidad, todos los operadores se pueden expresar como cuadrados. Si un operador es unitario o antiunitario, su cuadrado es unitario. Por tanto, todos ellos son unitarios en un barrio suficientemente pequeño. Un barrio así genera la identidad.

Notas

1. Seitz, Vogt y Weinberg 2000
2. Wigner 1931, págs. 251-254 (en alemán),
   Wigner 1959, págs. 233-236 (traducción al inglés).
3. Bäuerle y de Kerf 1990, pág. 330.
4. Weinberg 2002, pag. 49.
5. Bäuerle y de Kerf 1990, pág. 341.
6. Simón y otros. 2008
7. Página 1987.
8. Bäuerle y de Kerf 1990.
9. Weinberg 2002, pag. 50
10. Bäuerle y de Kerf 1990, pág. 342.
11. Bargmann 1964.
12. Bäuerle y de Kerf 1990, pág. 343.
13. Weinberg 2002, pag. 51
14. Bäuerle y de Kerf 1990, pág. 330 Esto se afirma pero no se prueba.
15. Faure 2002
16. Bäuerle y de Kerf 1990, pág. 346 Hay un error en esta fórmula en el libro.
17. Weinberg 2002, pág. 82
18. Weinberg 2002, Apéndice B, Capítulo 2
19. Bäuerle y de Kerf 1990, págs. 347–349
20. Weinberg 2002, sección 2.7.
21. Straumann 2014
22. Kadison, Richard V. (1 de febrero de 1965). "Transformaciones de estados en teoría y dinámica de operadores". Topología . 3 : 177–198. doi : 10.1016/0040-9383(65)90075-3 . ISSN  0040-9383.
23. Simon, Barry (8 de marzo de 2015). "Dinámica cuántica: del automorfismo al hamiltoniano". Estudios de física matemática: ensayos en honor a Valentine Bargmann . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 327–350. doi :10.1515/9781400868940-016. ISBN 978-1-4008-6894-0– a través de www.degruyter.com.
24. Moretti, Valter (octubre de 2016). "Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica: un curso corto avanzado". Revista internacional de métodos geométricos en física moderna . 13 (Suplemento 1): 1630011–1630843. arXiv : 1508.06951 . Código Bib : 2016IJGMM..1330011M. doi :10.1142/S0219887816300117.
25. "(Viene del teorema de Wigner): ¿Qué es una simetría en QFT?". Intercambio de pila de física . Consultado el 18 de octubre de 2023 .

Referencias

• Bargmann, V. (1954). "Sobre representaciones de rayos unitarios de grupos continuos". Ana. de Matemáticas . 59 (1): 1–46. doi :10.2307/1969831. JSTOR  1969831.
• Bargmann, V. (1964). "Nota sobre el teorema de Wigner sobre operaciones de simetría". Revista de Física Matemática . Publicación AIP. 5 (7): 862–868. Código bibliográfico : 1964JMP......5..862B. doi : 10.1063/1.1704188. ISSN  0022-2488.
• Bogoliubov, NN ; Logunov, AA; Todorov, TI (1975). Introducción a la teoría cuántica de campos axiomática . Serie de monografías de Física Matemática. vol. 18. Traducido al inglés por Stephan A. Fulling y Ludmila G. Popova. Nueva York: Benjamín. COMO EN  B000IM4HLS.
• Bäuerle, Gerard GA; de Kerf, Eddy A. (1990). Álgebras de mentira, parte 1: Álgebras de mentira de dimensiones finitas e infinitas y aplicaciones en física . Estudios de Física Matemática. Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 0-444-88776-8.
• Faure, Claude-Alain (2002). "Una prueba elemental del teorema fundamental de la geometría proyectiva". Geometriae Dedicata . 90 : 145-151. doi :10.1023/A:1014933313332. S2CID  115770315.
• Página, Don N. (1987). "Descripción geométrica de la fase de Berry". Revisión física A. Sociedad Estadounidense de Física (APS). 36 (7): 3479–3481. Código bibliográfico : 1987PhRvA..36.3479P. doi :10.1103/physreva.36.3479. ISSN  0556-2791. PMID  9899276.
• Seitz, F.; Vogt, E.; Weinberg, AM (2000). "Eugene Paul Wigner. 17 de noviembre de 1902 - 1 de enero de 1995". Biogr. Memoria. Becarios R. Soc . 46 : 577–592. doi : 10.1098/rsbm.1999.0102 .
• Simón, R.; Mukunda, N .; Chaturvedi, S.; Srinivasan, V.; Hamhalter, J. (2008). "Dos pruebas elementales del teorema de Wigner sobre simetría en mecánica cuántica". Física. Letón. A . 372 (46): 6847–6852. arXiv : 0808.0779 . Código bibliográfico : 2008PhLA..372.6847S. doi :10.1016/j.physleta.2008.09.052. S2CID  53858196.
• Straumann, N. (2014). "Representaciones unitarias del grupo no homogéneo de Lorentz y su importancia en la física cuántica". En A. Ashtekar; V. Petkov (eds.). Manual Springer del espacio-tiempo . Manuales Springer. págs. 265–278. arXiv : 0809.4942 . Código Bib : 2014shst.book..265S. CiteSeerX  10.1.1.312.401 . doi :10.1007/978-3-642-41992-8_14. ISBN 978-3-642-41991-1. S2CID  18493194.
• Weinberg, S. (2002), La teoría cuántica de campos , vol. Yo, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55001-7
• Wigner, EP (1931). Gruppentheorie und ihre Anwendung auf die Quanten mechanik der Atomspektren (en alemán). Braunschweig, Alemania: Friedrich Vieweg und Sohn. págs. 251-254. ASIN  B000K1MPEI.
• Wigner, EP (1959). Teoría de grupos y su aplicación a la mecánica cuántica de los espectros atómicos . traducción del alemán por JJ Griffin. Nueva York: Academic Press. págs. 233-236. ISBN 978-0-1275-0550-3.

Otras lecturas

• Salón, Brian C. (2013). "Teoría cuántica para matemáticos". Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 267. Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. doi :10.1007/978-1-4614-7116-5. ISBN 978-1-4614-7115-8. ISSN  0072-5285. S2CID  117837329.
• Mouchet, Amaury (2013). "Una prueba alternativa del teorema de Wigner sobre transformaciones cuánticas basada en análisis complejo elemental". Letras de Física A. 377 (39): 2709–2711. arXiv : 1304.1376 . Código bibliográfico : 2013PhLA..377.2709M. doi :10.1016/j.physleta.2013.08.017. S2CID  42994708.
• Molnar, Lajos (1999). "Un enfoque algebraico del teorema unitario-antiunitario de Wigner" (PDF) . J.Austral. Matemáticas. Soc. Ser. A . 65 (3): 354–369. arXiv : matemáticas/9808033 . Código Bib : 1998 matemáticas ...... 8033M. doi :10.1017/s144678870003593x. S2CID  119593689.