Simetría del punto de Lie

La simetría puntual de Lie es un concepto de las matemáticas avanzadas . Hacia finales del siglo XIX, Sophus Lie introdujo la noción de grupo de Lie para estudiar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias ^{[1] [2] [3]} (EDO). Demostró la siguiente propiedad principal: el orden de una ecuación diferencial ordinaria se puede reducir en uno si es invariante bajo el grupo de Lie de transformaciones puntuales de un parámetro . ^[4] Esta observación unificó y amplió las técnicas de integración disponibles. Lie dedicó el resto de su carrera matemática a desarrollar estos grupos continuos que ahora tienen un impacto en muchas áreas de las ciencias basadas en las matemáticas. Las aplicaciones de los grupos de Lie a los sistemas diferenciales fueron establecidas principalmente por Lie y Emmy Noether , y luego defendidas por Élie Cartan .

En términos generales, una simetría puntual de Lie de un sistema es un grupo local de transformaciones que asigna cada solución del sistema a otra solución del mismo sistema. En otras palabras, asigna el conjunto de soluciones del sistema a sí mismo. Ejemplos elementales de grupos de Lie son las traslaciones , las rotaciones y los escalamientos .

La teoría de la simetría de Lie es un tema muy conocido. En ella se discuten simetrías continuas en contraposición, por ejemplo, a simetrías discretas . La literatura sobre esta teoría se puede encontrar, entre otros lugares, en estas notas. ^{[5] [6] [7] [8] [9]}

Descripción general

Tipos de simetrías

Los grupos de Lie y, por lo tanto, sus generadores infinitesimales pueden "extenderse" de forma natural para actuar sobre el espacio de variables independientes, variables de estado (variables dependientes) y derivadas de las variables de estado hasta cualquier orden finito. Hay muchos otros tipos de simetrías. Por ejemplo, las transformaciones de contacto permiten que los coeficientes del generador infinitesimal de transformaciones dependan también de las primeras derivadas de las coordenadas. Las transformaciones de Lie-Bäcklund permiten que involucren derivadas hasta un orden arbitrario. La posibilidad de la existencia de tales simetrías fue reconocida por Noether. ^[10] Para las simetrías puntuales de Lie, los coeficientes de los generadores infinitesimales dependen solo de las coordenadas, denotadas por . ${\displaystyle Z}$

Aplicaciones

Las simetrías de Lie fueron introducidas por Lie para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Otra aplicación de los métodos de simetría es la reducción de sistemas de ecuaciones diferenciales, encontrando sistemas equivalentes de ecuaciones diferenciales de forma más simple. Esto se llama reducción. En la literatura, se puede encontrar el proceso de reducción clásica, ^[4] y el proceso de reducción basado en el marco móvil . ^{[11] [12] [13]} También se pueden utilizar grupos de simetría para clasificar diferentes clases de simetría de soluciones.

Marco geométrico

Enfoque infinitesimal

Los teoremas fundamentales de Lie subrayan que los grupos de Lie pueden caracterizarse por elementos conocidos como generadores infinitesimales . Estos objetos matemáticos forman un álgebra de Lie de generadores infinitesimales. Las "condiciones de simetría infinitesimal" deducidas (que definen las ecuaciones del grupo de simetría) pueden resolverse explícitamente para encontrar la forma cerrada de los grupos de simetría y, por lo tanto, los generadores infinitesimales asociados.

Sea el conjunto de coordenadas sobre el que se define un sistema donde es la cardinalidad de . Un generador infinitesimal en el cuerpo es un operador lineal que tiene en su núcleo y que satisface la regla de Leibniz : ${\displaystyle Z=(z_{1},\dots ,z_{n})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} (Z)}$ ${\displaystyle \delta :\mathbb {R} (Z)\rightarrow \mathbb {R} (Z)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \forall (f_{1},f_{2})\in \mathbb {R} (Z)^{2},\delta f_{1}f_{2}=f_{1}\delta f_{2}+f_{2}\delta f_{1}}$.

En la base canónica de derivaciones elementales se escribe: ${\displaystyle \left\{{\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right\}}$

${\displaystyle \delta =\sum _{i=1}^{n}\xi _{z_{i}}(Z){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}}$

¿Dónde está en para todos en ? ${\displaystyle \xi _{z_{i}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} (Z)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \left\{1,\dots ,n\right\}}$

Grupos de Lie y álgebras de Lie de generadores infinitesimales

Las álgebras de Lie pueden generarse mediante un conjunto generador de generadores infinitesimales, como se definió anteriormente. A cada grupo de Lie se le puede asociar un álgebra de Lie. En términos generales, un álgebra de Lie es un álgebra constituida por un espacio vectorial equipado con corchetes de Lie como operación adicional. El cuerpo base de un álgebra de Lie depende del concepto de invariante . Aquí solo se consideran álgebras de Lie de dimensión finita. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sistemas dinámicos continuos

Un sistema dinámico (o flujo ) es una acción de grupo de un parámetro . Denotemos por tal sistema dinámico, más precisamente, una acción (izquierda) de un grupo sobre una variedad : ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (G,+)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}{\mathcal {D}}:&G\times M&\rightarrow &M\\&\nu \times Z&\rightarrow &{\mathcal {D}}(\nu ,Z)\end{array}}}$

tal que para todo punto en : ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle {\mathcal {D}}(e,Z)=Z}$¿Dónde está el elemento neutro de ; ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$
• para todos en , . ${\displaystyle (\nu ,{\hat {\nu }})}$ ${\displaystyle G^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\nu ,{\mathcal {D}}({\hat {\nu }},Z))={\mathcal {D}}(\nu +{\hat {\nu }},Z)}$

Un sistema dinámico continuo se define en un grupo que puede identificarse como tal , es decir, los elementos del grupo son continuos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Invariantes

Un invariante , en términos generales, es un elemento que no cambia bajo una transformación.

Definición de simetrías de puntos de Lie

En este párrafo, consideramos simetrías de puntos de Lie expandidas con precisión , es decir, trabajamos en un espacio expandido, lo que significa que la distinción entre variable independiente, variables de estado y parámetros se evita tanto como sea posible.

Un grupo de simetría de un sistema es un sistema dinámico continuo definido sobre un grupo de Lie local que actúa sobre una variedad . Para mayor claridad, nos limitamos a variedades reales n-dimensionales donde es el número de coordenadas del sistema. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Simetrías de puntos de Lie de sistemas algebraicos

Definamos los sistemas algebraicos utilizados en la próxima definición de simetría.

Sistemas algebraicos

Sea un conjunto finito de funciones racionales sobre el cuerpo donde y son polinomios en , es decir, en variables con coeficientes en . Un sistema algebraico asociado a se define por las siguientes igualdades y desigualdades: ${\displaystyle F=(f_{1},\dots ,f_{k})=(p_{1}/q_{1},\dots ,p_{k}/q_{k})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [Z]}$ ${\displaystyle Z=(z_{1},\dots ,z_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}\left\{{\begin{array}{l}p_{1}(Z)=0,\\\vdots \\p_{k}(Z)=0\end{array}}\right.&{\mbox{and}}&\left\{{\begin{array}{l}q_{1}(Z)\neq 0,\\\vdots \\q_{k}(Z)\neq 0.\end{array}}\right.\end{array}}}$

Un sistema algebraico definido por es regular (también conocido como suave ) si el sistema es de rango máximo , lo que significa que la matriz jacobiana es de rango en cada solución de la variedad semialgebraica asociada . ${\displaystyle F=(f_{1},\dots ,f_{k})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (\partial f_{i}/\partial z_{j})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z}$

Definición de simetrías de puntos de Lie

El siguiente teorema (ver teorema 2.8 en el cap. 2 de ^[5] ) da las condiciones necesarias y suficientes para que un grupo de Lie local sea un grupo de simetría de un sistema algebraico. ${\displaystyle G}$

Teorema . Sea un grupo de Lie local conexo de un sistema dinámico continuo que actúa en el espacio n-dimensional . Definamos un sistema regular de ecuaciones algebraicas: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle k\leq n}$

${\displaystyle f_{i}(Z)=0\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\}.}$

Entonces es un grupo de simetría de este sistema algebraico si, y sólo si, ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \delta f_{i}(Z)=0\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\}{\mbox{ whenever }}f_{1}(Z)=\dots =f_{k}(Z)=0}$

para cada generador infinitesimal en el álgebra de Lie de . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplo

Consideremos el sistema algebraico definido en un espacio de 6 variables, es decir con: ${\displaystyle Z=(P,Q,a,b,c,l)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f_{1}(Z)=(1-cP)+bQ+1,\\f_{2}(Z)=aP-lQ+1.\end{array}}\right.}$

El generador infinitesimal

${\displaystyle \delta =a(a-1){\dfrac {\partial }{\partial a}}+(l+b){\dfrac {\partial }{\partial b}}+(2ac-c){\dfrac {\partial }{\partial c}}+(-aP+P){\dfrac {\partial }{\partial P}}}$

está asociada a uno de los grupos de simetría de un parámetro. Actúa sobre 4 variables, a saber y . Se puede verificar fácilmente que y . Por lo tanto, las relaciones se satisfacen para cualquier en que anule el sistema algebraico. ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \delta f_{1}=f_{1}-f_{2}}$ ${\displaystyle \delta f_{2}=0}$ ${\displaystyle \delta f_{1}=\delta f_{2}=0}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{6}}$

Simetrías de puntos de Lie de sistemas dinámicos

Definamos los sistemas de EDO de primer orden utilizados en la próxima definición de simetría.

Sistemas de EDO y generadores infinitesimales asociados

Sea una derivación con respecto a la variable independiente continua . Consideramos dos conjuntos y . El conjunto de coordenadas asociado está definido por y su cardinal es . Con estas notaciones, un sistema de EDO de primer orden es un sistema donde: ${\displaystyle d\cdot /dt}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X=(x_{1},\dots ,x_{k})}$ ${\displaystyle \Theta =(\theta _{1},\dots ,\theta _{l})}$ ${\displaystyle Z=(z_{1},\dots ,z_{n})=(t,x_{1},\dots ,x_{k},\theta _{1},\dots ,\theta _{l})}$ ${\displaystyle n=1+k+l}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {dx_{i}}{dt}}=f_{i}(Z){\mbox{ with }}f_{i}\in \mathbb {R} (Z)\quad \forall i\in \{1,\dots ,k\},\\{\dfrac {d\theta _{j}}{dt}}=0\quad \forall j\in \{1,\dots ,l\}\end{array}}\right.}$

y el conjunto especifica la evolución de las variables de estado de las EDO con respecto a la variable independiente. Los elementos del conjunto se denominan variables de estado , estas son parámetros . ${\displaystyle F=(f_{1},\dots ,f_{k})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Theta }$

También se puede asociar un sistema dinámico continuo a un sistema de EDO resolviendo sus ecuaciones.

Un generador infinitesimal es una derivación que está estrechamente relacionada con los sistemas de EDO (más precisamente con los sistemas dinámicos continuos). Para el vínculo entre un sistema de EDO, el campo vectorial asociado y el generador infinitesimal, véase la sección 1.3 de ^[4] . El generador infinitesimal asociado a un sistema de EDO, descrito anteriormente, se define con las mismas notaciones de la siguiente manera: ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \delta ={\dfrac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{k}f_{i}(Z){\dfrac {\partial }{\partial x_{i}}}\cdot }$

Definición de simetrías de puntos de Lie

A continuación se presenta una definición geométrica de tales simetrías. Sea un sistema dinámico continuo y su generador infinitesimal. Un sistema dinámico continuo es una simetría puntual de Lie de si, y solo si, envía cada órbita de a una órbita. Por lo tanto, el generador infinitesimal satisface la siguiente relación ^[8] basada en el corchete de Lie : ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \delta _{\mathcal {S}}}$

${\displaystyle [\delta _{\mathcal {D}},\delta _{\mathcal {S}}]=\lambda \delta _{\mathcal {D}}}$

donde es cualquier constante de y es decir . Estos generadores son linealmente independientes. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \delta _{\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}\lambda =\delta _{\mathcal {S}}\lambda =0}$

No se necesitan las fórmulas explícitas de para calcular los generadores infinitesimales de sus simetrías. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Ejemplo

Consideremos el modelo de crecimiento logístico de Pierre François Verhulst con depredación lineal ^[14] , donde la variable de estado representa una población. El parámetro es la diferencia entre la tasa de crecimiento y la de depredación y el parámetro corresponde a la capacidad receptiva del medio: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\dfrac {dx}{dt}}=(a-bx)x,{\dfrac {da}{dt}}={\dfrac {db}{dt}}=0.}$

El sistema dinámico continuo asociado a este sistema de EDO es:

${\displaystyle {\begin{array}{rccc}{\mathcal {D}}:&(\mathbb {R} ,+)\times \mathbb {R} ^{4}&\rightarrow &\mathbb {R} ^{4}\\&({\hat {t}},(t,x,a,b))&\rightarrow &\left(t+{\hat {t}},{\frac {axe^{a{\hat {t}}}}{a-(1-e^{a{\hat {t}}})bx}},a,b\right).\end{array}}}$

La variable independiente varía continuamente, por lo que el grupo asociado puede identificarse con . ${\displaystyle {\hat {t}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El generador infinitesimal asociado a este sistema de EDO es:

${\displaystyle \delta _{\mathcal {D}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}+((a-bx)x){\dfrac {\partial }{\partial x}}\cdot }$

Los siguientes generadores infinitesimales pertenecen al grupo de simetría bidimensional de : ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \delta _{{\mathcal {S}}_{1}}=-x{\dfrac {\partial }{\partial x}}+b{\dfrac {\partial }{\partial b}},\quad \delta _{{\mathcal {S}}_{2}}=t{\dfrac {\partial }{\partial t}}-x{\dfrac {\partial }{\partial x}}-a{\dfrac {\partial }{\partial a}}\cdot }$

Software

Existen muchos paquetes de software en esta área. ^{[15] [16] [17]} Por ejemplo, el paquete liesymm de Maple proporciona algunos métodos de simetría de Lie para EDP . ^[18] Manipula la integración de sistemas determinantes y también formas diferenciales . A pesar de su éxito en sistemas pequeños, sus capacidades de integración para resolver sistemas determinantes automáticamente están limitadas por problemas de complejidad. El paquete DETools utiliza la prolongación de campos vectoriales para buscar simetrías de Lie de EDO. Encontrar simetrías de Lie para EDO, en el caso general, puede ser tan complicado como resolver el sistema original.

Referencias

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2. Mentira, Sophus (1890). Theorie der Transformationsgruppen (en alemán). vol. 2. Teubner, Leipzig.
3. Mentira, Sophus (1893). Theorie der Transformationsgruppen (en alemán). vol. 3. Teubner, Leipzig.
4. Olver, Peter J. (1993). Aplicaciones de los grupos de Lie a ecuaciones diferenciales (segunda edición). Springer-Verlag.
5. Olver, Peter J. (1995). Equivalencia, invariancia y simetría . Cambridge University Press.
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12. Fels, M.; Olver, Peter J. (abril de 1998). "Moving Coframes: I. Un algoritmo práctico". Acta Applicandae Mathematicae . 51 (2): 161–213. doi :10.1023/a:1005878210297. S2CID  6681218.
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14. Murray, JD (2002). Biología matemática . Matemáticas aplicadas interdisciplinarias. Vol. 17. Springer.
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