En matemáticas , un grupo de un parámetro o un subgrupo de un parámetro generalmente significa un homomorfismo de grupo continuo .
de la recta real (como grupo aditivo ) a algún otro grupo topológico . Si es inyectiva entonces , la imagen será un subgrupo de que es isomorfo a como grupo aditivo.
Los grupos de un parámetro fueron introducidos por Sophus Lie en 1893 para definir transformaciones infinitesimales . Según Lie, una transformación infinitesimal es una transformación infinitamente pequeña del grupo de un parámetro que genera. [1] Son estas transformaciones infinitesimales las que generan un álgebra de Lie que se utiliza para describir un grupo de Lie de cualquier dimensión.
La acción de un grupo de un parámetro sobre un conjunto se conoce como flujo . Un campo vectorial uniforme sobre una variedad, en un punto, induce un flujo local : un grupo de un parámetro de difeomorfismos locales, que envía puntos a lo largo de curvas integrales del campo vectorial. El flujo local de un campo vectorial se utiliza para definir la derivada de Lie de campos tensoriales a lo largo del campo vectorial.
Una curva se denomina subgrupo de un parámetro si satisface la condición [2]
En la teoría de Lie , los grupos de un parámetro corresponden a subespacios unidimensionales del álgebra de Lie asociada . La correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie es la base de una ciencia iniciada por Sophus Lie en la década de 1890.
Otro caso importante se observa en el análisis funcional , con el grupo de operadores unitarios en un espacio de Hilbert . Véase el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro .
En su monografía Grupos de Lie , PM Cohn formuló el siguiente teorema:
En física , los grupos de un parámetro describen sistemas dinámicos . [4] Además, siempre que un sistema de leyes físicas admite un grupo de un parámetro de simetrías diferenciables , entonces hay una cantidad conservada , por el teorema de Noether .
En el estudio del espacio-tiempo, el uso de la hipérbola unitaria para calibrar mediciones espacio-temporales se ha vuelto común desde que Hermann Minkowski lo discutió en 1908. El principio de relatividad se redujo a la arbitrariedad de qué diámetro de la hipérbola unitaria se usaba para determinar una línea de mundo . Usando la parametrización de la hipérbola con ángulo hiperbólico , la teoría de la relatividad especial proporcionó un cálculo de movimiento relativo con el grupo de un parámetro indexado por la rapidez . La rapidez reemplaza a la velocidad en la cinemática y dinámica de la teoría de la relatividad. Dado que la rapidez no tiene límites, el grupo de un parámetro en el que se basa no es compacto. El concepto de rapidez fue introducido por ET Whittaker en 1910, y nombrado por Alfred Robb el año siguiente. El parámetro de rapidez equivale a la longitud de un versor hiperbólico , un concepto del siglo XIX. Los físicos matemáticos James Cockle , William Kingdon Clifford y Alexander Macfarlane emplearon en sus escritos una aplicación equivalente del plano cartesiano mediante el operador , donde es el ángulo hiperbólico y .
Un ejemplo importante en la teoría de grupos de Lie surge cuando se toma como , el grupo de matrices invertibles con elementos complejos. En ese caso, un resultado básico es el siguiente: [5]
De este resultado se deduce que es diferenciable, aunque esto no fuera un supuesto del teorema. La matriz puede entonces recuperarse de la siguiente manera:
Este resultado se puede utilizar, por ejemplo, para demostrar que cualquier homomorfismo continuo entre grupos de Lie de matrices es suave. [6]
Una complicación técnica es que, como subespacio de puede tener una topología más burda que la de ; esto puede suceder en casos en los que es inyectiva. Pensemos, por ejemplo, en el caso en el que es un toro , y se construye dando vueltas a una línea recta con una pendiente irracional.
En ese caso la topología inducida puede no ser la estándar de la línea real.
